1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Действительно, Н,п г (г) г(г = ~ ~ е — " '" й + г«а г(г гЦ = О, с с,ь так как функция е — """й при любом фиксированном $ анали- тична всюду по г, и поэтому по интегральной теореме Коши ге г! п ь г(г = О, Перестановка порядка интегрирования здесь была законной в силу равномерной сходимостн интеграла по контуру С,. Тогда по теореме Морера *) Н,'" (г) аналитична в области Ке г ~ 6 > О.
В силу произвольности 6 Н(Р (г) аналитична в области Ке г > О. Аналогично доказывается аналитичность Н,"' (г). 3 а м е ч а н и е 2. Совершенно аналогично устанавливается аналитичность всюду функций Ганкеля по переменной т. Таким образом, функции Ганкеля сугпь целые функции индекса т. Поскольку интегралы ) Кгпг($ и ) Кмог($ сходятся равноср ср мернов области Кег 6(6)0), то при вычислении производных функций Ганкеля дифференцирование можно производить под знаком интеграла. С в о й с т в о 3.
Справедливы предельные соотношения 1!ш (К (г, 5) о' (6) — Кй(г,й) и ($)$ = О, й= — лега — кег, (К (г, ~) о' (р) — К, (., 6) . (р)) = О, Ке. > О. (4)) $=18- ° — г и Докажем первое из них. На верхней части контура С, (К (г $) и' (й) ( — (е — гг г~ий+г«Цт ! ( т(е — «гь р — га+пе «О при р-«со; ) К) (г С) П (й) ! — ! Гг СО8 йв — Гг «!и г реей )— =(г(с(т()е — ""Р-'Рысь-е-О при ~)-+- сю Отсюда следует справедливость первого соотношения. г)См.
Лаврентьев М. Л., Шабат Б. В. Методытеорннфункпнй комплексного переменного. †.Мл Наука, !973. 268 Второе доказывается аналогично, Таким образом, функции Ганкеля являются решениями уравнения (!), аналитическими в полуплоскости Ее г) О. 3. Путем непосредственного вычисления убеждаемся в справедливости рекуррентных формул Н»'+) (2) (- Н» — ! (2) =-' — Н» (2) (й= 1, 2), (42) Н»н)'! (2) — Н»'~! (2) зе — 2 — „Н)л) (2) (й = 1, 2).
(43) Действительно, Н! ) (2) ! Ны) (2) ! ) — 22мпе( 2!»)-!)а );!» !)2) »е! сл ! = — ~ е —" "" 2+!»$ (е)а + е — !») 21~ = сл 2 г — — ~ е )»я'» )!»а соа $2й = — ! е!»421 (е )2 2)2 '). 2 Г Л !Л2 с„ Производя интегрирование по частям, получим для Н,'" (2) ) ! !»Е)1 (е — )2 2)и 1) е — )г 2)л»+Щ 1Л2 ! Л2 Л==-л+)в с, 2 Л 2 Л 3 2 с, с, так как подстановка пределов в проинтегрированную часть дает нуль (см. стр. 268). Для Н,"' (2) выкладки те же.
Далее, Н,'~+! (2) — Н,"! (2) = — ~ е """ +"~2!'21п$Щ. сл Н! ), (2) = е ' Н„' ' (г), Н)2) ( ) = е ' Н)2) (2) (44) (45) Первое из ннх получается заменой переменной интегрирования 9 = — л — а в интеграле Н)!) ( ) ! ~' — )2 2)п $+!»", Д Л с, 2б9 С другой стороны, 2 — „Н,',л' (2) = — ) е """ л' !»2(-! з!))3) 2(9. с„ Следовательно, верна и формула (43). Легко установить также соотношения Действительно, при такой замене переменной интегрирования контур С, перейдет в тот же контур, но с противоположным об- ходом. Таким образом, получим зим к ) ( — ммпй+ыа л ыл ылкм1) ~ с, Формула (45) устанавливается аналогично заменой переменной интегрирования $ — и — а, Поскольку функции У, (г) и У,, (г) суть линейно независимые решения уравнения (2), функции Ганкеля должны быть их ли- нейными комбинациями.
Докажем, что в области Ке г > 0 справедливы формулы Н!," (г) .—: Х,,(г) +(Н,(г), (46) Нъ~~' (г) ==: У, (г) — (У,(г). (47) Для их доказательства достаточно установить справедливость формулы нп > (г) + нд' (г) у. (г) (48) Разрешая соотношения (48) и (49) относительно Н,'" (г) н Н' (г), находим г) е "'" — У Н',," (г) = ( ',ю (50) НМ~, ) 7,. (г) — г""7, (г) (г) =( Мп чя (51) Следовательно, Н,"'(г) — Н,'" (г) = . (l,(г) созчп — У, (г)) = 2И1,(г).
(52) Из (48) и (52) следуют формулы (46) и (47). Иногда функции Ганкеля определяют с помощью формул (46) и (47). Докажем справедливость формулы (48). Поскольку функции У, (г) и Н',~' (г) (й = 1, 2) аналитичны в области Ке г > О, нам достаточно докааать формулу (48) для г = х > О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через 1, (г) правую часть формулы (48).
