1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Они позволяют численно моделировать эксперимент, что имеет первостепенное значение для проектирования эксперимента. Часть П СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Специальные функции находят применения в широком круге задач. В части !! мы изложим основные свойства и простейшие приложения цилиндрических, сферических и гипергеометрических функций, интегралов Эйлера (гамма-функция и бета-функция), а также некоторых специальных полиномов. Все перечисленные функции, кроме интегралов Эйлера, являются решениями дифференциальных уравнений с особыми точками нида — )в 1х) у') — о 1х) у = — О, и в которых коэффициент к 1х) обращается в нуль в одной или нескольких точках промежутка изменения переменной х, конечных или бесконечных. Глава Х1П ГАММА-ФУНКЦИЯ.
БЕТА-ФУНКЦИЯ й 1. Гамма-функция и ее свойства 1. Гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второго рода) называется функция Г 1г) = ) е — П' — 'Ж. 11) о Она обладает следующими свойствами. С в о й с т в о 1. Г (г) определена и непрерывна в области Пег )О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим замкнутую область Г1: — 10 < 6 < Ке г < У), где 6 и А! — произвольные фикси- рованные числа. Для всех г вв 1) выполняются неравенства ) 1' — 'е — ' ) < 1ь — ' для 0 < 1 < 1, ~1Н вЂ” 'е — ' ~ < е — Пн ' для 1 <1( оо. Следовательно, функция 1ь — ', 0<1<1, 1!1) =- 1н — 'е — ', 1 (1( со, 238 является мажорантной для ! (г 'е ' ) на промежутке О ~ 1 < оо 1 для всех г св Т).
Поскольку интеграл ) ( (() с(1 == )' (е ' с(1 + о о + ) (н 'е ' е(! сходится, то интеграл ) !' 'е ' с(( сходится рав- 1 о номерно относительно г — Т). Отсюда следует, что Г (г) определена и непрерывна *) в области В, а тем самым, ввиду произвольности б и й), и в области О < Ке г < оо.
С в о й с т в о 2. Г (г) аналитична в области Ке г > О. Для доказательства этого свойства достаточно показать, что интеграл ) Г (г) е(г, взятый по произвольному кусочно-гладкому с замкнутому контуру С, лежащему в области Т), равен нулю.
Тогда по теореме Морера **) Г (г) будет аналитической в области В, а следовательно, и в области Ке г > О: )( Г (г) с(г = )( ~ )( Н вЂ” 'е — ' с((~ дг = ~ е — ' ( )Г (' — ' аг) с(1 = О, с с о о (,с так как по интегральной теореме Коши **) 1Н- дг.=- О. с )1ереыена порядка интегрирования здесь законна, так как интеграл ~ М 'е ' с(1 сходится равномерно для г ~в Й. о С в о й с т в о 3. Для всех г из области Ке г > О выполняется тождество Г (г + !) : — гГ (г).
(2) Справедливость этого свойства устанавливается непосредственно путем интегрирования по частям: ОЭ Г (г+ !) = ~ ~-'е — 'г((.== — -е — Ч'~," -: г ~ 1' — 'е — 'Ж = о о = г~ !'-'е — ' д( = гГ (г). о Применяя последовательно тождество (2), находим формулу Г(г: Г(г+ и+ 1) г(г+ 1)...
(г+ и — 1) (г+ л) ' (З) ") Ф и и тек гол ь н Г. М, Основы математического анализа, т. 11, изл. 5-е. — Мл Наука, 1968. ч")Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функний комплексного переменного. — Мл Наука, 1973. С в о й с т в о 4. Функцгао Г (г) с ттоыоп1ью фоутмулсч (3) можно онилшппческн ттродолжштгь на вето плоскость переменной г, кролге точек г =- О, —.1, --2, „— и, ..., в которьлх Г (г), очевыдно, имеет полюсьс первого порядка с вьтчеталга, равньтмп 1тезГ ( — п) = ( — !)"гп!.
Действительно, правая часть формулы (3) есть функция, аналитическая всюду в полуплоскости Ке (г + п + 1) > О, кроме точек г, ==- О, г, == — 1, ..., г„= — п. Эту функцию и принимаем в качестве аналитического продолжения функции Г (г) на полу- плоскость !се г > — (и + 1). Поскольку число и можно взять произвольным, свойство 4 доказано. Свойство 5. Г(и+1) =-: п!.
Непосредственным вычислением находим Г (!) = 1. Тогда из формулы (3) получаем Г(и+1) == п!. (2,) Такич образом, Г (г) можно считать распространением факто. риальной функции на произвольные комплексные числа. С в о й с т в о б. Имеет место соотношение (4) Г (г) 1 (! — г) 3 а и е ч а и и е, Нам досгаточно установить справедливость свойства 6 для г -= л, где О < х < !. Тогда по теореме единственности аналитических функций оно будет верным для всех г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Г(.к) = ) 1" — 'е — ге(1, Г(1 — х) =- ) т — "е — те(т.
о о Следовательно, Г (х) Г (! .. ) = ~ ~ е- ( — ')" — "" . о о Произведя замену переменных интегрирования в эточ интеграле по формулам 1 + т — Б, т'1 -(1, получим и (~, р! !! ь р! 1т !Г, т! Следовательно, г(1 с1т =: — т(за)). Поэтому' !+р Г (х) Г (! — х) = ~ ~ е-а ! с$ е(!) = ~ †, д!) —— о о Последний интеграл вычисляется с помощью вычетов.
