1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Я /р /е уе е -уг -П4 Ф' -Д// -(р -Д -/4 с с/ уг" у/ уж /)т рр у/ се ар /р Рис. 45. На рис. 45 приведены графики присоединенных функций Лежандра. О 3. Фундаментальные сферические функции 1. Согласно О 2 функции Ч'„(соз О) соз /г~р и Ч'„(соз О) з1п к/р являются сферическими функциями. Здесь Ч'» (з) — непрерывные на отрезке [ — 1, 1) решения уравнения (7) (~ 2). В З 2 мы нашли все возможные решения этого уравнения.
Это суть присоединенные функции Лежандра. Таким образом, функции У"„(О, ср) = Р» (соя О) з»п Ьр и р"„~(О, ~р)=Р»(созО)созйр, У~(О, ~р) = Р„'(созО)=Р„(созО) являются сферическими функциями. Их называют также фундаментальными сферическими функциями и-го порядка. Очевидно, что функции л у„(О, р)= 2. с»)'"„(О, /г) (17) ззз будут также сферическими функциями.
Они называются сферическими функциями и-го порядка. При Х = и (и + 1) уравнение (!) имеет решения ! Р,(г) =г" и Р,(г) = Следовательно, и,(г, О, »ь) =!"1'„(О, ср), из(г, О, !ь) = +, 'г„'(О, ср) (18) г ) ~ 1'„(О, Ч!) )г,(0, ср) до=0, если п4:в, ля или )' ) у„(0, »р) ); (О, »р) мп О йО йц = О. (19) о о Для доказательства этого заметим, что свойством ортогональности обладают фундаментальные сферические функции: зя л ) 'г'»(О, »р) г',"(О, Ч!) з1пОдййр=0 прп (и, Уг) Ф(з, р), (20) о о ибо ) ) у„'(О, и:) 1"!(О, ч>) з!пбйОЬр= о а ел ! з!пй!1 гни рц!й!р ~Р~(~) Ре(~)Я=О при (и, я) чи (в, р) (мы для определенности положили и > О, р > О).
Если я ~ р, то первый интеграл правой части равенства равен нулю. Если же я = р, ио и ~ з, то второй интеграл равен нулю. Из ортогональности фундаментальных сферических функций и из формулы (17) следует ортогональность (19). Вычислим квадрат нормы 1г»~~= ) ) [у„'(о, »г)Гз~пойой!г= ~ з1п'й»гй!г ~[Р»(Ц'й~, о о о — 1 являются гармоническими функциями. Они называются и!правыми функциями и-го порядка.
Таким образом, сферические функции и-го порядка )г„(0, »р) являются значениями шаровых функций и-го порядка на единичной сфере. 2. Сферические функции обладают свойством ортогональности на единичной сфере: Следовательно, („ „ ,1, / 1, й ч О, 2 + г '( — гбг ' ' 1 2, й=о. 3. Т е о р е м а. Шаровые функции г" У„(0, гр) являются одно- родными гармоническими многочленами и-й степени по перемен- нымх, у,з.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку л Р„(0, р) = Е С,У'„(О, р), нам достаточно доказать теорему для функций г"У~ (О, Чг). Для определенности рассмотрим г"У„~(0, гр) и й ) О. Тогда у'„(О, Ч) = р„'(й) соз Ьр = (1 — ~')"' — ", р„(й) соз Ьр = во = (1 — Р) дг' — ~ а $" — 'д соз Ьр = (1 — Р)ю' ~~, д $д — 'д-о соз Ьр, ~~а ~л о=о д=о где $ = соз О. Очевидно, достаточно доказать теорему для функ- ций вида г" гйпдО (соз О)" — 'д —" соз йгр. Для таких функций мы имеем г" зги' О (соз О)"-од-о соз Ьр =— = г" згпд О Ке (егьа) годг" — 'д — о (соз О)" — гд — д = — Ке (» + гу)о (хо ( уо + ~2)2дап — од — д Очевидно, это однородный многочлен и-и степени. Фундаментальные сферические функции можно рассматривать как собственные функции краевой задачи: Найти значения параметра Х и отвечающие им решения урав- нения 1 д дГ дои непрерывные в обласпш О < О < и, О < гр < 2гг и такие, что )г (О, гр + 2п) = У (О, гр).
