1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Р е ш е п и е. Сначала найдем решения уравнения ои = 0 вида и =- =- ! (г) ф (8), удовлетворяющие только условию ограниченности. Разделяя переменные, получим и' — (гз)') дг В этой задаче мы воспользовались следующей гсоремой разлажимости функции ф (ь) в ряд Фурье по многочленам Лежандра: Если функция гр (в) кусочно-непрерывна влгесгпе с производной гырвого порядка гр' (ь), то в кагкдой точке непрерывности ~р ($) ее ряд Фурье по лГггогочленол~ Лежандра сходится к этой функции. Мьг не будем приводить доказательства этой теоремы. П р и м е р 2, Разложить плоскую волну о = егь' в ряд по многочленам Лежандра и функциям Бесселя.
Р е ш е н и е. Функция о = егь"= ег ' сь является решением уравнения йо + дзо = О. В сферических координатах оно запишется в виде 1 д з, 1 д —, ° — (г'од + .. ° — (оа з!и О) + йео —. О. га дг " гзз!пО дО Будем искать решение этого уравнения в классе функций вида о =- ( (г) ф (О). Разделяя в последнем уравнении переменные, получим — — (гар) — ' йз — —, 1' = О, ") =' 1 — — (ф' гйп О) + р ф =- О. з)пй ' йО Ограниченные решения уравнения для ф будем иметь прн р = и (п+ 1) в виде многочленов Лежандра ф (О)=Р„(соз О). Уравнение для! (г) после замены переменной 1 (г) = гр (г) ргг примет вид Ограниченным решением этого уравнение будет функция Уо Ьщв (г.г).
Таким образом, уравнение, которому удовлетворяет рассматриваемая плоская волна, 1 имеет семейство решений=Унг!г,(йг) Рн(сов й). Поэтому есгественно ног пожить (19) о =о Пользуясь ортогональпостыо многочленов Лежандра, находим '~ел!,з (р) 2н + ! Г ггп ур 2 Производя и раз интегрирование по частям в правой части, полу шм нч! 2 — — — — ('е'ойр„(в)~'! — — з'!егойр (в))!'г Р 1 гойр)о) 1 р)". ОО;1 Это соотношение справедливо при Любых р. Для больших р мы можеи заменить функцию 1л ) !Гз (р) ее асимптотическим представлением. Получим — )соз )р — (л+ — ) — — — ~ +О ( — )]= — ~з!п (р — л — ") + 0 ( — )] = )' л (2л + !) Р 2 гр$р (г) ]1 1, ( ) ] гоар!л) (Х) ] ! Из этого соотношения следует равенство главных членов: з!п (р — л — ', ) 2л+ 1 — [е!о — ! ( — 1)л с 'о), р о сл или сл з!п (р — л л — ]! ле'о — !"е 'э] = 2л+! = "~,'( -"-");, -л-:)~=„,тп(„..) Отсюда находил~ с„=.
! — !" (2л + 1) =- )г2л !л ( л -,'- — ! (20) а'Ли =- игг для г ) гс, 0«евндно, декартову систему координат можно выбрать так, чтобы плоская вочна ие записывалась в виде Газ -ИШ иа =е Будем искать о (М, !) в виде о = Ф (М) е гь'г. Тогда для Ф (гМ) задача будет ставиться следующим образом: ЛФ + йзФ = О дл я г ) )!, Иг где фа = е 304 П р и м е р 3. Решить задачу о возмущении плоской акустической волны и, (М, !), обусловленном налнчием сферы радиуса гх с абсолютно твердыми стенками, т. е.
задачу о рассеянии звука иа сфере. Будем полагать, что центр сферы находится в начале координат. Движение вне сферы будет описываться функцией и (М, !), равной и (М, !) = и, (М, !) + + о (М, !), где о (М, !) — искомое возмущение. Поскольку функции и (М, !) и ие (М, 1) являются решениями уравнения азЛи = ии, то о (М, !) будет танже решением этого уравнения. Функции и, ие и и будем интерпретировать как потенциалы скоростей. Тогда на поверхности сферы должно выполняться услоди вие — ~ = О. Таким образом, задача для о ставится следующим образом: дл !г =н Имея в виду разложение (19) плоской волны фе (без временного фактора), естественно искать Ф (М) в виде ряда Ф = ~~ Фл~(М); ги=о Фы (М) буде.г решением следующей задачи: ЛФю+ йзФ, = О д. г~ В, (21) Н,1"И.) =- ~/ 2 ( ' ') ~1+О( — ')~, то общее решение уравнения (23) надо написать в виде В.
(г) = и.вйгз(йг)+ В.НЙ!(з(1.) и сохранить лишь член с функцией Н'"1 (йг) *). Таким образом, получим Вю (г) = а ь,„(аг), где йт (яг) = нт 11 з(йг). )г и'г Козффнциент ию находим из краевого условия (22), которое дает нам В' ()х) = = — А,'н (Р). Отсюда находим г)ю ()') (ю ( )') т г а,ч =- ' .—.. — с,„ = — $/2п (~ (ш 6 — ) Ь,„((зй) й Ь„, (/гй) 1 где / (р) .== — уюы (р). Следовательно, р Ф (М) = ~) Ф,„(М) =- — р'2зт ~ (т+ — ) (ю (О) йю (й(О )ш (йв) й,н (Ы) й„, (йг). ') Функция Е!,'„~~ ыа ((гг) дает сходящуюся волну.