Ч. т. д, ') См. Л а в р е ы т ь е в М. Д, Ш а б а т Б. В. Методы ~сор т функюнй комплексного переменного, гл, !. -- Мл Наука, !Втз, 'мо Свойство 7. Г(г) не имеет нулей. Действительно, пусть г, — нуль гамма-функции. Очевидно, г, не равен ни целому отрицательному числу, ни нулю. Из формулы (4) находим 1(гп Г (1 — г) = 1пп — —;-, . — = ьо. г г ~е!5!ппи Таким образом, г, есть особая точка для Г (1 — г). Но по свойству 4 особыми точками гамма-функции являются только целые неположительные числа. Следовательно, 1 — г„= — и, где и — целое и п = О, а г, = 1 + и. Тогда Г (гь) -- 1 (и + 1) = и1 -г — О. Таким образом, предположение о существовании нуля гифункции Г (г) противоречиво.
С в о й с т в о 8. Справедлива фор.иула Г(г) =,„, ~1' — 'е-' й, (5) где у есть контур, изображенный Рис. 34. на рис. 34. Для доказательства справедливости формулы (5) докажем лемму. Л е м м а. Справедливо равенство 1г — ~е — г с(г ~ 1г — !е — с с(1 где у, и уи — контуры, изображенные на рис. 35. Рис. 35. Рис.
36. Для доказательства рассмотрим интеграл по контуру С, изображенному на рис. Зб. Контур С ограничивает односвязную область, в которой функция е Чг ' аналитична. Следовательно, по интегральной теореме Коши '1 е — О' — ' Ж =- О, с Вместе с тем О= (е — 11х — 1 1(! = (б г!х — 1 б(! + ) е — 1(х — 1 г(( -гс ( е — 1(х-)г(1 + 72 71 + ~ Š— 1!х — )й, 1а1, где у), у2 показаны на рис. 36, а 1н =- а + )р„(й = 1, 2, 3, 4, гхн = и). Перейдем в этом равенстве к пределу при а — оо, сохраняя !)н постоянными. Интегралы ~ и ( будут стремиться при этом 7.', 71 к ( и — ( соответственно.
Если мы докажем, что интегралы и ~, взятые по отрезкам (112 и 1нр„будут стремиться при этом 11 1,1 к нулю, то лемма будет доказана. Оценим ~, учитывая, что г = = Х+)У: е 1!х 11)1~ ( ~ (е 1!а 1!112,') = 1,1, 1,1, в ег ( )!х — 1//1()! б — г» ( /)/х — 1е — раен)1() 1,га Так как ) 1~ < 2а и агд! < 2п, то е — а ~ ( 1 !х — 1а — р ага 1 ) г(1 ) ( 1,— а (222)х — 1енн) р ) ! ! 1,1„ При всяком фиксированном г последнее произведение стремится к нулю при сс — оо. Таким образом, ( е 112 ' б(! — О при 1,1е а — об. ТОЧНО таК жЕ дОКаЗЫВаЕтСя СтрЕМЛЕНИЕ К НУЛЮ ИНтЕГраЛа ПО ОТРЕЗКУ Гн)а. ЛЕММа ДОКаваНа. Пользуясь этой леммой, мы можем взять в интеграле ~ Š— 1гх-1 б(1 Š— 1)х — 1 Г(! -)- в качестве контура у контур, составленный нз окружности у, радиуса г < ! с центром в точке 1 †- О и из верхнего и нижнего берегов разреза вдоль ве)цественной оси от г до со; Е (г) = ( — 11' 11(!в Š— 1(х — ' Й.
7е г 1нерхн, берег) (нежн. берег) ИитЕГраЛ Ра (г) =- ( Е 1!а ' 1(! яВЛяЕтСя аНаЛИтИЧЕСКОй ВСЮду 7е функцией г. Действительно, Р„(г) непрерывна во всей плоскости 242 и интеграл ) Рн (2) ((2 = ~ е ' ) !г ' ((2 Й, взятый по любому с те с замкнутому кусочно-гладкому контуру С, равен нулю. Поэтому по теореме Морера Рв (2) аналитична всюду. Интеграл Р((2) =- Š— !Гг — 1 б(Г г (верхи. берег) можно записать в виде суммы двух интегралов; г 1 1 Интеграл ~ е ((г ' ((( не является несобственным и представляет г (' 1 )( Р( (2) ((2 =. ~ [ ~ -(- ~ ~ (Ее = — ~ ( )( Е ((г ' ((г) (((+ с С г ! г (С + ~ ( ~ Š— 1(г — ' ((2) Ж = О.
! (с Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как интеграл ) е (!г ' ((!' сходится равномерно в любой полосе — Ф < 1 < Ке 2 < й(. Наконец, е ег (нежн берег! е — г(г — 1 ((( е2н(г ) е — 1 (г — 1 ((( (верхи. берег) Е2н!гР (Е) г", (г) = 2243 НЕПрЕрЫВНуЮ фуНКцИЮ От 2. ИНтЕГраЛ ~ Е (Гг ' ((Г СХОдИтея 1 равномерно в любой полосе — У < КЕ 2 < 1)(, так как для всех Г ) 1 выполняется неравенство ! е ((г ') < е (Р ', а интеграл е ((и ' ((( сходится. Следовательно, интеграл ~ е ((г ' ((! также 1 1 представляет непрерывную функцию переменной 2 в любой полосе — Ж < Ке е < Л(, а тем самь!м и во всей плоскости переменного 2.
Отсюда следует, что функция Г, (2) непрерывна во всей плоскости переменной 2. Далее, с помощью теоремы Морера устанавливаем аналитичность всюду функции Р! (г). Интеграл ) Р( (г) ((2, взятый с по произвольному кусочно-гладкому замкнутому контуру С, РаВЕН НУЛЮ, таК КаК !г ' яВЛяЕтСя аНаЛИтИЧЕСКОй фуНКцИЕй От 2 Н Рис. 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