Числа Х„=- и (и + 1), где и — целые неотрицательные числа, являются собственными значениями этой краевой задачи, а фундаменпгальные сферические функции У~ (О, гр), 1'„(О, гр), У, (О, гр), й =- 1, 2, ..., гг, — огпвечающими им собственными функциями. Совокупность фундаментальных сферических функций исчерпывает все линейно независимые решения уравнении (2), непрерывные в области О < О < я, О < чг < 2п и такие, что 1' (О, гр + 2я) = У (О, гр). Эта совокупность замкнута относительно семейства всех непрерывных в области О < О < и, О < гр < 2п функций таких, что У' (О, гр + 2п) =- 1' (О, гр). Мы опускаем доказательства этих утверждений.
35 П р и м е р. Определить температуру внутренних точек однородного шара радиуса Р, если на поверхности его поддерживается нулевая температура, а начальная температура равна /(г, 9, ф). Математическая постановка задачи: требуется найти решение уравнения 1 Ьи = —, иг в области 0 -гс.,Р, 0= О ( л, 0=" ~р ( 2л, / > О, удовлетвоаз ряющее краевым условиям и (Р, О, ~р, /) = О, ) и (О, О, ~р, 1) ( < оо, (22) и (г, О, гр+ 2л, 1) =- и (г, О, ф, 1) и начальным условиям и (г, О, гр, О) = / (г, 9, ~р). Р е ш е н и е. В классе функций вида А (г) У(0, ф В (1) найдем решения 1 уравнения Ли = — ио удовлетворяющие только краевым условиям. Разделяя аг переменные, находим В' + а'аВ = О, ! д г .
д)г х 1 дгу — — (5ШΠ— /+ ° — +)Х='О, гдпй д9 (, дО / з1пзО д~р~ (23) (л+ — ) гз ) У (О, ~р) ( (оо, 1'(О, ~р+2л) щ )г(0, гр), (24) г1 — (гаА') + (агг — й) А = —.. 0 ! А (О) ) (оо, А (Р) =.= О. дг Решениями задачи (23) прн Х =- л (л + 1) являются сферические функции Ул (О, ф). Если в уравнении для А (г) произвести замену функции по формуле А (г) = г (г)/Ргг, то для г (г) получим уравнение общее решение которого можно записать в виде г (г) —: М/лч Пг (ГГаг) + ~ — л на (Ргаг). Следовательно А = '"И'~"' Р'- (~") Из условия ограниченности А (0) находим л/ = 0; М можно положить равным 1.
1 Таким образом, А (г) =- = / ,ы,(Р'аг). Из условия А (Р) = 0 получим уравнение для определения а: Хлч Иг (Р) О Р -- 'ггаР. Пусть положительные корни этого уравневия суть Рцл Рх,л ° ° ° (гз,л, ° ° ° Тогда а „= Рг „/Р-'. Решения задачи (24) имеют аид 1 / Рл л Ал, (г) = = /л 1~/г ~ г) ° Обращаясь к уравнению (23), находим а а5, л лэ Вз, л =- Сз, ле 1О. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между проводящими заземленными концевтрическими сферами г = йх и г = ))а.
Определить также плотность поверхностных зарядов. 11. Найти стационарное распределение температуры в шаре радиуса й, часть поверхности которого ох (9 ( а) имеет температуру ие = сопз1, а остальная часть 5а — нулевую температуру. 12. Шар радиуса й нагревается плоскопзраллельным потоком тепла плотности д, падающим на его поверхность, и отдает тепло в среду с нулевой температурой по закону Ньютона. Найти стационарное распределение температуры. 13. Решить задачу о колебаниях газа в сферическом сосуде, вызванных малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента Г = О, если скорости частиц стенки направлены но радиусам и величина их равна Р» (соз 9) 1(1), где г (0) = у' (0) = О. 14.
Найти собственные колебания сферы при краевых условиях первого, второго и третьего типов. 15. Решить задачу об остыванни шара радиуса )1, на поверхности которого поддерживается нулевая температура. Начальная температура равна 1 (С 9, <р) Глава ХУП НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ о ГинергеометРичесКих ФунКциях Широкий класс специальных функций дают решения гипергеометрического уравнения г (1 — г) ю» + (у — (а + й + !) г) и' — са)31п = О. (1) Это уравнение имеет три особые точки: г, =- О, г, == 1 и г, = оо.
Построим фундаментальные системы решений уравнения (1) в окрестности каждой особой точки. Полагаем, что у ~ О, — 1, — 2, ... 1. В окрестности особой точки г, =- О будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда ю (г) = гв (1 + а,г + а,г' + ... !- а„г", + ...). Подставляя этот ряд в уравнение (1) и приравнивая нулю коэффициенты прн всех степенях г в левой части уравнения, найдем о и а„. Из равенства нулю коэффициента при г' — ' находим о, = О и о, = 1 — - у. Если взять о = о„то из равенства нулю коэффициентов при степенях г, г', ... в левой части уравнения найдем (а)» (р)» 1 .
