1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 66
Текст из файла (страница 66)
а) Если заряд находится вне сферы в точке (г, О), гл) Я, то потен. циал электростатического поля равен Г и! (г, В), г ( )с, и (г, 6) = ! ( из (г, 6), г ) Г7, 377 Указа н н е. Искать суммарный потенциал У(г, В), созданный точечным е зарядом и индуцированвыми зарядами, в виде суммы У (г, 6) = — -)- и (г, В), г! где и„(г, 6)=с~~ 2л ~-! гл — Рл (соэ В), эта ле -1- (л + 1) ез л+! л=о о е еэ — е! ~1 л Р 2лм Рл (соз 6).
еэг, е, л ! ле, -)- (л -1-!) ез гл+! л+! л У к а з а н и е. Коэффициенты разложения находятся из условий сопряжения иг()г, 6)=иэ(Р, 6), е,— ~ =е, — ~ диг ! диз дг )г.=д дг г=л' 2 — расстояние от точки (г, 6) до точки (гз, 6), где расположен ааряд; б) если заряд находится внутри сферы (гэ ч, Р), то лл л л е е,— еэ %! е(л-(-1) гог и, (г, В) = — -(- — Рл (соз В), еггг е, зр ! лег + (л+ 1) еэ охл+! л О Ол л из (г, В) = е у 2л+ 1 го — Рл (соз 6); ~! ле -(- (л -1- !) зз,лы л=о лл 2ег — — (Р (О) + Рл э(0)] Рл(соэО) — — Р (соэ 6), г(Р, Р Ь~Р) оз л=э л — ~ — ) (Рл(0) + Рл э(0)) Рл (соаВ), г лР. л=о о(г, 6) —— У к а з а н и е. Решать задачу методом разделения переменных. Тогда Ол ~ С„г"Р„(соэ 6), л=а г<Я, о(г, 6) = Х 1 (гл — Рл (соя О), г) л'.
г л О У (э, О) = — ()гзэ + )сэ а) ° 2е А' ОО 1 %Ч 4л+ 3 г г хзл+! 8. о (г, 6) = — 7 — ~ — ) Рэлы(соя О). 2пой Л~.! 2л -1- 1 ~ Г! ) о 828 Коэффициенты С„и Рл находятся из сравнения этих формул с разложением по степеням е потенциала в точках оси г (перпендикулярной диску и проходящей через его центр), который вычисляется непосредственно; У к а з а н и е. В силу сиыметрии задачи о (г, — ! = О. Поэтому в раз- 2) ложении о (г, О) = ~~ СагзРл (сов В) коэффициенты Сзл с четными индексамн л=о должны обращаться в нуль.
Остальные ковффициенты определяются из условия — оо„(Р, В) = — — !. ! 6(В) 2п)тз з!п О тЧ и-(- ! — Р)д гог 9. и (г, О) = — + — ~ — Рл (соа В), где г; — рас4тйгд 4ий а~! и + Яй рз +1 л=о стояние от точки (г, О) до источняка (г, 0). У к а з а н и е. Искать решение в виде суммы:и(г, О)= — -)-о(г, О), где о(г, О) есть решение задачи Р 4плгд йо„(й, О) + (до(й, О) = — ~й — ~ — ) + — ~ 4нй ~ дг ~гд) гд~ Воспользоваться разложением !Iгд в ряд по многочлензм Лежандра. индуцированных зарядов: О ~5~ (2и ! 1) (Рея+1 гзл+1) )~л-1 о =о! 4я ~~ ~ ел+1 Зл+! л+1 л Р (соз В), я~д Рдд О л О у~ (2л ! 1) ( злы Ятли!) ! гд-1 з к=я* 4п за+1 зл+1 л+1 л О и О Здесь г — расстояние от точки (г, О) до заряда, расположенного в точке (гз, О). е ! Указ а н и е.
