1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 52
Текст из файла (страница 52)
28. Найти температуру в цилиндре (О ~ г ( )1, 0 == г И), если его начальная температура равна нулю и, начиная с момента 1 = О, основание цилиндра г = И поддерживается при температуре иэ =- сопз1, а остальная часть поверхности — при нулевой температуре. Глава Х)г ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ Мы уже отмечали, что к специальным функциям относятся также некоторые классы ортогональных многочленов. В настоящей главе мы рассмотрим наиболее употребительные из них в задачах математической физики. Сначала рассмотрим некоторые общие свойства таких многочленов, а затем, более подробно,— каждый класс в отдельности.
290 $1. Некоторые общие свойства ортогональных многочленов Я„,(х) ге ~ с«о«(х). «=о В обеих частях соотношения (*) — многочлен т-й степени. Для тождественного равенства их в обеих частях (а) должны быть равными коэффициенты при одинаковых степенях х. Из этих условий (их т + 1) находятся все числа с,.
Их можно также определить, пользуясь свойством ортогональности многочленов о«(х), по формулам ь с„— ) (г (х)о«(х)р(х)йх, А О, 1,..., т, 1 1Ч«1« (а) где ь /)д«!)' ) уо«(х) р (х) йх, а С в о й с т в о 2. Всякий многочлен Я (х) степени т орто- гонален с весом р (х) на промежутке (а, Ь) всем многочленам си- спммы (д„(х)) степени т + г, где г'= 1, т.
е. ь ) 1е (х)д „(х) р(х)йх = О для г= 1, 2, ... а действительно, пользуясь тождеством (*) и ортогональностью многочленов а«(х), находим ь т ) Я (х) о,„(х) р (х) йх = ~ с« ~ о«(х) о „(х) р (х) йх =- О, а «=О а С в о й с т в о 3 выражает следующая Теорема о нулях многочлепов. Если много- членьс (да (х)) (до (х) == 1) попарно ортогональны на промежутке 1Оа 291 1. Пусть [да (х)) есть система многочленов, попарно ортогональпых на промежутке (а, Ь) с весом р (х) ) О, т. е. таких, что для любых целых чисел и = О и й ~ О (и ~ й) выполняются равенства ) р (х) о„(х) о«(х) ах = О.
Будем говорить, что миоа гочлены (д„(х)) образуют нормальну>о систему, если среди них имеются многочлены всех неотрицательных степеней. Здесь д, (х)— многочлен степени и. Отметим простейшие свойства попарно ортогональных много- членов д„(х), образующих нормальную систему (оа (х)). С в о й с т в о 1. Всякий многочлен 1',1,„(х) степени т является линейной комбинацией многочленов д, (х), у, (х), ..., гй„(х), пь е.
существуют такие постоянные числа с,, с„..., са„что выполняется тождество (а, Ь) с весом р (х) > О и образуют нормальнучо систему, то у вся. кого многочлена а„(х) втой системы всг нули простые, вешрствгн. ные и расположены внутри промежутка (а,'Ь), Лок а зател ьот в о.
Пусть и — произвольное фнконрованное целое положительное число. В силу ортогональности многочленов о„(х) и у» (х) гз 1 имеем ь ~ д» (х) ! р (х) ах = О. а Следовательно, с„(х) меняет знак на промежутке (а, Ь) в некото- ром числе и различных точек (А ) 1). Пусть зто происходит в точках х„х„..., х„(х; ~ (а, Ь)»; и х; ~ х; при ! ~ !). Тогда д„(х) == (х — х,) (х — х,) ... (х — х,) гр„(х), где с~„(х) не меняет знак на (а, Ь). Очевидно, для доказательства теоремы достаточно показать, что й =- и. Предположим, что Ь ( и.
По свойству 1 для многочлена Й» (х) =- (х — х,) ... (х — х») справедливо раз- ложение Я» (х) = а„с» (х) + а,о, (х) + ... + а»о» (х), в котором и» Ф О. По свойству 2 ) д„ (х) )х» (х) р (х) йх О, С другой стороны, Э ь О 3Ч.())з ()р()й ) .()ЛХ(х)р(х)й О т»к к»к функция ~р» (х) Я (х) р (х) не меняет знак и» (а, Ь), Получили противоречие, Следов»тельно, й и, Теорем» доки-. »»н», Т»к к»и между двумя нулями диффереицнруемой функции г (х) имеется котя бм адик нуль ее производной ~' (х), то из этого свойств» и теоремы получвем С л е д с т в и е, асв нули производных всякого многочлена у„(х) из нормальной системы попарно ортовональных мноеочлв.
