1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Б!п — х в!п — у блв Л =- — соответствуют две 12 краевых условий второго Таким образом, одному собственному значению линейно независимые собственные функции. Для типа: / лз ра т (и,р=0,1,2,...); ли лр сов — х сов — у и третьего типа Лл, р Рл+ сср Ф„р(х, у) = = ()/ пл сов )/ рл х + Йт в!п )/ рл х) ()/ар сов Р ар у + /15 5!п угар у)1 рл и ар нвляются положительными корнями уравнений — — (/11+/15) ) Р !Оур 1= ь Итд — Р 9. Для краевых условий первого типа: — — (/15 + 6 ) У а 1Пуа й= /15И, — а ли лр лу Фл р з (х у 2) = Б!и 1 х'Б!п / у'5)п 2 (и р у = 1 2 ) второго типа: Зб! ли ли лу Фл, р ч (х, у, 2) == сов — х сов — у сов — 2 (и, и, у = О, 1, 2, ...); третьего типа: Лл, р я=да+ар+()я~ Фл р а(х, у, 2) — -- ()/ рлсов)/11лх+О15!и)/11лх) ()/арсо5)/ару+ + /155!и )/ар У) ()/()я со5)/ !152+ /1Б 5(п )/ ()52), Р„, ар, Рз — поло1кнтельвые коРни УРавнений 15РР !=- в — (/11+ ~1 ) )' 11 .
— —. (йз+ /15) )/сс труа й=- йй — 1 У /16 — а — (йз + ОВ) )/ й !П~ РИБ= з / ив р' 10. а) юл р Б — — а )/Лл р Б — — ил )/ — + — + — 5 (и, р, йз гиз 1 = 1, 2, ...); б) юл р = арл р —, где рл р — корень номера р уравнения 1 /л+1/В (Р) 2„ /л+1/2(р) =(~, )С вЂ” радИуС СфЕрЫ, И = О, 1, 2, ...; и= = 1,2, ... Здесь /а (2) — бесселевы функции й-го порядка (см.
гл. Х!1/). 11.их,!=в 81 ~ч !' 21я 2л+ ! оз ( ) = апв,~„! „,(2„(,)з с~в 21 + (2л ( !)з аоз а( + л=о 2а+1 ! 2а+! й !ха Х в!п — аг в!п пх — — ( — — 1х) . 21 1 21 ав 1, 2 лл %"! — (лзх -Ьа) ! пл 13. и(х, 1) =из+и(х) + 7 Сле ' '" ' в!п — х, где л ! о(х) = ~(и,— из) вЬ вЂ” (1 — х) -1- (и,— из) вй — х~, ~Гь р'(г 1 Р'й а а вЬ— а ! пзлв 2 г пл Лл- 1,, Сл= 1 ) (((и) — о(В) — из)в!п — й!(й о 14. и(х, 1) =.из+о(х) -1- ~~ Сле ( '" з) (Л,в1п РгЛл х4- л=! + УЛл сов рею„х), где о (х) = А,е л -1- А,е . )1оэффициенты А! и Ав определяются из уравнений л! (ив — и,) а, Уйз — ай! А! — Аз = 1 а а / ! С. =, ~ (р (3) —, — (3)) сР„(3) 33, !! !р„(!г о Фл (х) =а!в!ив Лл х+ р Лл сов) Лл х; . г — л! + Ьв Лл — положительные корни уравнения !3 р Л 1 = ргЛ ° Л вЂ” лгал 15.
!) (1) = 5) и (х, 1) г(х, где 5 — площадь поперечного сечения цилиндра, о 4и лвхл! 2л + 1 и(х, 1) =ию — 7 (2 +1) е "в!п 21 пх, л о 362 Ро 8Ре( ЪЧ ( — 1)л . 2л+! 2л+ 1 12. и(х, 1) = — х —— Е5 ЕЕив х~.) (2а+!)в 21 5!п их сов — па(, 2! йО Указание к задачам !2 — 23. Искать решениев виде суммы двух функций и= о (х)+ ш(х, 1), где о (х) удовлетворяет уравнению и краевым условиям рассматриваемой неоднородной краевой задачи, а ш — решение соответствующей однородной краевой задачи; о (х) описывает стационарный режим, ш — отклоне. ииа от него.
