1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 46
Текст из файла (страница 46)
к) См. С т е и а н о в В. В. Курс дифференциальных уравнений, — М.: Физматгиз, !959. Поскольку функции А, (х) и В, (х) пе имеют особенностей в точке х = а и В, (х) не обращается в нуль на отрезке [а, х,], теорема доказана и для этого случая. Пусть, в частности, а = 1, т.
е. й (х) = (х — а) ~р (х). В этих условиях справедливо С л е д с т в и е. Если одно реиыние уравнения (!) ограничено и имеет вид у, (х) (х — а)" и (х), еде т ~ О, и (а) Ф О и и (х) непрерывна в точке х =- а и в ее окрестности, то любое другое решение уравнения (!), линейно независимое с у, (х), неограничено в окрестности х = а и имеет вид у, (х) = ф, (х) + (х — а) и, (х), если т ) О, у, (х) =-= ч', (х) + и, (х) 1п (х — а), если т .=-. О. Устанавливаемый этим следствием факт имеет существенное значение при постановке краевых задач для уравнения (3) на отрезке [а, Ь[, один нлн оба конца которого являются особыми точками рассмотренного вида этого уравнения.
Если по самому смыслу задачи требуется найти ограниченное на отрезке 1а, Ь1 решение у,(х), то, записывая общее решение в виде у =- С,у, (х) + С,у, (х), мы найдем одну из произвольных постоянных из условия ограниченности: С, =- О. Таким образом, в таких случаях условие ограниченности играет роль краевого условия и потому его надо формулировать в математической постановке задачи (как одно из краевых условий). $2. Функции Бесселя и Неймана 1.
Существует несколько классон цилиндрических функций. В настоящем параграфе мы определим два класса: функции Бесселя и функции Неймана. Один класс цилиндрических функций мы построим следующим образом, Будем искать решение уравнения гтш" + гш'+ (гз — т') в = О (1) в виде обобщенного степенного ряда ш = гв (ав + а,г + а,г' + ...), (4) где а, Ф О. Тогда гш' = гв [а,о + а, (о + 1) г + а, (о + 2) г' + ... 1, г'и" = г' 1а,о (о — 1) + а, (о + 1) ог + + а, (о + 2) (о + 1) гт + 1 Подставим эти значения ш, гш' и г'ш" в уравнение (1) и соберем члены с одинаковыми степенями: г" [а,о' — авт' 1 + г"' [аг (о + !)' — агт' 1 + + г'" [а, (о + 2)' — ар' + а,] + ...
звал [ал (о + н)е а те + а,- 1 + ''' = О 2М Чтобы ряд (4) был решением уравнения (1), необходимо выпол- нение равенств а, (о' — т') = О, а, [(о + !)г — чз ] =- О, а, [(о + 2)' — т'] + а, О, „а„[(а+и)' — ч']+ а„г = О, ... Из первого равенства находим о ~т, так как а, чь О, Возьмем о т. Тогда, полагая ч~0,5, из второго равенства находим а, = О. Далее, — а„, аа (о+и)~ —, ч~ и= 2, 3,... Так как о -- т, то — ел я и (2ч+ы) ы' Очевидно а.,д„„---- 0 для всех целых неотрицательных я, а — см г ( — )) чо 21(~+Ць 2гь(ч ( г)(т 1 ь )) (ч 1 ))г) ! Полагая ае = и используя формулы (2) и (2,) предыду- 2~Г (т+!) щей главы, получим ггг+~Г (~ ] ~ 1 )) Г (г Таким образом мы построили формальное решение уравнения (1) в виде обобщенного степенного ряда ,(, (г) ггР, (г), (7 „(г) 'Р () Эта функция является фактическим решением уравнения (1) в области сходимости ряда (5).
Легко проверить, пользуясь, например, признаком Даламбера, что этот ряд сходится всюду, кроме, может быть, г = О, Следовательно, функция У, (г) является решением уравнения (1) всюду, кроме, может быть, г = О. Эту функцию называют функцией Бесселя порядка т (иногда — функцией Бесселя первого рода). Если т — нецелое число, то функция Бесселя неоднозначна (из-за множителя г'). В этом случае, т. е.
при т нецелом, однозначную ветвь функции Бесселя выделяют, ограничивая г областью, где [ ага г ] ( и, т. е. производя разрез ччч у, (г) -= С, (ч) У, (г) + С» (т) l, (г), где С, (т) и С, (т) -- постоянные, зависящие от индекса т. Если же» равно целому числу л (т ==-. л), то у „(г) = ( — !)" )„(г). Докажем это.
Имеем ~з — 1)» (г)2)г» " »~ 1 ( — 1)» (»12)г» ~ )Г!» — а+1) (»+ Ц Г!» — л-1-1) Г!»-1-1)' »-0 а поскольку Г (й — л + 1)» о» для всех й ° О, 1, 2, „„л — 1. В последней сумме произведем аамену переменной суммиро. аания Й * з+ л. Получим 1)»+» г)2)9»+» '~-~(~),7~ (,~ ) (,~„~ ) ( — 1) ~~(г) а~ О 2. Таким образом, длн целых значений т(ч л) функции ,)„(г) и ) „(г) линейно зависимые, и, следовательно, с их по.