Искать решение в виде и= — -!-О(г, В), о; = — — Х гд ' ' ' 4н Х ( — ',"„) (1 = 1; 2). ! Ф ие 11. и (Г, В) = — ! — СОВ а — 1) (Риид (СОО а)— 2 л=1 г г дл — Рл д(сова)) !т — т! Рл(созВ) . ~Р) 379 е 1О. и(г, О) = — — е гд л О )иди+1 Х л Р„(соз В). Плотность ! ( ге г ) л + 1 За+1 зл+1 л лйл+1,за+1 Х Ртлы РЗ«+1 л+! Рта+1 )!Злы 3 1 ГО З 1 д~~ < 1 г созО ~т (4 + 1) Рзл (О) гз" Рз (сов О) < 2й ~2М )! 1+ Ть,б ! (2п-(- Ь)() (2п — 1) (2п ( 2) )1~л~ У к а в а н и е.
Краевое условие задачи имеет вид —совО, 0~9(-~, и„(Р, 9) + да ()1, 9) = О, — ~9(п. л %2 1 !3. и(г, О, !) = — ((!) Рл(созб)+ Рл(сов б) ~ фа(!) = Х л л ~! а рг з! / а), Х/„~! ~ — г), где аа — положительные коРни УРавиениЯ 1 '(л+)/2 ( ) 2 л+!/2 ( ) ф„(!) = — 2! !" (т) з!п — (! — т) Ж, )!Ап Г „. иаа а и о л+!/2 ( О ) — 2 о Аь п)т ы 22 и (и+ 1) ае Здесь и (г, О, !) — потенциал скоростей; изаи = ии, и (г, О, 0) = и! (г, О, 0) = = О, и„(Р, О, !) = Р (соз 9) / (!), ) и) (! оо. 14. Л„з — — — (а!л)12 -1- йз — собственные значения 1 ( агл '1 а ( сов й!р, !л) Фл ь (г, О, гр) = — у„~!)~ — г Рл (соз 9) ! а) /л~),, (а) =0; б) /,',~! (а) — — у„~! (а) =О; в) 2а),',, 2 (а) — (!в ! — 2М) 2„,!)2(а) =0; Ь вЂ” константа в условии ог Я, О, !р)+ ))о()1, О, !р) =О.
л л л 15 и(г, О, ф !) = ~~) ~~) ~~) (Сл !л, ь соз й!р+ а=! л=о з=о х )„,, !)2 ( — г ! Рл (сов О) е где 380 1 ()л, а, ь з!и йф) = Х ст!") — положительные — собственные функции. Здесь а!л) — положительные корни уравнений: корни уравнений у„+„, (а) = о, ( (л) В, р)г г„+!)в~ — „° Х ооо Х Ра (совВ) сов йр.в(ой дарг(ВНг, 0„а — — А„а ~ ~ ~ Г (г а во ( „(о) В, У)г Уи+))в( й г Х Х Ра(совй) в!пои в!пВИудйг(г, (2л+ 1) (л — й)! и)(в (л+ й)!ваяв„„)в (се(")) ' (2, Й=О, ( 1, йовО.
ЛИТЕРАТУРА 1. Б е л о у с о в С. А. Таблицы нормированных присоединенных полиномов Лежандра. — М.: Изд-во АН СССР, 1956. 2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1972. 3. В атс он Г.
Н. Теория бесселевых функций, ч. 1 и 11. — Мл ИЛ, !949. 4. В л а д и м и р о в В. С. Уравнения математической физики, изд. 2-е.— Мл Наука, 1971. 5. Г ель фа нд И. М., Ш илов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2-е. — Мн Физматгиз, 1959. 6. Г о д у н о в С.
К. Уравнения математической физики. — Мл Наука, 1971. 7. Грэй Э., М ать юэ Г. Б. Функции Бесселя и их приложевия к физике и механике, изд. 2-е. — Мл ИЛ, 1953. 8. Д ж е к с о н Д. Ряды Фурье и ортогональные полнномы. — Мл ИЛ, 1948. 9. Джефф р и с Г., Сан р л с Б. Методы математической физики, вып. 1 — 3. — Мл Мир, 1970. 1О. 3 ом м е р ф ел ьд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики.