ле Ла =- 1, (2л -1-1)', ипи Я(!) = — В ) иа(0, т) с(т. о 16. С((!) = Я ~ и (х, !) Нх(аоих„— ()и = и!), где о -а Ла! 2л+ 1 6! и(х, !)=.о(х)+ 7 Сле "э!и 2! ихе л О о(х) = аио УГ сй —, (! У6 ~(! — „ У() ! — 2 г 2л+1 Сл =- — ) о (с) э(п лс Я. о 4 (Ео — оо) %4 ( — !)" а ~а~ 2л+ 1 !7. о(х, !) = Ео — „7 2л е сов 2! лх, а=о ло (2л+ 1)о 1 где Л 4!о ' )РС ао 18 о(х !)= +2Еой 7 е "Х Еой (! — х) э ~ — оо!а! Но+ Е! а=! воп УЛ„(! — х) Х где ьхЛ,, (Е (Е, + Е!) + ИэЛ„1 с У Л„( ' тельные корни уравнения Й !к УЛ„( = — — Йо УЛ . О 4Ню %о 1 аод ! !6. Н (х, !) = Но — — ~ п,21 2л+ 1 =о св по(2л+!)о Ла = 4лар ' 41' 1 ав =— РС ' ˄— положи- 2л+1 э1п ! пх, где ао = ~8! ~д л=о (2л+ 1)о где Л„= 21.
и(х, !)=ио+ — (1 — — ) !)! ! хт ! ) 2л+ 1 21 ,~ Х вЂ” аоь ! 1 2л -1- 1 Х (2л+1)о сов 2! ент теппопроводности. )о — кевффнпи. 363 О 26. и (х, !) = — 7 — ЛФ„(хо) (1 — е " ) ~Ф„(х), где Ла а=! лв 2л -1- 1 = 41, (2л+1)', Ф„(х) =сов 2! пх; лиха+()6(х — х,) = ори!, д— коэффициент теплопроводности. л ьл! 22.
и (х, 1) =о(х) + 7 Сле л Фл(х), где л ! о(х)= — х+С (х+й), С = — (!+ — ) !',!! 1 й1 ч 1 2й о= й (, 2 ) !+й1+йо > — 1 [ ф„ [[ ~ " (ал) 1!>л (Яо) Г% о Фл (х) = Рг) п сов )' йл х + 1! 5!и Ргали х 2ЫГ Л !!л — положительные коран уравнения !я ргй 1 =- л — Ло г ил „С ' '. рл 23. и (г, 1) =- и! + 2 (и! — ио) й)(> ~' ( — 1)" — е ! гйп — г, тле г л=! 2 + (й)о !)2 Сл = 2 2 2 ° рл — положительные корни уравнения !Я р = р„(р„+й)( — йй) ' ((г, !1 % Ч г г '~2>+! сов(2»+1) ф и (г, гр) = — 2)п ф + — у [ — ) 2/Я 2пй ог.) [, Я ) л(л+1) У к а з а н н е. йо' Сначала найти решение уравнения Лапласа вида г о (>р), удовлетворяющее >ч.
г — (л'г только условиям и, (г, 0) — -- — и, (г, и) = . и отклонением(г,>р) 2й)т ' е ' 2И( от него. Тогда и = го (ф) + ш (г, >р). ах 26. а В,х =- В,г, О (х, О) = †, , В, (х, О) = О; В(О, 1) =-О; В (1, 1) =- 01 ВЫ(1, В, ао= "у —; [1! — 10Рл) 21п 1 х сов 1о1'2 (2рл 2)п 2пл) В(х, 1).= 4а л=-! где 1 — полярный момент инерции поперечного сечения стержня, Π— модуль сдвига, 1, — момент инерции стержня, р — линейная плотность стержня, р»вЂ” 1! положительные корни уравнения !й р = — ' 1»р ' о> 2л+ 1 4аФо12 ю121п ап1 — (2л+ 1) паэ!пы1 26. а) и (х, 1) =- и'Т (2л + 1)о [ы212 — (2л -1- 1)о п'ао) 364 й — коэффициент теплообмена в краевом условии и„(Я, 1) + Р И~ — 1 +в[и(Я.