мощью нельзя получить общее решение уравнения (2), т. е. про. извольную цилиндрическую функцию порядка т. Чтобы получить для этого случая линейно независимое с г'„(г) решение уравнения (2), вводят в рассмотрение функцию Неймана г (г) со»тн — у „(г) И (г) =. 5!и ау (8) Очевидно, она является решением уравнения (!). Подстановка в формулу (8) вместо т целого числа л дает спр ава о неопределенность —, так как з!и пл =- О, У „(г) = — ( — 1)" У„(г) а!)3 вдоль отрицательной части вещественной оси. Для целых т = п функция Бесселя определена всюду и однозначна. Очевидно, .)„(г) есть целая функция.
Полагая в формуле (5) т = ~0,5, получим функции )ь1,»(г). Легко убедиться непосредственной подстановкой их в уравнение (1) (при т = ~0,5), что они являются решениями этого уравнения. 3 ам вч а н ив. Так как члены ряда (5) суть целыефункции переменной т и ряд сходится равномерно относительно т при каждом фиксированном г, то~У, (г) есть целая функция лере»»енной т. Поскольку уравнение (1) не меняется при замене т иа — т, то функция У, (г) также является решением уравнения (1). Если т пе есть целое число, то функции У, (г) и У, (г) линейно исзавпсимы, так как одна из них в окрестности г =- 0 ведет себя, как г', а другая — как г '.
Поэтому для нецелых значений т общее решение уравнения (!), а следовательно, и произвольную цилиндрическую функцию порядка т, можно записать в виде и соз лн =- ( — 1)". Для таких значений ч (ч = н) функция Неймана М„(г) определяется как предел ](( ( В )у ( В г«(е)соочп — «' «(г) Мп чп )ч [(, и> + ф[ зс )р' [[, >г]+ %' [(, ф1.
Поэтому К У«, Л/,1 == с!я члЮ' У„(,1 — . Ж' У„У,]. Так как (о' [е'ч, з'>,1 = О, то для нецелых ч Мп чп (9) Для вычисления )ч' Уч, У,] воспользуемся формулой (5). Согласно этой формуле у,() = '[.+ "(),()], ( ч(г) =~г '[(>о+а'(') «(г)[ (10) (П) где оеч (г) и (е ч (г) — степенные ряды по г. Следовательно, ,)ч' (г) чг' ' [ао + го)[, (г))> ,( ч (г) — тг " ' [Ьо + гоР„„ (г)], где Р, (г) и Р ч (г) — степенные ряды по г, Далее, по определению определителя Вронского ] о ч (о) ,/ ч (г) г]Р' [Уч, ,( «1 ~ г ~ г г — — г Уч (г) /-ч (г) — (ч (г) (-ч (г) ) (12) (13) Пользуясь формулами (!О) и (1!), находим г[[7 [1„, е',] = — 2чао[>о+ гоЯ„(г), (14) где 5„(г) — степенной ряд.
Согласно формуле Остроградского (для определителя Вронского) для нецелых ч ]]7 У„ /,1= = С!г, где С вЂ” не равная нулю постоянная. Следовательно, г]](>[о„Г „! з— в С. Поскольку это соотношение есть тождество, то С = [г[(У У„, г „![ >. Пользуясь формулой (14), находим С = [г[ч' [о «, .( ч!],— о = — 2ао(>оч. 254 Справедлива Т е о р е м а. Функции >, (г) и М, (г) линейно независима лри любых значениях ч. Для доказательства теоремы вычислим определитель Вронского ]р' У„Л>,1 для функций (, (г) и )ч', (г). Для любых дифференцируемых функций )" (г), >(> (г), >]> (г) ! 2 Так как а„=- 2»Г! + !!' " и!! — ! С вЂ” 2 г! +!)г[! — ! Пользуясь формулами (2) и (4) гл.
Х111, получаем С= — 2 зьз»л Таким образом, для нецелых т Ч7 [г'», г',] = — з|п»л. — 2 Следовательно, согласно формуле (9) для нецелых» 97[У„, У,]= 2 (15) Так как К У„У„[ =- !!ш [[7 У„У,], то из (!5) следует, что »» [» [ул ув] Итак, определитель Вронского В' [г'„У,] не равен нулю для любых индексов». Следовательно, функции /, (г) и У, (г) линейно независимы при любых значениях индекса». Теорема доказана. 3.
Поскольку У, (г) и У, (г) — линейно независимые решения уравнения (1) при любых значениях индекса», общее решение этого уравнения, а следовательно, и произвольную цилиндрическую функцию индекса», можно записать в виде [2» (г) ] —,!»„[г) иг [ — [г'У, (г)) = — г'У„, (г). (15) Производя в этих формулах дифференцирование, получим у'(г) ьз — (. (г) — (.+ (г) у, (г) = —, [, (г) --, 'у,, (г) .
(18) 255 у» (г) = С,У»(г) + С,У» (г). Очевидно, к решениям У, (г) и У» (г) уравнения (1) применимо следствие теоремы 2 1, согласно которому в окрестности особой точки уравнения (1) г == О функция У, (г) ведет себя, как А/г», если» ~ О, и как А !и г, если» = О. В частности, функция Неймана У, (г) с индексом» ) О неограничена в окрестности г = О. 4. Пользуясь представлением функций Бесселя в виде ряда (5), непосредственной проверкой устанавливается справедливость тождеств Отсюда следует рекуррентная формула г . 1 (2) + 1, 1 (2) : — — У .(2). (19) С использованием определения функций Неймана и соотношений (17), (18), (19) непосредственно устанавливаются такие же соотношения для функций Неймана Л! +1(2) '- Л! 1(2) = — Л! (2) (20) Л1~ (2) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
