1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 47
Текст из файла (страница 47)
— Л! (2) — Л1,11(2). (21) Если ч равно цслому числу л, то по формулам (!9) и (20) мы сможем последовательно выразить все функции г'„(2) н Л'„(г) (а ) =- О) соответственно через l, (г), (1 (г) и Л1, (г), Л', (г). Ввиду этого в таблипах приводятся лишь значения функций У, (г), '!1 (2) Л О (2) Л 1 (2) Непосредственным суммированием ряда (5) устанавливается справедливость формул з l 2 1/ 2 г1,2 (2) = ~' — 51п 2 н l 1 г (2) = — )1' — созг. Пг П2 Пользуясь этими формулами и рекуррентной формулой (19), находим 2 l ! (г) (щ, ( )мпг, Й„1( )созг~ ),' 2 У 1 (г) = )(Р, 1( —,) 5!пг-- Ои ( — ) созг) ф/ —, 2 где Я„(р), Я„1 (р) суть многочлены степеней л и и — 1 относительно р. $ 3.
Ортогональиость функций Бесселя 1. Уравнение хау" + ху' + (Л'х' — тг) у = 0 или чг — (ху'! — — у+ Лгху= 0 (22) (22,) *! См. гл. !Н, 5 3. 256 заменой переменной Лх = г приводится к уравнению (2). Следовательно, функция г', (Лх) является решением уравнения (22,).
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения для собственных функций в одномерном случае (й (х) = х, у (х) = ч11х) *). Типичные краевые задачи для уравнения (22) состоят в нахождении таких значений параметра Л, при которых это уравнение имеет нетривиальное, ограниченное на заданном промежутке (О, 1) решение, удовлетворяющее краевому условию вида ау' (!) + + Ьу (!) — - 0 на правом конце. К таким задачам относится, например, задача (Ви) †(В,„) этой главы, Это задачи типа задач Штурма — Лиувилля, рассмотренных нами в гл.
(Ч. Возникает вопрос: не будут ли ортогональными на промежутке (О, !) решения уравнения (22,), удовлетворяющие краевым условиям вида ау' (!) + Ьу (!) = О, т. е. функции Бесселя 1, (Л,х) и 1, (Л,х), в которых значения Л, и Л, параметра Л, определяются из краевого условия ау' (!) + Ьу (!) = О? При этом естественно ожидать ортогональности с весом р (х) = х, как это видно из уравнения (22,). Ответ на этот вопрос дает Т е о р е м а (об ортогональности). Функции Бесселя Уе (Лх) обладают свойством оррпогональности с весом р (х) = х. Точнее, для всякого ч > — 1 ) хи',( — х)1,( — х) с(х=-О, если а~'=Р, о где оба числа а и р суть корни одного из огрех уравнений: У (у) =0 !.(Т)=О ТУ.(у)+) !.(Т) =0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем два тождества: х — „, l, (Лх) )- — Уе (Лх) + (Лех — — ) l„(Лх) = О, ви уе ' х — „, l, (Рх) + — „уи (Рх); - ( Рех — — ),l е (Рх) == О. Первое из них умножим на У, (рх), второе — на У, (Лх), затем вычтем почленно одно из другого и результат проинтегрируем (по х) по отрезку (О, !).
Получим ви ви ~ х (Уи(рх) — „, 1,(Лх) — У,(Лх) — „, /,(рх)~дх + о + ~ ( l, (рх) — „У,, (Лх) — 1, (Лх) — „~ 1, (!Ах)~ дх = ! ==- (ии -- Ли) ~ х/, (Л т) l, (рх) г!х, и или — (~ ~1и ((гх) — „1, (Лх) — У, (Лх) — Уе (рх) ~ ~ дх .--:- о ' ! := (ре — Ли) ~ г1,(?сх) уе(рх) дх. (20) 957 9 Арсении а. я. 1)роизведя интегрирование, получим х ~У,(рх) — l»(Лх) — l,(Лх) — „,1, (рх))1 = )а = (рз — Лз) ),хl» (Лх),У, (рх) г(х. (24) о Покажем, что при и > — 1 и Л =- а/1, р = ))11 левая часть равенства (24) обращается в нуль. Для этого заметим, что, пользуясь формулой (5), У, (Лх) и — „и,)» (Лх) можно записать в виде Н (25) где Рь (х) и 1'„)ь (х) — степенные ряды.
Используя эти формулы, ,находим хУ, (рх) — „ l, (Лх) — х), (Лх) — „~ У, (рх) = +Π— ) 2» +Ц + — + х'~аР (х)11»» О'") + х'+'Я„(х) Л а 2Г( +)) ~~ 2Г( +1) == х '+ )с, (х) г- лл + )се (х), где Р, (х) и )сз (х) — степенные ряды. При и > — 1 последнее выражение обращается в нуль для х = О. Полагая в равенстве (24) Л = а)1, р =- )И, получим ) хl, ( — х) ),( — х) с(х= о ре оа (а'-)» Ф) л ~» (а) е))» (а) л))»» (и)] (25) Из равенства (26) немедленно следует ортогональность при указанных выше значениях а и р "). ) Для третьего случая в правой части формулы (26) произведения и— л'»' (о) на и ))» надо заменить соответственно на — Ьа'» (а) и — йа' 1()).
