1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 62
Текст из файла (страница 62)
е Пусть хо ~ [а, Ь]. Тогда найдется такое ао, что для всех а > и, имеем е„с ( пни (! хе — а[, [хо — Ь!]. Следовательно, для и > ио имеем 6„(х — хо) ы О на [а, Ь]. о Поэтому ] ор (х) би (х — хе) о(х = О. Следовательно, а е йз (х) б (х — хо) о(х — -- О.
Пусть хо ои (а, Ь). Тогда найдется такое л„что для а > и, интервалы (хе — еи, хо+ е„) будут целиком лежать на отрезке [а, Ь]. Следовательно, для таких и ь .о+е. <р (х) би (х — хо) о(х = ]!! <р (х) би (х — хо) Нх. «о еи Применим к последнему интегралу теорему о среднем значении. Получим «о+о„ «о.(-е„ ~р (х) 6„(х — хо) ~(х = ф ($и) ] би (х — хо) бх =- ор (яи) «е — си о где яи оп [х, — еи, х, + е„].
При и-и со имеем $и -ьхо, Поэтому, учитывая непрерывность функции ор (х) на [а, Ь], получим б !пп 1(ор (х) би (х — хо) о(х = Ищ ю (яи) = ю (хо). и о« и оо а Утверждение доказано. В частности, для ф (х) = ! имеем ~ 6 (х — х,) о(« = ~ ( 1, хо с [а, Ь], ! О, х. ~ [а, Ь]. о Совершенно аналогично доказывается формула (64) б (М, М,),(т,=. ~ Ф(б(о) " " Ме с (1 (е) и О, если Миф О, для всякой непрерывной в (1 функции ~р (М).
З а м е ч а н и е. Если обратиться к последовательностям ([и], (ори]. (фи) примеров 2 — 4, определяющим 6-функцию 6 (х), то увидим, что каждая из ник *) Можно полагать, что функции 6„(х — хе), составляющие б-последовательностьи четны относительно х = хо. Тогда для хо = а или хе = Ь о 1 ~р (х) б (х — хо) о(х = — <р (хо) (доказать(). 2 е 350 сходится к и у л ю в любой точке х ти О и к бесконечности в точке х = О, )[мея это в виду, можно написать, что ~ оо, х= О.
с При этом 6 (х) в точке х = О обращается в бесконечность так, что ~ 6(х) йх =1 — з для любого а > О. Часто выражение (з) кладут в основу определения 6-функций как функционала *). 3. Функцию ю (х) будем называть финитнои, если она тождественно равна нулю вне некоторого интервала (а, Ь). Финитную функцию будем называть вполне гладкой, если она всюду непрерывна и имеет всюду непрерывные производные всех порядков, щОпределим понятие с в е р т к и двух функций, имеющее многочисленные применения. Пусть 1(х) — непрерывная илн локально интегрируемая (т. е. интегрируемая на всяком конечном промежутке) функция. Тогда сверткой 1(х) с ф (х) называют функцию [(х) агу (х) =- [ [ (х — 1) ~р (1) й. Ю Очевидно [(х) а ф (х) = гр (х) а ) (х) = ~ [ (1) ю (х — 1) йг (3) Х Поскольку ф (х) — финитная функция, то свертку можно также записать в виде интеграла: ь )зф=~[(.
1) р(1) йг (4) а по промежутку, вне которого ф (х) щ О. Отметим простейшие свойства свертки. С в о й с т в о 1. Если фракция ф (х) имеет всюду непрерывные производные до й-го порядка, то и свертка 1' з ф амеет всюду произюдные до й-го порядка и йз — [[ (х) а ~р (х)) = [[ а гр[1с1 =- [ (х)а ~р1с1 (х) (р = 1, 2,..., Ь). (5) дхс Это прямо следует нз формулы (3) и финитности функции ф (х).