Тогда (х) ) е — м мп ) ~и$ д 1 (53) с, где С, — контур, изображенный на рпс. 39. 27О Действительно, заменяя здесь ч на — т и используя тождества (44) и (45), получим У вЂ”, (г) = — ~е""Н~''~(г) +е " Н~'~(г)). (49) Произведем в этом интеграле замену переменной интегрирования а= — е — '(( — л), х 2 При этом полупрямая ( — и + (оо, — л) контура СО перейдет в полупрямую (+оо, х/2) вещественной оси (в ее нижний берег), полупрямая (и, и + (оо) — в ту же полупрямую (х/2, +оо) вещественнои оси, но проходимую в противоположном направлении (в ее верхний берег); отрезок ( — и, и ) — в окружность ) а ~ = = х/2. Таким образом, при выбранной интегрирования Здесь мы воспользовались формулой (7) гл.
Х11! для вычисления интеграла ~ е-па-О-'-( ((а. Таким образом, формула (48) доказана. Мы получили также интегральное представление функции Бесселя У, (а): у, (а) = — ) е " "» г+ ' 'г (й. 4 2л с„ (84) Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим О (2) — ( Е)г Мп ((а) 4- и'л — ха С((2 ( ЕМ Мп ()٠— (лл — па Е((1 2л 2л 3 ΠΠ— „( е —" "и "4 о л (/с( (Е == и: (((), -à —,,—., 27( замене переменнои Рис.
39. контур С„ перейдет в контур у (гл. Х1П, стр, 241), обходимый в обратном направлении. Следовательно, х' )лл хг ( / — ) )г е — 'а — ' — ' е " ((а. Разлагая е")(4') в ряд Лорана по степеням а н производя почленное интегрирование ряда, получим /„(Х)=:"( — ) ~ ( — ) — ~Е-'а-О-х-(((а= О=-О х у Х. ( ()4 (х)212)ггх Г()г+ + () Г()г+ () /' (х)' !г=.О или l- (г) = — —,(е'"" — е — ".") ) е — ' " а--'вг(!з йп с + —, ~ е —" "" '+ ""' с!а, йи илп 2 а е """" Ь'т" г!а, (55) В частности, прн ч = — и (и — целое) получим л„(г) = — ) е — """ ч+ "'"да. 1 2п (56) Из этих формул немедленно следует, что для любого целого п ! У„(г) ! < сЛ у ( = х -,.'- 1у) и ~ У„(х) ) ( ! . й 6.
Модифицированные цилиндрические функции (цилиндрические функции мнимого аргумента) Если в уравнении (2) г заменить на ~ь =- 1г, то получим уравнение гею" , 'гы' — (г" + тг) ш -- О, (57) в котором дифференцирование производится по переменной г. Нетривиальные решения уравнения (57) тоже относят к цилиндрическим функциям, Их называют также модифицированнылш цилондричсснимп функцнялси !. Определим наиболее употребительные из нпх. Полагаем ! (г) == 1 'У, (1г), К,(г) = —" 1'"'Нн~((г). (58) (59) Из линейной независимости функций У, (г) и Н,"' (г) следует линейная независимость функций 7, (г) и К,, (г).
Они являются решениями уравнения (57). Фупкпип У,, (г) часто называют функцнилнл Нсгссля линн.кого и!лсулчснто, а К, 1г) — - ~)н!!нкцнялчн .(!он- Из формул (46) и (47) и из линейной независимости функций У, (г) и Л~, (г) следует линейная независимость функций Ганкеля между собой и каждой из них — с функцией Бесселя У, (г) и с функцией Неймана Л', (г). Следовательно, общее решение уравнения (2), а также и любую цилиндрическую функцию можно написать как линейную комбинацию функций Ганкеля илн пар функций (лч(г), Нч~(г)), (У, (г), Н~,'(г)) (я= 1, 2).
Ье)„(х) = 1~п (!а (х 1' — 1 ) ~, (60) )се(„(х) = 1гп [К„(х у — ()), (61) а затем аналитически продолжаются на всю плоскость переменной г. Из этих определений легко вывести свойства, аналогичные соответствующим свойствам функций ут (г) и К, (г). Чцтатель легко может сделать это сам.
Приведем представления некоторых из этих функций степенными рядами: Ьете(г) = ~ы ( — 1)п (62) а=в О (г,'2)вп~' Ье1а (г) = ~)„( — 1)" (63) 1 =.о ') Чнтателю реконепдуетеп проделать соответствующне выклалкн. '2~д дональда. Из формул (58) и (5) непосредственно следует, что 1, в (г/2) г(ь р О г( +а+() ' а=о Зп и В области — <агдг~ — — ' функция 7, (г) однозначна и аналитична всюду. Если т — целое число (т == п), то 7„(г)— целая функция. Из линейной независимости функций 1, (г) и К, (г) и из теоремы 2 1 следует, что в окрестности г = 0 функция К, (г) ведет себя, как Аг-', если т чь О, и как А 1п г, если о = О. Из формул (16), (17) и (19) непосредственно следуют соотно- шения ((т(г) ) / „1(г) л ат г — 2т т )ты (г) — тт ~ (г) == 7.
