1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 65
Текст из файла (страница 65)
а) 6(М, Р) = — ~!п — — 1п ), где Р, — точка, симметричная точке Р относитеаьйо окружности, го — расстояние точки Р от центра 1 / 1 /7 нруга; б) 6 (М, Р) = — — — ) . 4 и-! 2 6(М, Р) = ~~ (бир(М, Рт) — бар(М, Рт!), где бяр(М, Р) — функио=о ция Грина для внутренности круга, Рги и Рю — точки с полярными координа. 2гл д / 2гл тами (го, фо + — и) и (го, — и — гро) соответственно, (пн фо)— л ) (, ' л координаты точки Р. оо 3.
а) 6(М, Р) =. р — —, где Є— точки с коорди4п гмр г и=р и Мрп натами (Ргг Оо, то), Р„'— точки с координатами (Р„', Оо, т ), (ро, О, ~р )— координаты точки Р, где Г)=4л < вар(Э)с(я, В=С= — +4л < ( — — — )нар(3)с(я. Я, Нс ~ ~ о 2 ~ > ~ ~ г ~ з~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ т ~ ~ ~ ~ ~ ~ а 4л)сра г ~()т и (г) = 4л)Гара г) )7. г 2лра ()Га — — ) — —, г ~ )Г, 3, сс(г)= М ( — — — )„г) )Гс где М = — л)7аРа, г =- )/ха+У'+(г — й)а, г, =- )/ха+У'+(г+Л)а, Ра— 4 3 плотность зарядов, (О, О, Ь) — координаты центра шара радиуса )Г.
У к аз а н и е. Для вычисления влияния идеально проводящей плоскости г = О надо зеркально отразить исходную сферу относительно плоскости г = О. Решение в этом случае представится в виде 2 М С вЂ” — лр,га — —, г ~ )7, 3 гс и(г) = М( — — — ), г))7, С определится нз условия сопряжения решений при г = — Я. (2 2 а)' 4. и (г) = 1 М 1п —, г)Я, где М = лйара, ра — плотность зарядов, )7 — радиус круга.
3. Потенциал простого слоя отрезка О ~ х а= 1 с плотностью рр равен и(л, у)=ра) 1п 1 с(я. )/ (аь х)а + ур о „Г „Г Г сов ср Г гып )/ (й — х)'+ ус а о ( (ра — В ) Г (Е) 38 2л ) )7а + ра — 2)7р соэ (Π— ср) ' а Г у(аж б) ™(х, у) = — ) (аь,)а+ аа Глава ХГ!'. г г са аа„ 1 с с /ссп 1. и(г, Г) =8А ~ е Н' гр( — г), где аа — положиСасс~! ( а) тельные корни уравнения /р (и) = О.
37! з 3 и оол — ! ал 2. и(г, Г) = ду Спе П' 1о (ч — г) где ап — положительные кар~я л=! ни уравнения ао" (а) + дР/о (а) = О, и С = „' ) ((й)йУ,(+1) 33! ~уо( й г)(~ ((г) — ограниченное решение задачи Л(+ — = О, Г(Н)+й((Р) = О ((г) = Х!) й (ов в) ! () м' 6 26 ' л о и алг ! 3. Н(г, !) = Но — 2Но ,'о, е и' Хо( —" г), где ап— ало!(ал) т, Н л=! положительные корни уравнения lо (а) = О. Поток магнитной индукции через Пал поперечное сечение цилиндра равен Ф .=. ~ ~ рН (г, !) г о(г пчр, где р — магните о ная проницаемость — пох Г 4. и(г, !) =((г)+ ~~ ~Сп е "Фп (г), где Ф.
(г) =Хо()ГДпН!) Х Х Н ЬДлг) — Н (У) Мг, Ь ),„), Сл= ' ~ Н() Фл(,) б, По ((г) = — !и — й — положительные корни уравнения Ф' ()г йй ) = О. йпв г )( > л л в б. ав Ли + — = игг, и я, (у = О, и (г, 0) = иг (г, 0), ( и ! ( оо, Р оо и (г, !) = ( (г) — —, р Хо ( — г) сов —" (, где ап — полово гв жительные корни уравнения Ув(а) =О, г'(г) = . — Я вЂ стационарн режим.
