1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 45
Текст из файла (страница 45)
С в о й с т и о 9. Оз свойств б и 8 следует еооигнощение 1лг Г(2+ () 2Л1 = — ~е — '( — ' — 1 й. т (7) Действительно, 51П (Лг -~- Л) г, — 51П Л2 ц л Г( , — 2лг (лг 21Л2 е '( ' 'д(= —.(2-12 — * — 'ог' 2Л1(г 221' — () 22П 2 т т На рис.
87 приведен график гамма-фуикпии. ") Ол. залгчапиг к свойству'6. 244 Таким образом, 71 (2) =-- )20 (2) + (егл" — 1) 7', (2) аналитична всюду, Поэтому для доказательства формулы (5) нам достаточно доказать ее для 2 = х > О "). Доказательство. Имеем е (х) = 220 (х) + (езлгг 1) г'1 (х) (5) Заставим ул стягиваться в точку.
Тогда г'1 (х) будет стремиться к Г (х), а 720 (х) будет стремиться к нулю, так как 2л (Е0(х) ! < ~)е — Ог — '1121() <) е — 'гг0(гр < г е — 12л — О 1' 0 г-гО (2 = ге"0 на у,). Следовательно, осуществляя предельный переход в соотношении (5) при г — О, получим формулу (5). 2. Разложение функции Г (г) в ряд Лорана в окрестности особой точки г — — — >г (и — целое, л .= О) имеет вид Г (г) =, ' + Я (г + и), где Я (г + п) — степенной ряд по степеням г + п.
Следовательно, функция Ор (г) =. Г (г)— л:=О аналитична всюду, кроме г =- ао. Таким образом, Г(.) =,'~'„,',П + (.), л=О где Ор (г) — целая функция. Так как ! ~' -'" ='Ч -!" ( —, ( у -!л (!"+'- Ж=- (!'-' л ( !) г !(= л!(г+л) гО л! ! ' ! ОО л! л=-О л=-О О О =.О !' — !е — ' Й, О' то ! (г) = ) !'-!е-'Ж. ! Поэтому Г(г) .= т ( ) -~- ) !' — !е — 'У. %1 ( !л л! (г+ л! л=О ! Это представление гамма-функции справедливо для любых г. 3. Вместе с гамма-функцией часто используется ее логарифмическая производная Так как особыми точками Г (г) (полюсами) являются лишь точки г == — и, где и =--- О, !, 2, ..., и Г (г) не имеет нулей, то особыми точками ф (г) будут лишь точки г =-- — л, притом — полюсами первого порядка.
Очевидно, лорановское разложение функции ф (г) в окрестности точки г = — и будет иметь вид ф(г) = ',— Я(г ! л), ! где )О (г + и) — степенной ряд по степеням г + и. 245 Вычисляя логарифмические производные от обеих частей тождеств (2) и (4), получим тождества ф(г+1)= — —,+ф(г) (8) ф (1 — г) — ф (г) = и с1я пг. (9) Число С = — ф (1) называется постоянной Эйлера и равно С = :== 0,67721566.... Многократное применение формулы (8) дает и ф (и ~. 1) = — С + у —, и = 1, 2, %.з 1 йл й 2.
Бета-функция Бета-функцией (или эйлвровым инпигралом первого рода) называется функция 1 В (х, у) =- ~ 1' — ' (1 !)и — ' й. (!0) о Произведя замену переменной интегрирования в этом интеграле по формуле получим и" ~ йи ,„.„ о Бета-функция обладает следующими свойствами.
С в о й с т в о 1. Функция В (х, у) определена и непрерывна в области Ке х > 0 по переменной х и в области Ке у > 0 — по переменной у. Доказательство. Пусть х=-а+!() и у=-у+1о— фиксированное число с у > О. Рассмотрим замкнутую область Б1в:— (О < 6 ( Ке х) изменения переменной х. Очевидно, для всех х ~н 12в выполняется неравенство ) ! ') ( !в ', если 0 ~ ~ ! ~ 1. Следовательно, функция 7 (() =- (в ' (1 — 1)т ' является мажорантной для подынтегральной функции (' ' (1 — !)э ' на промежутке 0 < ! < 1 для всех х ~в 0в и фиксированного у.