(г) 1' (г) = )е (г) Из (42) и (43) получаем 2т К е (г) — К (г) := — К (г), — 2К;(г) ги Кты(г)+К, ~(г) *). Из теорем о нулях функций Бесселя следует, что каждая функ- ция 7, (г) имеет бесконечно много нулей. Все они простые, кроме, может быть, г:-'= О, и чисто мнимые. 2. В приложениях встречаются также следующие цилиндри- ческие функции: Ьег„(г), Ье1„(г), )тег„(г), !ее)в (г). Для вещественных значений аргумента х они определяются следующим образом: Ьег„(х) = Ве1(„(ху — (И, !сег„(х) = Ке [К„(х к — ()1, (64) и 1 ( и + 1 ) ! 1)е !!ил]1/г] ( г ],2/ (бб) и! (и+ 1) ! ~,1 Ьег,(г) == 7 )с2 Л,'маг и — О 1 Ье! (г) = — г и.=О Е [р[-- целая часть числа д.
( 1 е !и;21 ( г )го+1 $7. Асимптотические представления цилиндрических функций 1. Во многих задачах физики требуется изучать установив. шиеся режимы явлений. Математически это приводит к изучению поведения функций при болыних значениях аргументов — к изучению асимптотического поведения функций при стремлении их аргументов к бесконечности.
В сущности, найти асимптотическое поведение функции / (х) при стремлении л к бесконечности— значит найти более простую функцию сс (х), мало отличающуюся (в определенном смысле) от функции / (х) прн достаточно больших значениях переменной х. Часто в качестве таких простых функций берут суммы с~, сг с„ 'О г гг 0 н р е д е л е н и е. Ряд си + — "+ ]- — "+ назыг и вают асам]]и!опгичеснпм разложением функции / (г) на лсножес!пве сс, содержащем последовательности, сходящиеся к бесконечности, если [нп ги(/(г)-- ~ ~~ =О для и=О, 1, 2, ~м' г лба' О=О Употребляют запись; с,, с„ /(г) — с, + — -,'- -'- — + и или с, с„, /! / (г) =- с, -',- — -,' ° ° -! — ', о ~ —, г ~ г / Легко показать, что если асимптотическое разложение существует, то оно единственно. В самом деле, из определения следует, что при п =- О 1!ш г[/ (г) — сО[ == О, откуда с, =- !!ш / (г).
При и:=- ! имеем г г .' с,] !пп г ~/(г) — с, — — 1 = О, откуда г и с, = 1нп г [/ (г) — сг,~, Однако различные функции могут иметь одно и то же асимптоти- ческое разложение. Действительно, если с,, с„ )(х) — с, ) — —; — + — + х '' х то и )(х) ! с ' !о — р ' + — "„+ ° ° ° (для х . О). х" Если й (х) с1 ~ сх ~ / 1 ) (г) =- =со -- — + + —,,'-о ~ — ) х(х) х Хх ~ хх / то )()=-р(х)~.+++ + — ',", )- ( — '„)1 будем называть асимптогпическим представлениея функции !) (г).
Обычно асимптотические разложения с~,, с„ сО х х являются расходящимися рядами. 2. Найдем асимптотическое представление интеграла ошибок х Ф (Х) = = ) Еко г)! при больших х ) О. Очевидно, Ф (х) = 1 — = 1 е-' г)!. )хп ) Поэтому достаточно найти асимптотическое представление функции )' (х) = ) е-м с(й Имеем О 00 "Ъ.)=~"- ж = —,' ~",' ~()= 2' х х х Применяя несколько раз интегрирование по частям, получим сх7'(х) = — — — 1- — ' —... +( ))х-! ' ' ''' -~. Я„(,х), 1 1 13 ! 35...(2и — 3) 2~ххх — 1 Для остатка 1.3 5 (2и — 1) хх'-и 2" 1ь~ получаем оценку юпм люю! '( юа+! ) Следовательно, 1.3 н ) ! ) !,( )) х~ ( Ф(х)=1 —,-"',, + .- ... + у,, ~вх г х' 2юх ( — 1)" (2п — 3)!!, ! 1 + 2~г-! ~ха~~! / Заметим, что асимптотическое разложение функции е' ! (х), т. е, ряд 1 1,, „, 135...(2п — 3) — — — +( — 1)" ' 2х 2'х' 2ю ~" ' х является расходящимся всюду рядом.
3. Для асимптотических представлений цилиндрических функций у, (х) при больших положительных значениях переменной х справедлива следующая теорема. Т е о р е м а. Всякое вещественное решение уравнения Люу 1 Л — + — — — ('1 — ) у.=О ихю х йх ' (, хю ) у(х) =у,(х)7т~х Для у, (х) получим дифференциальное уравнение 1 тю 4 (67) При больших значениях х это уравнение мало отличается от уравнения — „;,+.=о, Лююю общее решение которого имеет вид (68) и! = А з(п (х + 6), где А и 6 — постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