' 4аор (ал 1 ап 2АыНо % 1 ~ )т Хв ( — г~! в!и — а! 6. а) и(г, !) =((г) з!пы(+ л=! ( сел э не совпадает ни с одним из собственных значений — а Н )' ( ол ') ала б) (, !)=(()соз (+ (о — г сов — ! в) и (г, !) = Р аг ~ а„(езНз — азаз) Х! (ал) ' л ! оо = () оо( — "г) трп(!), где л 1 372 'Рл (Г) = Вл ~ а!п — (à — т) а)п ыт !(т, аал Р о 2А ~ (ял ) (ял Р)~ Вл лл и (г, !р, 1) = ( Р !л! р' (а!л)))г л=о асс!л! г(п — Г, г Р (1, лчьО, ' я~л1 — положительные корни уравнения 7„(я) = О.
!2, л=О, Ф" ("Р ) 9. и(г, г) = 1'о — 2(Уа — У!) где ал — па- ял '2 . л=! ложительные корни уравнения lа (сс) = О. lг 1О. и (г, г) = — -1- нР'а а)! — гг ( — Р!) Х~ ( — г) + соп51, сь ял,д, аг /2(а ) где а„— положительные корни уравнения Хг (а) = 0 Р)г! с)! Ял г 1 лл 11. и(г, г)= Я 1~! 1 2яя ~к~ агав(я ) л=! ял а)! "" 6 + Р6,~6 "" 6 373 ' ( Р Р*) в случае Р, = Ра Вл =— Раял гг!(а„) л / алг и аал Слуг ( — а(п — 1, гд (,Р) л=! ~ г/, (,) Ха( — "г) г(г, )(г)=.А аа„РУо( — "Р) Х',(а ) " '(а ) сгл — положительные корни уравнения-4 (а) = 0; б) и (г, 1) = 1(г) соа ыг— г ал ч аал аРял — 77лХа( — г) сов — О где Вл = Сл ) Р ' " ы 8.
и (г, ~р, )) есть решал=! ние задачи а Ьи = иг,, и (Р, !р, 1) = О, и (г, гр, 0) = О, иг (г, ~р, 0) = 1 = Р— 6 (г — г!) 6 Ор — М г Х ге( —" г ! где аз — корни уравнения ге (а) = О. з' к а за н не. (4скать решение и (г, г) в виде и = и (г) + в (г, г). Постановка задач для о (г) и (г, г): о: Ло+ — — =О, (о)(оо, о()т) =О; б (г) 2п г в: Лв=О, )в)(оо, в()т, г)=0, -Ь т г — )) т вг (г, 2 ) — Ьтв Г, — ) —.— йдо(г), 2 вг (г — ) +йтв( г ) =.- Л1о(г). 2) (,' 2) Начало координат взять в центре цилиндра. 12.
и (г, () = Го (г) + ( г'т (г) — ~р — е Н', где ' -Х(а.) Л~ дг( г гз т ! Гз (г) = из — — (ь ! — 2 — ) гт (г) = 24из — ал — положительные коР- 4Д ~ )22) ' Д)(' ни уравнения гт (а) = О. (Нй )2 ( агл (л) ! 13. а) ). = — ~ + — ! а(л) — положительные корни уравнений г'л (ес) = О, Фл, т, з (г, ~р, г) = з!п — г Ул ( г~ ~ 6 (( Я ) сов пйи + а — положительные корни уравнений г П(г ч2 ав (л) л, ль з /„' (а) = О, Фл е а(г, ~Р, г)=сов — г lл~ — г)~ Ь "( )( ) )( з)плйн ( (л! ~(2 в) ),„з = т -(- — ~, а " — положительные корни уравнений а/„' (а) + )(й/„(а) = О, тз — положительные корни уравнения (й т)) =- (Ьт + лг) т — дтд ( а(л) '( ( соз ер, Фл, е, з (г, (р, г) = рз (г).г л ( — г) ( )( )~ з)пер, Ч'„(г) = тз соз т„г + й зш т„г. ( (л) ! (л) )2 з) Фл, т (г, (Р) = lлл — г) з)п —, йл, т-= 1 — ~, ущ а положительные корни уравнений г' „(у) = 0; б) Фл, лт(г, Ф] =- а ( (л) ( (л))2 = "г лл ~ — г) соз — 4) йл а = ( — ), У вЂ” положительные корни уравнений /'лл (7) = О' а 374 (л) / (л) с(г тельные корни уравнений у/; (у)+/(.Д/, (у) =О, тл — положительные корни уравнения (дс + дз) та д/с г (л) / у(л) 15.