Если функция 1(х) имеет непрерывные всюду производные до й-го порядка, а ф(х) интегрируема и финитна, то ()з гр)гс1 =11с (х) зф (х) (р = 1, 2,..., /г). (6) С в о й с т в о 2. Если последовательность непрерывных функций [[„(х)) равномерно сходитса на отрезке аь — Ь ( х ( Ьь — а к функции 1' (х), то д,и всякой непрерывной финитной функции ф (х), тождественно равной нулю зне интервала (а, Ь), последовательность ()з (х) з гр (х)) равномерно сходится на отрезке [аь, Ьз) к функции ) (х) я ~р (х). Справедливость этого непосредственно следует из формулы (4). Обозначим через (А', В') интервал, состоящий из таких точек х', что отрезок [х' — Ь, к' — а) ~ (А, В).
С в о й с т в о 3. Если последовательность (гз (х)) фундаментально на (А, В), а ф (х) — финитная и непрерывная функция (гр (х) м О вне (а, Ь)), то последовательность ([ь (х) Э гу (х)) фУндаментальна на (А', В'). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [а, [)) ~ (А', В'). Тогда отрезок [сс — Ь, [) — а] принадлежит (А, В).
Так как (гз (х)) — фундаментальная псследова- ') См. Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. — Мл Физматгиз, !959. тельность, то существуют целое число й > 0 и другая последовательность (Р(,(хЦ такие, что Р~~Ю(х) = /„(х) н ]Р„(х)] равномерно сходится на отрезке [и — Ь, ]) — а]. Вычислим /„(х) ж (р (х). Имеем /„ (х) а(р (к) = Р(, ) (х) а (р (х). Применяя формулу (б), получим /к (х) а (р (х) = ]Рн (х) а (р (х)] (7) По свойству 2 последовательность (Р„(х) а (р (хЦ равномерно сходится на отрезке [сс, 6]. Отсюда и из соотношения (7) следует, что последовательность (/„(х) а (р (хЦ фундаментальна. 3 а меч а н и е.
Еслн (р(х) — вполне гладкая функция, то формулу (7) можно записать в виде /„(х) а (р (х) = Р„(х) э ц)( ~ (х). (в) Поскольку последовательность (Рь (хЦ равномерно сходится па всяком отрезке [ы, ]) ] ~ (А, В), то по свойству 2 последовательность (Рп (х) н (ррю (хЦ равномерно сходится на всяком отрезке [а+ Ь, р + а], принадлежащем (А', В ). Таким образом, справедливо С в о й с т в о 4.
Если последовательность (/„(хЦ фундаментальна на (А, В), а (р(х) — вполне гладкаяфинитнаяфункция ((р(х)=0 внв (а, ЬЦ, то послвдовательносгпь (/и (к) а (р (хЦ равномерно сходится на всяком отрезке [и', ]Г] г (А', В'). Теперь естественно принять следующее О п р ед е л е н и е. Свврткой произвольной обобщенной функции /(х), определяемой фундаментальной последовательностью (/„(хЦ, с финишной непрерывной функцией ц) (х) будем называть обобщенную функцию / (х) е ц) (х), определяемую фундаментальной последовательностью (/а (х) э ф (хЦ.
Очевидно, / (х) е (р (х) = (р (х) е / (х). Так же определяется свертка обобщенной функции /(х) с произвольной финитной интегрируемой функцией ф (к). При атом справедлива формула для производных (/ м (р)(Я) = /(о) а (р, где /(о~ — производная р-го порядка обобщеаной функции. В частности, определена свертка 6-функции и произвольной финитной всюду непрерывной функции (р (х): 6 (х) е (р (х) = (р (х) а 6 (х). С в о й с т в о 5. Длл финишной и всюду непрерывной функции (р (х) справедливо тождество (р (х) з 6 (х) : ф (х). Предварительно докажем лемму.