Поскольку интеграл 1 ~1в — ~ (! !)т — ~ д! а сходится, то интеграл (10) сходится равномерно относительно х ~ Вы Отсюда следует, что В (х, у) определена и непрерывна (по х) в области Б1ы а тем самым и всюду в Ке х > О. Доказательство свойства по переменной у проводится совершенно аналогично. 246 1 1»о, у!»*=1)1»- о — о ж)» = с с о 1 .-.=- ) ) (1 — '1)у ' ~ (х ' де д(= О, о ( с так как по интегральной теореме Коши ) (х ' дх =- О.
Перемена с порядка интегрирования здесь законна, так как интеграл 1 1(х — '(1 — () -1 д( о сходится равномерно относительно х ~ Бо. Свойство 3. Длявсехх из области Рех >О илюбыху из области Ке у > О выполняется тождество Г (х) Г (у) у Г (х + у) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию (12) (4 (т) ~ (х — 1 (.1 () у — 1 д( о зависящую от х и д как от параметров. Ее можно рассматривать как свертку функций 1' ' и (у '.
Найдем преобразование Лапласа этой функции. Преобразования Лапласа функций (х ' и гу ' равны соответственно Г (х)(рх и Г (д)!7!». В самом деле, )( —,—. д(= ' ~й —,-ьдй=' " . (1З) Р" Поэтому преобразование Лапласа свертки )) (т) равно Г(х) Г(у) Г(х) Г(у) Г(хл-у) ,хту Г (х -,'- у),х-;-у 247 С в о й с т в о 2. В (х, у) аналитична по хе областя Ке х > О, а по у — в обласп1и Ке у > О. Для доказательства этого свойства, например, по х достаточно показать, что для произвольного 6 > О и при любом фиксированномуу из области Ве у > О интеграл ~ В (х, у) дх, взятый по прос извольному кусочно-гладкому замкнутому контуру С, лежащему в области Бо, равен нулю.
Тогда по теореме Морера В (х, у) будет аналитической в области 0о, а следовательно, и в Ве х > О. Для С ~ Бо имеем Тосда оригинал, т. е. функция (1 (т), будет, согласно фор- муле (!1), равен р(.с) ( ! ('1 к у — с Г (х+ у) Полагая здесь т = 1, получим (12). Гл а в а Хсу ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Теперь мы будем рассматривать специальные функции, являющиеся решениями обыкновенных дифференциальных уравнений вида — (гг (х) у') — с) (х) !с =.
О, сс в которых функция й (х) обращается в нуль в одной или нескольких точках (конечных или бесконечных) и предполагается дифференцируемой внутри рассматриваемых промежутков, Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение з'цс" + зю' + (зз — тс) цс =- О, (!) в котором; -- числовой параметр.
Его можно написать, очевидно, в ниде — ')-',(г — — )" =О. сСг (2) К такому уравнению мы придем, например, при решении задач, рассмотренных в ч. 1, методом разделения переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными) координатами (задача о колебании круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.). Так, пусть требуется решить задачу о малых поперечных колебаниях однородной круглой мембраны радиуса 1, закрепленной по краям, под действием начального возмущения. Если использовать полярные координаты (г, с,"), то искомая функция (отклонение) и =. и (г, ср, 1) будет решением следующей краевой задачи: а' Асс = исо (Вс) и (1, ср, !)=-О, )! сс / < оо, и (г, ср + 2я, 1) =- и (г, ср, с), (В,) и (», ср, 0) =-1 (г, 'Р), и, (г, ср, 0) =. г (г, ср).
(Вз) Условие ограниченности ( и ~ < со является естественным следствием физической постановки задачи, а условие периодичности по ср является следствием условия однозначности решения. Для решения задачи (В,) †(В,) применим метод разделения переменных. Будем искать решения уравнения (В,), удовлетворяющие только краевым условиям (Вс), в классе функций вида и == Ф (г, ср) Ч" (1). !'ззделяя переменные, получим Ч'" + а'л1р — о, (В,) лФ + лФ == о, (В,) Ф(1, ф) ==-О, )Ф) <~, Ф(«, р+2п) =-Ф(«, гг).