— Мл ИЛ, 1950. 11. Коша я коз Н. С., Гли не р Э. Б., См и р нов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. — Мн Фиэматгиз, 1962. 12. К у з ь м и н Р. О. Бесселевы функции, изд. 2-е. — М.: ОНТИ, 1935. 13. К у р а н т Р. Уравнения с частными производными. — Мл Мир, 1964. 14. К у р а н т Р., Г и л ь б е р т Д. Методы математической физики, тт. 1 и 11. — Мл Гостехнздат, 1951. 15. Л еб ед е в Н.
Н. Специальные функции и нх приложения, изд. 2-е.— Мл Физматгнз, !963. !6 Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по математической физике. — М.: Гостехиздат, 1955. 17. Л о в и т т У. В. Линейные интегральные уравнения. — М.: Гостехиздат, 1957. 18. Люстерннк Л. А., Акушский Н. Я., Диткин В. А.
Таблицы бесселевых функций. — Мл Гостехиздат, 1949. !9. Микусинскнй Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций, вып. 11. — Мл ИЛ, 1963. 20. Петр он с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными, нзд. 3-е. — Мл Физматгиз, !961.
21. Петр о век н й И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений, изд. 3-е. — Мл Наука, 1965. 22. П р и валов И. И. Интегральные уравнения, изд. 2-е. — Мл ОНТИ, 1937. 23. Р оз е т Т. А. Элементйтеорин цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике. — Мл Советское радио, 1956.
24. С е г е Г. Ортогональные многочлены. — Мл Физматгиз, 1962. 25. С м и р н о в В. И. Курс высшей математики, т. 11. — Мл Наука, 1967; т. 1Ч, Физматгиз, 1958. 26. С н едд он И. Преобразование Фурье. — Мн ИЛ, 1955. 382 27. С о боя е в С. Л. Уравнения математической физики, нзд. 3-е. — Мл Гостехиздат, 1954. 28. С о н и н Н. Я. Исследования о цилиндрических функциях н специальных полиномах.
— Мл Гостехиздат, 1954. 29. Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента/Под ред. И. М. Виноградова и Н. Г. Четаева.— М.:Йзд-воАНСССР, 1950. ь вн 30. Таблицы функций Бесселя дробного индекса, тт.г 1 и 1!. — Мл ВЦ АН СССР, 1959. 31. Т и х он о в А. Н., А р с си ив В. Я. Методы решения некорректных задач, изд. 2-е.
— М.: Наука, 1979. 32. Т и х он он А. Н., Са ив р с к и й А. А. Уравнения математической физики, изд. 4-е. — Мл Наука, !972. 33. Тол стон Г. П. Ряды Фурье, изд. 2-е. — Мл Физматгиз, 1960. 34. Т р а н т е р К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. — Мл Гостехиздат, 1957. 35.
Ф ад ее в а В. Н., Газу р и н М. К. Таблицы функций Бесселя целых номеров. — Мл Гостехиздат, 1950. 36. Я и к е Е., Э м д е, Таблицы функций с формулами и хривыми. — Мл Фнзматгиз, 1959. Василий Яковлевич Л роении МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Редактор Д. С.
Чигтолольгиий. Техн. Редактор С. Я, Шкгяр, Корректоры: Т. С. Вейзберг, Л. С. Сомова. ИБ № 12311 Сдано в набор 21.12.82. Подписано к печати 03.06.84. ФоРмат 60 Х 90«/г«. БУмага книжно-жУРнальнаа. Литературная гарнитура, Высокая печать. Условя. печ. л. 24. Уел. кр.-етт. 24. Уч.-изд. л.
26.5!. Тираж 12800 зкз. Заказ № 252. Цена 1 р. 10 к. Издательство «Наука» Главная редаккня физико-математической литературы 117071, Москва, 8-71, Ленинский проспект, 15 Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени Леяинградского объединения ° Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома ори Государственном ковгитете СССР по делам издательств, ооляграфии и книжной торговли. 193144, г.
Ленинград, ул. Моисеенко, 10. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