нов (о„(х)) простые и расположены внутри промежутка орпнь еональности (а, Ь). С в о й с т в о 4. для попарно ортогональных на промежутке (а, Ь) (с весом р (х) ) 0) многочленов из нормальной системы (д„(х)) для всякого и = 1 справедливо рекуррентное соотношение (тождество) в2 ха,(х) — а„„(х)+ ( — — — ) с„(х)+ — о»,(х), (1) »-1 где а„и ܄— нозффиииенты соответственно при х' и х" — ' в много» члене с»(х), й„= () с., )! = ) рд,,йх. 293 Доказательство, По свойству 1 многочлен х()„(х) можно представить в виде суммы л+1 х(1„ (х) = Я С(л' () (х), (зз) где в С" = —,) х()„(1 .р(1х.
(л) ! А' Очевидно, ,~г С = — ~ — ) х(),„()„р((х» = — С„ т л а Ю Согласно свойству 2 для всякого т ( я — 1 С " = О. Поэтому (л) (*«) при ни мает в ид х(1„(х) = С„'л+) (1„„! (х)+ С„'"'д„(х) » Сл'"'(((л ! (х), (л) (л) (л), из которого следует, что а, а,+(С«м и Ь» С.+(Ьл+(+а С» ' Отсюда Сл+! ~ а« я«+! а«як . аз я«»! )1рн я) ° и — 1 нз формулы С,',"ф С»(")(ззл получаем Сл(»)(4зл.(а«С«(" )4, Из втой формулы и нз формулы а»» а«»)С«»! с еамечой в ней л на и — 1 получаем я ! а» л-! ч т.
д, Я, Для промежутка ортогональности (а, Ь) многочленов се. мейства»дл(х)» допустимы три возможности 1) Промежуток (а, Ь) конечный. Линейным преобразованием переменной х его можно преоб. разовать в промежуток ( — 1, 1). 2) Промежуток (а, Ь) полубесконечный. Линейным преобразованием переменной х его можно преобразовать в промежуток (О, со). 3) Промежуток (а, Ь) бесконечный в обе стороны, т. е. (а, Ь) есть ( — оо, со). Имея это в виду, достаточно изучить семейства многочленов, ортогональных на промежутках ( — 1, 1), (О, оо), ( — оо, со).
В этой главе мы рассмотрим несколько семейств таких много- членов. Каждое из этих семейств можно определить несколькими способами (мы укажем их), Некоторые цэ цих мы определим «93 с помощью производящих функций. Хотя этот спосоо выглядит несколько формальным, но он позволяет проще и короче полу- чить основные свойства этих многочленов. $2. Многочлены Лежандра Ниже будет показано, что коэффициенты этого разложения Р„(х) являются многочленами, называемыми многочленами Лежандра. Функция Ч" (х, 1) называется производящей функцией много- членов Лежандра. Полагая в разложении тР (.х, 1) х == 1, получим "(1 т)= 1 т =1 ту+' ' +1 Г Следовательно, Р„(1) = 1.
Полагая в разложении Ч" (х, 1) х:= — 1, получим тр( 1 т) 1 Г л ... ) ( 1)н(н Следовательно, Р„( — 1) = ( — 1)". Очевидно, зачт Р„(х);= —— п1 З1а дплс Ю вЂ” от функ у' С другой стороны, производная и-го порядка ции Ч' при 1 = О вычисляется по формуле ') с (2т) где С вЂ” замкнутый контур, охватывающий точку $ = О. В интеграле (2,) произведем замену переменной интегрирования тт — за т г = ! — $ .
Получим с, Здесь С, — замкнутый контур, охватывающий точку г .=- х. *)Лаврентьев М, Гт., Шабат Б. В, й)етодм теорнн фупкцнй комплексного переменного, гп, 1, — Мг Наука, 197о, 291 ! . Функция Ч' (х, 1) = (1 — 2хг + Р)-''з аналитична по переменной 1 в окрестности 1 = — О.