и(г,(р, ()= ~) а Сл ае / ~ — г)з!п — ср, Сл ь= ал~,р ) а л=) е=) сс и - / (л) / (г, ср) гУ „ — г з)п — ср с(»с((р, у~ — пол) о о / (л) ( 2 ложнтельные коран уравнений У л„(у) =-О, л (л) уз ~л ~. са а 16. и(г, ср, г, Г)=~с ~ ~ (Сл,„ л=е а=! ас=! ( (л) ( у(, ! пю -асхл Х Ул ~ — г з!п — г.е, где л( и а ел 4 С, соз псу + ))л ас, ь з)п лср) Х г)а д г пя) Х 3!п — гсов лср с)»с(ср, й )г у г Х 4 ~л,ас,а= з ~г, ( Х з1п —" г з!п лср с(г ог (ср, /с у(л) и )с ь определяются, как в задаче 13 л,т,ь 21. и(г) .=- Ка(()г). 22.
и(г, г) = с г+ и, + — » Сл Х а/ 2 з/ 2 1~ )с -к. 19. /(/г(х) = У/,— з))х, / (/г(х) = )/ — сй х; Кя))г(х) = )/ 2» е ° / 2 1/ 2 Ф) г(х) = — У ) г(х) = — — сов х, У (/з(х) =- У()г(к) = — з!п х; ,в/ 2 -(к иа н(г) (х) = У вЂ” е (». 20. и(г) / (Ог), /хи — () и=О, и~, и — — ио, -)/з /.ФК) Гчп х. лп 1 Х !о ( — г) в!и — г, где С = — ((ио — ио) (( — 1)" — 11+ ( — 1)" (ив — и!) ) Х ~ Ь ) Ь и — и ! Х, и(г, г) — потенциал поля Е, т. е. Е= — т)и. Указание. !О( 1, )Г) Искать решение в виде и = А (г)+ В (г, г), ЬА = О, А (0) = и1, А (Ь) = ио.
Гав х а„ 23. и (г, г) = — ~) Сп!о ( — г) сов — г, тле ~Ь ) Ь 1 ( и„ С„вЂ” ! (г) сов — г о(г. !о ( —" )х) ~~ сов —" г ~,) о ( л(2п — 1) 24. и(г, г) = — ' ' в!п ш 4ио % 1 Ь, л(2п — 1) Ко (! к( ОО ОО в(гпоо 25. и(г, г, !)=о(г, г)+ 1) !) Со,ае ( ! Х ОФ! а=! !ап х лЬ Х 7, ( — г) в!п — г, 1. 77 ) Ь Я й — 2 Г Г !а„х лп С„ь =- ) ) о (г, г) гуо( —" г) в!п — гО(гО(г, где ио — положи- тельные корни уравнения 7о (и) = О, ио 2ио чти ч ( — 1)п ! лп х лп о(г, г) = — а+в !о 1 — г) в!п — г. Ь л ~~~! (лп ) ', Ь ) Ь Указа н не.
Искать решение в виде и(г, г, 1) = о(г,г)+ ш(г,г, 1), где о(г, г) есть решение задачи (см. задачу 22) Ьо = О, о (й, г) = О, о (г, 0) = О, о (г, Ь) = ио (о( ( оо. Глава Х)г!. !. 1,„(о)=( — !) а (2Ь)1 2в" (Ь !)г , Родов(О) =О. 2. Ортогональны с весом (1 — х )о. Это следует из ортогональиости при- соединенных функций Лежандра. 3. и (х, 1) = 1) (С„сов а)Г2го(2п — 1) 1+ !ах + !)о в)п а вг2п (2п — 1) 1) Роп ! ( — ), Сп = (4п — 1) ~ гр ($) Реп ! ( — ) Оф. о 4п — 1 ~ (~)Р (в ) а рг2п (2п — 1) 1 о 376 4. Š— Уи, где и (г, 6) — потенциал поля: Уз+ т, з У Сл ~ — ) Р«л,(совВ), г(Г(, ~)7) йе и (г, 6) л« У! — Уз %ч / Я хвл+з У,+ — у Сл( — ) Реп+!(совВ), г))7, л О 4л 4-3 ( — 1)л(2л) ! С 2л + 2 2вл (л !)з л л гог 5. а) и (г, 6) =.
— е ~ — Рл (соз В); „Зл+! л л О и О )(зл+! б) и (г, В) = — е ~ „~! „, Рл(созй). л=е Г «« ~) Сл ( — ) Рл (сов В), г ()7, л=е л« ~Р ( — ) ( зВ), г>Р. и (г, 6) = Здесь г! — расстояние от точки (г, 6) до точки (ге, В), где расположен заряд. Воспользоваться разложением — ( — ) Рл(совй), г(г«, л=о «л — ( — О) Рл(сов й), г) гл. г! Коэффициенты С„и Рл находятся нз условия У ()«; 6) = 0: ОГО Сл — О )лл+! е~.>л Рл =— л.!.! ГО В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