Л е м м а. Пусть (Ьк (хЦ есть Ь-последовательность, а (р (х) — непрерывная на (А, В) функцил. Тогда последовательность ((р (х) а 6„(хЦ сходится к р (х) равномерно на волком отрезке [и, ])] ~ (А, В). Доказательство. Пусть [и,й]~(А, В). Для любого з>0 найдется такое п, (в), что при и > п, для всех х из [и, 6] и всех т из ( — в„, еп) выполняется неравенство ](р (х Г) — (р (х) ] ( а. Оценим разность (р (к) э 6п (х) — (р (х)( ), (*) .
В.г(*) — г ( ) ( = ]' г (* — ОЦ). (г ( — г ( ) $ = ь ц) (х 7) 6„(г) й) [ (р (х)дп В)й/ -= ~ [(р~(х — 7) — (р(х) ~ Ьп (1) гП= Ю гк ~ ] ц) (х — Г) — (р (х) ~ Ьп (Г) йд 352 Для указанных выше и > п, (е) и любых х ш [и, [)) последний интеграл меньше, чем е» в [ 6„(1) йг= — е. Таким образом, для и > пе (а) и х ш [сс, Р[ [<р (х) в 6» (х) — ~р (х) [ ( в.
Лемма доказана. Доказательство свойства 5. Поскольку функции ф(х)в и 6„(х) непрерывны на (А, В) и по лемме последовательность (ф (х) в 6„(х)) равномерно сходится к функции гр (х) на всяком отрезке [а, б[ С (А, В), то по теореме 1 она фундаментальна и определяет обобщенную функцию, равную ф (х). С другой стороны, по определению свертки фундаментальная последовательность (ф (х) е 6» (х)) определяет свертку гр(х) в 6 (х). Поэтому ~р (х) в 6 (х) = ф (х). Кроме того, <р(х) = 1нп[ф(х) а 6» (х)) =!нп ~ ф (х — Г) 6» (Г) дГ.=- ».+ ЮО »-ь» О Ю 1 Ф(х — Г)6(1)Ж= 1 гр(Г)6(х — Ооб Мы при этом воспользовались определением интеграла от произведения непрерывной функции на б-функцию.
Таким образом, свертка 6-функции с произвольной непрерывной функцией ф (х) может быть записана в виде интегралов: СО ф(х)вб(х)= ~ ~р(х — 1)6(1)й( = ~ ф(1)6(х — 1)йб С в о й с т в о б. Свертка произвольной обобщенной функции [ (х) с вполне гладкой функцией ф (х) имеем непрерывные производные всех порядков. Д о к а з а т е л ь ство. Пусть обобщенная функция 1 (х) определяется фундаментальной последовательностью (г» (х)). По свойству 4 последовательность (г» (х) в ф (х)) равномерно сходится на всяком отрезке [и', [)') ~ (А', В') к непрерывной функции. Из формулы (8) и свойства 4 следует, что последовательности [(1» в ~р)В[ ) иэ производных бго порядка (1 = 1, 2, ...) также равномерно сходятся к непрерывным функциям.
Тогда по теореме о почленном дифференцировании последовательностей ь) отсюда н следует свойство б. Можно определить свертку произвольной обобщенной функции [(х) и 6-функции как обобщенную функцию [(х) а 6 (х), определяемую фундаментальной последовательностью (/(х) в 6» (х)), где (6„(х)) — произвольная 6-последовательность. При этом справедлива формула [ (х) е 6 (х) = [ (х). ') См. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М., Основы математического анализа, т. П, гл.
ХЧ1, изд. бе. — Мл Наука, 1968. 12 Арсен»и н. я. 353 Приведем сводку наиболее употребительных формул н соотношений, содержащих 6-функцикь Локазательство многих из них читатель легко проведет самостоятельно или найдет в специальной литературе о). 1. 6( — х) = 6 (х). 1 2, 6 (ах) = — 6 (х) . 3, 6 (ф (х)) = ~~ С.~ ( ф' (х.) 1 если ф (х) имеет только простые нули х„. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