Поэтому ее можно разложить в степенной ряд по степеням й Получим 'Р (х, 1) =- Ре (х) + Р> (х) 1 + ... + Р„(х) 1"„+ ... (1) !!спользуя формулу для и-й производной интеграла Коши, получим Р„(л) .— - ~ !(х' 1)" ] (4) '2" и < Ехп Таким образом, Р, (х) действительно является многочленом, и притом и-го порядка. Формулу (4) часто называют формулой Родриго, Из формулы (4) следует свойство четности многочленов Лежандра: Р,„(г) — четная функция, Р„„, (г) — нечетная.
Очевидно, Р,(х) г= 1, Р,(х) ==х, Рэ(х) =- —,, хг-- —, 2. Нетрудно получить дифференциальное уравнение, решением которого является Р„(х). Для этого рассмотрим функцию ш — (хг — — 1)". Очевидно, ш':- 2их ( кг -- 1)" ' = 2их<е<(х' — 1), или (х' — 1) ш' —. 2ихш: — О. Дифференцируя это тождество и + ! раз, получим (хг — 1) !ш<'>!"--2х(ш<">!' — и (и + 1) <е< > =: О.
Таким образом, функция и><"> (х), а следовательно, и Р„(к) (по- 1 скольку Р„(х) =- „ш<"> (х)), удовлетворяет уравнению 2"и> (1 -- хг) у" — - 2ху' + ).у ==- О (при 1. =- и (и + 1)). (5) Оно называется уравнением Лежандра. Его можно написать также в следующем виде: !(1 . х') у'! ; '),у = О. (5,) Второе, линейно независимое с Р„(х) решение уравнения (5), по теореме гл. Х1Ч, й! имеет в точках х = --! логарифмическую особенность. 3 а м е ч а н и е. К построению многочленов Лежандра можно подойти и иначе: искать ограниченное на отрезке ! — 1, 1! решение уравнения (5) в виде степенного ряда ~~ е„х", 1!ри Х =:= л=.о и (и <- 1) этот ряд обрывается на члене с и-й степенью, т, е. при л = и (и 4- 1) решением будет многочлен и-й степени Р„(х).
Он отличается от многочлена Лежандра и-й степени лишь постоянным множителем. Этот множитель вь<бирается так, чтобь> иметь Р„(1) .== !. Формулу Родрига также можно принять в качестве определения мно>.очленов Лежандра.
295 3. Пользуясь определением мпогочлспов Ра (х), легко можно доказать справедливость двух рекуррентных соотношений: (и+1) Р„„г(х) — (2п+ 1)ХР„(х)+пР„,(х) = О, (6) Ра (х) = й (Ром (х) — Рп 1 (х)]. (7) Для этого продиффереццируем по переменным 1 и х разложение функции Ч' (х, Г). Получим тождества — „, = Р, + 2РзГ + ° ° + пР„)"-' -', з — ) й г гз =Ро Г 1 +''', я)" +''' ) дч' Рр или (х — 1)(Р + Р,1+ ° ° ° + Р„г" + ° ) .:— : — (! — 2х1+ Гз) (Р, + 2Р,1 (- ° ° ',— пР„1"-'+ ° ), 1(Ро+ Рз(+ + Ряг" + ) зз : — (1 — 2ХЕ+ Р)(Ро+ Р11+ + Р 1" + ) Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при одинаковых степенях 1, получим тождества (п + 1) Р„„(х) — (2п + 1) хР„(х) + пР„, (х) =- О (6) (8) Р„(х): — Р„',1 (х) — 2.кР„' (х) + Р„', (х) Дифференцируя тождество (6), получим (и + 1) Р„'„(х) — (2п + 1) Р„(х) — (2п + 1) хР„'(х) + пР'„, (х) = О Исключая из этого соотношения и соотношения (8) произведение хР„'(х), получим тождество (7).
3 а м е ч а н и е 1. С помощью соотношения (6) и формул Р, (х) = 1, Р, (х) = х, очевидно, можно определить все много- члены Лежандра. 3 а м е ч а н и е 2. Соотношение (7) позволяет выразить интеграл отмногочленаЛежандра) Ра (х) с(х через многочлены Раы (х) и Р„| (х). 3 а м е ч а н и е 3. Рекуррентную формулу (6) можно получить и из общего рекуррентного соотношения (1) на стр. 292, если воспользоваться формулой Родрига для нахождения коэффициентов а„, (з„, ал и ... 4. Т е о р е м а 1. Многочлвны Лежандра ортогональны на отрезке 1 — 1, 1) с весом р (х) ь— з 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