305 .=. — — (А (г) Р (созо)), и, )Ф ) (оо, (22) где Аю (г) Р,„(соз 6) — член номера и в разложении (19). Ищем Фю(М) в виде произведения Фч, = В„, (г) Ч'„, (6). Тогда, очевидно, в силу краевого условия (22) функция Ч'ю (6) должна быть равной Р„(сов 6). Подставляя Ф,„= Вм (г) Рю (соз 6) в уравнение (2!), получим уравнение для Вю (г): В + 2 В' + (йз — (,+ " )  — О.
Если положить Вш = Вю г г, то для 0ш (г) получим уравнение / г (23 Это уравнение цилиндрических функций с индексом т = т + !/2. По физическому смыслу задачи функция е (М, () должна представляться в виде супер- позиции сферических расходящихся волн — е ! . Поскольку при боль- Ш 1г — а!1 г шнх значениях г подходящую асимптотику имеет только функция Ганкеля Нт ~ (йг): 10. Приведем без доказательства одну из теорем разложимостп функций в ряд Фурье по многочленам Лежандра, уточняющую теорему Стеклова (гл. 1гь, ~ 2) в случае, когда разложение производится по многочленам Лежандра.
Т е о р е м а 5. Если функция 1" (х) и ее производная 1' (х) кусочно-непрерььвны на отрезке [ — 1, 11, ьпо в каждой точке х ья ье [ — 1, 11 ее ряд Фурье по многочленаль Лежандра ! АР„(х), с, = р „~1$) Р„(ь) йь, л=ь сходиягся к числу — [1(х -'.
О)' ,1(х —. О)1. 1 Если функцич 1 (х) и ее производные )" (х), 1" (х) непрерывны на отрезке [ — 1, 11, то сходимость к г' (х) будет равнольерной на опгрезке [ — 1, 11. й 3. Многочлены Чебышева — Зрмита Мы опрсделим два новых класса ортогональных многочлеиов, имеющих многочисленные приложения. Их можно определить несколькими способами. Мы воспользуемся таким методом, который позволяет проще всего получить основные свойства определяемых многочленов.
Этому требованию удовлетворяет определение с помощью производящей функции. 1. Возьмем в качестве производящей функции функцию Н (х, 1) == е"'-" и разложим ее в степенной ряд по степеням Е Н(х, 1) =- ~~ь Н„(х) —,. (24) п=-0 Ниже будет показано, что коэффициенты разложения Н„(х) являются многочлепами, называемыми льногочленаич Чебышева— Эрмшпа. Очевидно, Н„(х) =- дг" С другой стороны, производная п-го порядка — функции Н д"и дьл при 1.-- О вычисляется по формуле — — — дд где замкнутый контур С охватывает точку 1 = О. Следовательно, е-ы-ьг' Из этой формулы следует, что Н„(х) есть многочлен и-й степени, обладающий свойством четности: Н„(х) — четная функция, Ны. ! (х) — нечетная функция.
Очевидно, Н„(х): — 1, Н, (х) =- 2х, Н, (х) = 4х' — 2 и т. д. 2. Покажем, что многочлен Ни (х) является решением урав- нения у" — 2ху' + )у — — О при Х == 2п. Действительно, продифференцировав функцию нг == с — "" одиг! раз, аг' =-- — 2ле — "', находим тождсство цг' + 2хш -- О. Дифференцируя это тождество и + 1 раз, получим !жги!)" + 2х(нггиг)'+ 2пшмг:=- О.
(27) (26) Теперь, подставляя в это тождество, согласно формуле (25), ваги! = ( — !)и Ни(Х) и — ", получим следующее тождество: Н;; (х) — 2хН;, (х) + 2ггН„(х) == О. Уравнение (26) можно записать в виде — х (е- и"у') 1- Хе — '"у — - О. (28) Рассмотрим некоторые свойства многочленов Н„(х). 3. Т е о р е м а 1. Мноочлены Чебышева — Эрмапга ортогонольны на промежутке ( — оо, оо) с весом р (х) =с '": )( Н„(х) Н (х)с ." г(х=-О, есля поь р. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Напишем два тождества: — (е — 'Н„'(х)) + 2пе — '*Н„(х) ==- О, —. (е — х'Н;, (х) ) )- 2рс "'Нр (х) з— е О. ')Лавреитьев М. Д., Шабат Б. В. Методы теории фуикпий коиалекепого переменного, гл. !. — Мх 11аука, 1973. 307 Г1ронзпсдем в последнем интеграле замену переменной иптшрпровагггггг х — (:= и. Получим Н„(х)=еаа ' ( — 1)" ! ' г(9 ( †- х) с, где контур С, охватывает точку 9 == х.
Используя формулу для и-й производной интеграла Коши е), получим и Ни(х) = ( — !)иск — и(с ."). (25) ггх (1ервое пз иих умножим на Н, (х), второе — на Н„(х), резулыагь! вычтем один из другого и полученную разность проинтегрируем (по х) по промежутку ( — оа, оо). Получим Н ( е а Н и ) Н и ( е ~ Н и ) ! ~ ! г ( а дх со = 2(р — гг) ) Н„(х) Н (х)е — 'г(х.
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать в виде — '((Н Н; — Н„Н;)е ") г(х. Следовательно, 2(р — и) )' Н„Н„е — "г(х=(Н Н„' — НаН') е — "'~ =- О. Поскольку р ~ п, то отсюда непосредственно следует равенство (29). Найдем норму ~!'На!!. Предварительно докажем справедливость двух рекуррентных соотношений: Н„„(х) — 2хН„(х) + 2пН„, (х):— О, (30) Н„' (х) г— в 2пН„, (х). (3!) Для этого установим связь между производящей функцией Н (х, !) дН дН и ее частными производными — и †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