1) — и![=О. 24. Ли = О, и, (Р, гр) = — —, и, (г, 0) = —, и (г, и) = Х В!п — пх; б) Ваменить в 2п+1 + — > 2=1,2,3...). пРедыдущей формуле вп в1 иа соа в1 (в+ лп ос1 5сп — а1 — нап 5!п осс 1 лп (в515 леаопо) л Вш ! Х 2Роа! % ~ 27. и (х, 1) = — 7 ПТ и=! лл Г нп Х 51п — х ( в Ф вЂ” ; л = 1, 2, ...) . Аналогично для Росоавб с ии и'>лов — ао лх г — —, !С->1 %"о 28.
и(х, 1) = — 51п — ) е '* ф(т)с(т ! у С е с' Х гс о и=! лл 2г лп Х $1П вЂ” Х, ГДЕ 2 — КавффИНИЕит тЕПЛОПРОВОДНОСтн, Си = — ) С(2) 5!П вЂ”" тяти ! о ПС ~ В 1 , плоо Оо1 нп™о Оо1 и 29 и(х 1) = — е 7„1иа)п — 1 — — соо — 1+ — ) Х ср 71 1, пп пл ) и=! 5сП Х ! х 2 22 2 .
Указание. Уравнениедая и(х,с) имеет вид !22 ! П22а2 А а'и — пи+ — б(х — О,с) =им О<1<1(во. ср 2л + 1 30. а) ПРи вФ 21 ла (л=б, 1, 2, .) и> 2п + 1 2л + 1 и (х, 1) =О(х) $1пв!+ ~ С $!п 2 на1 ° Всп х, и=о о! Аа а 5>П Х ()=— ЕЯ в СОВ ! а — Вв Г 2л+1 Си= 2 1) ) О(й)$!п 2! Пйс(й о л=о ими> где ! — 4 Г 2л+ 1 ла(2л+1) 1 ( '(~)+Оо(и))~сп 21 пьсСй О А и,г х в ба в За Зсо О! (х) = — ( — 1) >+ [ со5 — х+ — $1п — х+ 51п х > !ЕЗ '( 2 а Зв а 8в а 2аА „, в О (х) — ( 1)и>ВП! х !П8 а Збб б) при в= 2ло+ 1 2! на и (х, 1) = О! (х) 5!и вс + Оо (х) ° 1 соа вг + 2п+1 2п-1-1 + >~~~ Си 5!п 2! ИИ1 5сп 2! стх, 2 2 е еИег е Х 3 !. и (г, 1) = гт (г) + 1 г в (г)— 20)~в \ ч ! йтг ц совр И ° ч Х в!и —" г; р„— положительные корни уравнения 13 р = р, рв К й)1 З)12 — б.
йч 10)12 Зоав гв (г) .=- — . хч)ч У к а з а н и е. Искать решение задачи аво„=- оч, о (ж О) = иеж (г, Яоч Я, 1)— — о (Й, 1) ) = а (и = о/г) в виде о = /т (г) + 1 /в (ч) + и (г, 1), где —— /! + 1/в г установившийся режим, удовлетворя!ощий уравнению и краевым условиям задачи, а шlг — отклонение от него; в есть решение однородной краевой задачи. д 32. и (х, 1) есть решение задачи — (й(х) их! = р (х) иг, и (О, 1) = дх = и (1, 1) = О, и (х, О) = / (х), где рт, 0 <х<х,, р(х) = р., х,<х<1, йт, 0<х<хв, а(х) = йв, хв<х<1, или ит (х, 1), О < х < ха, и(х, 1)= ив (х, 1), ха<а<1, о! (и!)- =- (и!) .
4 (нв)- †- (нт) о, =- — (1 = 1, 2), ит (О, 1) = О, й; Р! ив (1, 1) = О. и, (ха, 1) = ив (ха, 1); йтич„ (хв, 1) = Авив„ (хв, 1), и (х, 0) =- / (х); со 22 и(х, 1) —.— ~ С„е "Фа(х), ч= ! где 2!и — х, Нл ат 0 < х < х„ в!и — х, рл ат ! в!п — (1 — х), ха <х<1, рь — ха) 5!п — (! ра ав ! Сл =- ~!Ф р ~ /(х) р(х) Фл(х) дч, а р„— положительные корни уравнения — с!й — хв = — с13 — (ха — 1). Йг Р йв Р ат ат ав ав Собственные функции Ф„ (х) ортогональны на отрезке (О, 1) с весом р (х). 366 Аналогично для г = А соз ы1.