у ' ' ' ' ' " п 1 (у)„ где (х)„== х (х+ 1) ... (х+ и — 1), (х), = 1. Таким образом, при и = О получим формальное решение в виде степенного ряда р ( 1) ) 1, ч)» (~)л (р)а (2) Ь 1 (у)ь ь=-1 Этот ряд сходится в круге ) г ~ ( 1. Следовательно, в этом круге функция р (а, (3, у, г) является фактичсским решением уравнения (1). Она называется гипергеометрической функцией, 338 Итак, одним нз решений уравнения (!) в окрестности особой точки г = О является гипергеометрическая функция ь, (г) =- Р (а, !3, у, г).
2. Чтобы найти второе решение уравнения (1) в окрестности особой точки г, = О, произведем замену функции по формуле ш = г' — ти (г). Подставляя это выражение в уравнение (1), получим уравнение для функции и (г): г (1 — г) и" + (у' — (а' + (3' + !) г ) и' — а7'и = О, где а' = а + 1 — у, (3' =- (3 + 1 — у, у' = 2 — у. Его решением в окрестности точки г =- О, согласно предыдущему, является функция и (г) =- Р (а + 1 — у, )3 + 1 — у, 2 — у, г).
Следовательно, функция ш,(г) =г' — т Р(а+1 — у, !3+1 — у, 2 — у, г) является решением уравнения (1) в окрестности точки г = О. Очевидно, ия (г) является линейно независимым с и, (г) решением. Таким образом, функции аь (г) и ш, (г) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) в окрестности особой точки г, = О.
3. Для построения фундаментальной системы решений уравнения (1) в окрестности особой точки г, = 1 произведем в уравнении (1) замену независимой переменной г = 1 — $. Получим уравнение $ (1 — $) —, + (у' — (а + р -!- 1) с) — „— ар1в = О, где у' = а + !3 + 1 — у. Следовательно, фундаментальной системой решений уравнения (1) в' окрестности особой точки г, = 1 будут функции ша (г) = Р (а, р, а + р + ! — у, 1 — г) и ~, (г) = (1 — г)' "-а Р (у — р, у — а, у + 1 — а — (3, 1 — г).
4. Фундаментальная система решений в окрестности особой точки г = оо строится так. Сначала в уравнении (1) производится замена независимой переменной $ = 1/г, а затем замена функции ш == 9'""и. Тогда для и ($) получим уравнение 5 (1 — $) —,, + (у' — (а' (- р' + 1) 9) — „— а')3'и = О, где а' = а, (3' = 1 + а — у, у' = 1 + а — )3. Следовательно, одним из решений уравнения (1) будет функция ! г 1 эа (г) = — Р ( а, 1 + а — У, 1 + а — Р, — 1.
7 7 339 Так как уравнение (1) симметрично относительно а и р, то функция ш,(г) = — Р(р, 1+(3 — у, 1+р — а, — ) также будет решением уравнения (1). При а~р ш, (г) и в, (г) образуют фундаментальную систему решений. Очевидно, Р (а, (1, у, г): —.
Р ()), а, у, г), Непосредственно устанавливаются формулы (ь — Р(а, (), у, г) = ' " Е(а ~-)г, ~+А, у-~-(г, г). аг~ (7)г 5. Из представления Р (а, р, у, г) в виде ряда (2) непосред- ственно следует, что для целого поло>кительного числа л Р ( — и, (3, у, г) есть многочлен степени и.
Так, Р( —, +1, 1, ',') =Р„(). Через гипергеометрическую функцию при соответствующих значениях параметров а, р, у выражаются элементарные и другие функции. Например, Р( — т, 1, 1, г) =(1 — г)~, Е(1, 1, 2, г) = 1и(1 — г), 6. Для Ке у > Ке () > 6 справедливо интегральное представление ! о Действительно, (6)г г (6 + ы г (т) . г Ф + ь) г( т — 6) г (т) (т)ь г (т + ь) ' г Ф) г (т + ь) г Ф) г (т — р) г (т) =, Фгг р] В(()+ р ' — ))):— 1 Г(т) ( рчь — 1 т — р — 1 (1 ГФ) г(т — 6) ) о т. е Ф) г (т) ( р+г — ~ т — р-1„ (4) (т)ь - =г Ф) г (т — Р) ) о Заменяя — в ряде (2) по формуле (4) и меняя порядок суммиро- (Р)ь (т)ь вания и интегрирования, получим 1 Ю Р(а, р, у, г) = т) (1~ ' (1 — ()т " ' ~~ — ~(г()" с(1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