(В,) Задачу (Вг) — (В,) также можно решать методом разделения переменных. Полагая Ф («, ср) = А («) В (ф) и используя запись оператора Лапласа в полярных координатах, получим В" +РВ=О, В(ф+2п) =В(ф), «'А" + «А' + (Л«г — р) А = О, А(!) =О, )А) < Решение задачи (В,) — (В,) и возможные значения параметра !х легко находятся: р — (г', у=о, 1,2, Вь (<р) == Сь з!и Ьс + 0ь соз Лчр. Таким образом, задача (В,) — (В,) сводится к нахождению решений уравнения (В,), удовлетворяющих условиям (В„).
Заменой г = т: Л«уравнение (В,) приводится к уравнению (1), в котором ъ' --= и", ш (г) — А (1«Л«). Решения уравнения (1), не равные тождественно нулю, называются цилиндрическими 4ункииями. Изучение свойств цилиндрических функций и будет предметом рассмотрения этой главы. $ !. Поведение решений уравнений с особыми точками в окрестности особых точек Рассмотрим уравнение — )й (х) у') — о (х) у = О, в в котором функция !г (х) обращается в нуль в конечной точке х =- а и в окрестности этой точки имеет вид (г (х) = (х — а)" ~р (х), ф (а) =Р О, а > О, причем функция ф (х) непрерывна в точке х = а и в ее окрестности.
Т е о р е и а. Пусть у, (х) ==- (х — а)'" и, (х), и, (а) ~ О, т гь > О, енпь решение уравнения (1) и и, (х) непрерывна в точке х =- а и в ее окрестности. Тогда любое другое решение уравнения (1) уг (х), линейно независимое с у, (х), в окрестное(пи х .= а имеет вид у, (х) == фг (х) + (х — а) ™ ' и, (х), если 2т + а ~ 1, уг (х) = ф, (х) + и, (х) 1п (х — а), если 2т + а . = 1. Здесь фг (х) и иг (х) ограничены в окрестности х -- а и иг (а) .~ О. 249 т е л ь с т в о. По формуле Остроградского для Вронского имеем у„ (х) — уг (х) у! (х) == С й (х), С Ф б *), Доказа определителя уг (х) откуда и (уг) с ух .) )г (х) уг! (х) Интегрируя это тождество по отрезку (х, х, ), а < х ( х,, получим к 1»г (х,) Г С а! уг(х) =- у, (х) ~у ( ) 1 и(1~~',(б ~' Здесь х, — такое фиксированное число, что на промежутке (а, х, ! функции !р (х) и и, (х) непрерывны н не обращаются в нуль.
Рассмотрим первый случай: у, (х) =- (х — а) и, (х). Тогда к, уа (х) = у, (х) ~»' ') — С ~ 1 ух (хх) (1 — а)г™ ~р(1) и', (1)~ к Применим к этому интегралу теорему о среднем значении. Получим уа (к~) Сух (х) ( Н или у, (х,) + Си, (х) (х — а) ~ гт Ух (хх) (2т + а — 1) ср ($!) иг (а!) Здесь х < 9, ~ х„$, = — $х (х). Таким образом, у, (х) = А, (х) у, (х) + В, (х) (х — а) " "+', где А, (х) = У' ( ' + Ух (хх) (2т+ а — 1) (х, — а)гт+и !~р Д) иг Д) — Си, (х) Вг(х) = (2 1 1) (еь) г(й) Поскольку А, (х) и В, (х) не имеют особенностей в точке х =-- а и В„(х) не обращается в нуль на отрезке [а, х,), для первого случая теорема доказана. Во втором случае аналогичные вычисления приводят нас к следующему результату: у, (х) =- Аа (х) у, (х) + В, (х) !и (х — а), где у,(х,) С1н(х,— а) А,(х) = —— у (х) ср(д)цг(й) Вг(х) = С т (хг) и! (хг) 259 х ( ~г ~ хы $г = $г (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