о»'» 1()) и() »» 258 2. Вычислим квадрат нормы~ У,( — х) ~~ . Для этого воспользуемся формулой (26). Переходя в ней к пределу при ()- а, получим /!7,( — х) !/ = =- ) х)', ( — ", х) дх = 1пп,, ~аУ, (()) У, (а) — рl, (а) У (()) 1. а р а Непосредственный переход к пределу в числителе и знаменателе О дает — . о ' По правилу Лопиталя находим ~ l, ( — х) = — 2а 1~ау, (а) У,' (а) — Ут (а) з", (а) — аl, (а) з', (а)1.
(27) Далее из тождества г'l,(г) ' гУ,'(г) ~-. (г' т')У,(г) = О 1 У тет — /, (а) = — У, (а) + ( 1 — —., ) l, (а). находим Подставляя это значение производной ); (а) в формулу (27), получим !/,7, ( х) !/ ° -~-([,7„(а)]~+ (1 — Р-) Ут(а)~ ) . (28) ') Квадрат нормы ка отрезке (а, Ь) любой функции У„()«т), удовлетвори. ющей уравнению (221), вычисляется по формуле ь ( ) ~ в~Я 1 + ( - ) ()Ц е Для доказательства этого надо использовать очевидное соотношение л чта хуч (Хх) ут (рх) Нх = ( з е ~уч (рх) — ут (Хх) — у (Хх) — Ъ', (Нх)) ) а и перейти в ием к пределу при 1ь -«Х.
При вычислении предела правой части следует воспачьзоваться правилом Лопиталя и уравнением (221), как и при вычис.тенин нормы з х 1 — х) 1~. 25О й 4. Нули цилиндрических функций !. В 9 3 мы видели, что ортогональность функций Бесселя связана с нулями функций Бесселя и пх производных. В настоящем параграфе мы рассмотрим основные свойства нулей функций Бесселя и других цилиндрических функций. Т е о р е м а 1. Нули всякой цилиндрической функции простые, кроме, может быть, г =- О. Доказательство. Пусть гоФО есть нуль кратности и (и ) 2) решения у„(г) уравнения (1), не равного тождественно нулю.
Тогда у„(го) == у,' (го) = О. В силу теоремы единственности решения задачи Коши ') для уравнения (1) у„(г): — О. Это противоречит условию. Поэтому предположение о кратности нуля го неверно. С л е д с т в и е !. Все нули функций Бесселя и функций Неймана простые, кроме, может быть, г =. О. 3 а и е ч а н и с.
Из формулы (5) следует, что если г, есть нуль функции Бесселя /, (г), то и — г„является нулем этой функции. Из этой же формулы следует свойство четности функций Бесселя с целыми индексами, т. е. ( г) = ( 1)л,/л (г) С л е д с т в и е 2. Все нули цилиндрических функций с индексами» ~ 0 изолированные. Действительно, любая цилиндрическая функция у, (г) может быть представлена в виде у, (г) С,а', (г) + СоУ, (г). Если уч (г) = Схе' (г) то~ пользуясь формулой (5), эту функцию можно записать в виде у,(г) С,гчор(г), где ор (г) непрерывна всюду и ер (О) чь О. Существует такая окрестность точки г О, ни в одной точке которой ор (г) не обращается в нуль, Отсюда и следует, что г = 0 является изолированным нулем функции у, (г).
Если у, (г) = С,е, (г) + Сойр,(г), где С, чь О, то г 0 не может быть нулем такой функции, так как функция Неймана )ч', (г), согласно теореме 9 1, обращается в бесконечность в точке г = О. Пусть г, ~ 0 является точкой накопления нулей цилиндрической функции у, (г) и у, (г,) = О. Тогда можно выделить сходящуюся к г, последовательность нулей (г„)- го. Очевидно, Уч !гл) Уч !го) У» 'г,=пп гл — го л- л Таким образом, имеем у, (г,) =- 0 и у,' (го) =- О. Это означает, что г, является нулем второй кратности, чего не может быть по теореме !. *] См.
С т е и а и о в В, В. К» рс днфференшыльных уравнений — !!! ' Фнзиа»гнз, !959, йво Очевидно, указанное утверждение эквивалентно следующему: в любой ограниченной области переменной' г всякая цилиндрическая функция у, (г) люжет иметь лишь конечное чисго нулей. Зто утверждение справедливо для цилиндрических функций с любым индексом». 2. Т е о р е м а 2. Все нули функций Бесселя 1, (г) с вещественным индексом ч . — 1 вещественны. Для доказательства нам понадобится Л е м м а. Если а = гене есть корень уравнения 1 (у) = О, то и сопряженное ему число а = ге о» является корнем того же уравнен ия.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функцию Бесселя, очевидно, можно записать в следующем виде: » 1,(г) == г' ~ Ь»У~, где ܻ— 2"е"г(»+ +Ог(»+ О ' Тогда 1,(ге'") =г'е" Е Ь»Реп»ч = »=о ( а Ю = г'е"~ ~~~ Ь»го~ соз2йф+ ! ~, Ь»г'»з|п2Ьр »=о »=о или 1, (гено) = г'еоо~ [А„(г, ф) + [Р, (г, ф)), 1„(ге ио) = г'е и о [А, (г, ф) — (Рн (г, ф)), где А,(г, ф) = Е Ь»го» сов 2йф, Р„(г„ф) ~'„Ь»го~ а!п2йф. »-о »-о Из формул (29) лемма следует немедленно. Действительно, пусть а = гено есть корень уравнения 1, (у) = О, Тогда 1,(а)=1,(гено) г"е"о[А,(г, ф)+(Р,(г, ф))=0. Следовательно, А,(г, ф) = Р, (г, ф) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