У к а з а н и е. Искать решение в случае а) в виде и = о (х) в!п в1+ ш(х, 1); в случае б) в виде и = ог(х) в!и ы1 + + ов (х) 1 сов ы1+ ш (х, 1), где и (х) в!и ы1 (соответственно от (х) в(п ы1 + + ов (х) 1 сов ш1) удовлетворяет уравнению и краевым условиям задачи. ЗЗ. и (х, 1) есть решеаие задачи азиях = ~1 + С 6 (х — хо)~ и! Са и (О, 1) = и (1, 1) = О, и (х, 0) = ( (х), или иг(х, 1), 0<х<х„ и(х, 1)== ио (х, 1), хо < х < 1, ао (и;)хх = (и!)! (! = 1, 2), и1 (О, 1) = 0 = — ио (1, !], иг (хо 1) = и, (ха 1), и (х, 0) = 1(х); 1!иох (хо 1] — Ииох (хо 0 = Сои! (хо 1) 2 2 и (х, 1) = ~ С„е " Ф„ (х), а=! 1 1 ]' р (х) / (х) Фя (х) а(х, а где С„= 51П Рах 51п [хала 51П )оа (1 — Х) 0<х-=.х„ Ф„(х) = хо~Е л<1, 5! и 11в (1 — хо) р„— положительные корни уравнения с13 уха — с13 р(1 — ха) =- ц.
С Ср Собственные функции Ф„(х) ортогональны на отрезке [О, 1] с весом р (х) = =1+ —" 6(х — х,). С 34. и(х, 1] = ( х Х пл Со)ол 51п 11в 1 — — С1 со5 1!в / / =Е 21ЕС о о (1 С Со+ 12С2+ С~аРох/Разопцп А А, В Зб. а) и (г, !р) =. — г соа ор = — х; б) и = А р — у; В /7 в) и = Аху; г) и = А+  — А 2 2йо + (х' — уа) Указание к задачам 36 — 41. См. пример 8 гл. 1Ч, $6. 1 ди 36.
Задача а) поставлена неправильно, так как необходимое условие ] — Х ) дп С Х уз= 0 не выполняется; б) и = Айх+ В; в) и:=.— В(хо — у'); г) и= А 2 367 где ра — положительные корни уравнения р 13 11 = —. У к а з а н и е. СобС1 Со ' сгвенные функции задачи ортогональиы на отрезке [О, 1] с весом р (х) = ! + -1- — 6 (х — 1). С С ( — о) при и= 2Р, Еи = ( — ) прн л 2/о+ 1, ) ! — ) — при и =- 2/о, ( ) /(г /( /7о Ро е„.-= ( — ) — ' при л == 2/о+ 1; (') /(, тол — ') Ро при л =- 2/с, /7,) Ри= / /С Ч 22+2 ( — ) Ро при л= 23+1, (,/7, ) (') /Р, ~2О //, — ') — при и =- 2л, //о 1~0 (') /7, тго /72' — ) — при л = — 23+ 1; //г Ро и оо 1 %Ч еи ел б) 6(М, Р) = — Лт !П вЂ” — !П,ГдЕРи — тОЧКИСКООрдниаг л=о и м/„' тами (Ри, ф ), Р„' — точки с кооРДинатами (Р,'р ф ), (Р, оРО) — кооРДинаты точки Р, Ргр Р,'а е„и е„' опРеделнютсн по тем же фоРмУлам, что и в слУчае а).
4. 6(М, Р) —— ои,,~/ г„р и и натами (х, ро, г + 2л//), Р„' — точки (хо, уо го) — координаты точки Р. Глава Х. / В, г</р„ 1 — — где Ри — точки с коорди. л!р,', ( с кооРдинатами (х, Ро, 2„— (2л + 1) 3) г — 4п ) ( — — — ) РР (Р 4+ С, Лг ~ г ~ /72, ! 1 д .) Я, // — //о =-.. г, г 1. и(г) = 370 Глава У/I. 1 / 1 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
