1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 51
Текст из файла (страница 51)
до Далее, — ! = О, поскольку в окрестности точки 1 = $е дз имеем о — -- сопз( (вдоль С). Поэтому ди) . до ф'(йо) = — ~ +( — ~ =О дз ~й=й, дз П=Ь, Точка $а для поверхности и = и (а, р) является, очевидно, точ- кой перевала (седловой точкой). Таким образом, при применении метода перевала к асимпто- тической оценке интеграла ф ($) аач ОП г($ путь интегрирования С надо деформировать в путь С, проходящий через точку $„ в которой ф ($а) * О, и в окрестности этой точки совпадающий с линией о (а, р) сонат в (а„()а) '), Оценка интеграла ) ф ($) Е") <$> с)$ с, производится следующим образом.
') Заметим, что окрестность точки перевала а разбивается линией уровня и (а,()) = и (а,, ре) на 2п секторов (п ) 2, где (и — 1) — кратность нуля функции ф'(ч) в точке че), над которыми поверхность и = и (а, р) находится попеременно то выше, то ниже своей касательной плоскости в точке (ав,()а, ие). Линия о (а,()) = о (а„ ре) в окрестности точки че состоит из л линий, проходящих через точку ве в направленни биссектрис уйомяиутых секторов, Одну из таких линий и следует взять в качестве С. Если и =- и (а, р) имеет несколько точек перевала еш то в качестве С надо выбрать линию наиболее крутого перевала, 2об Фушсции ф (;) и ) (к) заменяются пх приближенными значениями ф('й) =фй.)+я — $.) ф'я.), ~($) =)д.)+ "—,')а ) (ц), а интеграл по контуру Сн заменяется интегралом *) 2 2 ф (~ ) Их? 1ао)а Е(Š— ф (Е ) ах( иь1 ~ Н сп с„ Следовательно, ~ ф($)ах)йй>Д=,4 1/ —" тр(8е)ах) 1й*1 ц О 1? '1 р' х а (х) / с Здесь указана лишь идея получения асимптотических представлений интеграла ) ф (й) ех) 1й1 дне при х — оо.
Подробное с обоснование метода перевала смотрите, например, в книге А. Г. Свешникова и А. Н. Тихонова е*). $8. Функции Эйри Ряд задач физики (например, задача о движении заряженной частицы в однородном электрическом поле и др.) приводит к уравнению у — ху .= — О. (94) Произведем замену неизвестной функции по формулам у'х г(х) для х)0, у(х) =— ) ' — х г (х) для х(О.
Для функции г (х) получим уравнение е -1- — а (х) — ( — + х) 2 = О. х (, йхе (95) ') При этом пренебрегаем слагаемым (а — $е) чр' (Зр), малым в сравнении е $ (яе). **) С в е ш н и к о в А. Г., Т и х о н о в А. Н. Теория функций комплексной переменной. — Мл Наука, 196?. 28? Последний интеграл соответствующей заменой переменной интегрирования приводится к интегралу о (а) = а-а' е(р, р'х -о (х1 в котором о (х) — оо при х — оо. Он равен Для построения об!цего решения этого уравнения произведем в пем замену независимой переменной по формулам 2 3 2 — х' для х=-О, — ( — х)з1з = — 1Х !з1з для х ( О. При этом уравнение (95) перейдет в уравнения изз 1 нз Г19, ) — — — — — -'- 1 г=О для х«0, Ж.
1 Ж ~1з з-!, нзг ! нз ( 119 — + — ° — + 1 — — ) г=О для х(0. ии ! Ш Следовательно, общее решение уравнения (94) можно записать в виде !гх <С!7 $/3 ( хз'з) + Сг!пз ( — Х~1з)) для х=. О, р (х) = т'Тх! ~0~/ из ( — /х !з1з) + Озз'!1з ( — (х1з з)] для х(0. Если произвольные постоянные С,, Сз Р,, О, взять равными С, =- — С, = О, — — — О, = — 1(3 и С, =. Сз =- О, = — О, =- 1)3, получим функции Эйри А! (х) и В((х); — (1-!1з ( — хм ) — 7!1з ( — х~1~) ) дла х '=- О, Р.т 2 — <,У, з ( — /х/~12) + Упз ( — /х/3, )< длп х (0 АК(л) =- — (1-ьз( — х"з) -'; У!1з ( —,хзз)~ длЯ .к «О, <У-!!з ( — 1Х1з') — Упз ( — <х!з1з)! длЯ х(0. Вз(х) = Из представления функций 7„(1) и У, (1) в виде обобщенных степенных рядов следует, что Аз(х) -+ з,, В!(х) -+ з 1 ! х-.з з~/!8 Г (213) к з у !8 Г (218! Применяя приведенные в 8 7 рассуждения (с очевидными несу!цественными изменениями) к функциям I,, (1) е 7, (1) и 288 Это — уравнения цилиндрических функций.
Их общие решения можно записать в следующем виде: г (!) =;С~l !м(1) + Сз711з (1) для х.=» О, г (1) =- О~У !1з(!) + Оз/!1з (1) для х (О. У т (!) ~ /т (!), НЕГРУДИО ПОЛУЧнтЬ СЛЕДУЮЩИЕ аСИМ!ПОП!ЧЕСКИЕ представления функций Эйри: ,з Аг(х) = х е ' ]1+ 0(х-з!а)] для х-+- + оо, 2 )'и Аг(х) = =х-!м 3!п ( — ]х]зз+ — ) ]1+ 0(] х]-тм)] для х — ь — оо; Ргп 'чЗ 4 / — ка!2 2 Вг(х) = =х-"ез !1+ 0(х-з!з)] для х — ь — ' ао, 1/я -Г В1(х) = =х н' з!п( — ] х]зщ+ — ) 11 + О(] х] тп)] для х — — оо.
Имеются таблицы функций Эйри. 3 АДА Ч И 1. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра, начальная теыга пература которого равна и (г, 0) = А ! ! — — у! а на поверхности его под)'( а держи ва ется температура, равная нулю . 2 . Цилиндрический однородный проводник радиуса тс длительное время нагревался п сстоя н н ым током силы ! . Исследовать процесс остыван ия проводника после выключения тока, если в течение всего процесса н а поверхности проводника происходил теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температурыы .
3 . В не бесконечного круглого проводящего цилиндра 0 ( г ( Я в момент ! = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле На, па~а л лел ьн ое оси цилиндра . Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра и ри нулевых начальных данных . Найти поток магнитной индукции ч ерез поперечное сечение цилиндра . 4 . Н а йти температуру цил индр ической трубы йг ~ г < Яа, если с момента ! = 0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи тепловой поток плотности д , а внутренняя поверхность поддерживается п р и нулевой температуре. Н ачал ьн а я температура нулевая .
б . Решить задачу о к ол еба н ин х круглой мембраны с з а к р епл ен нымн краями под действием равномерно распределенной нагрузки !е = сопя(, приложенной с одной стороны с момента ! = 0 . б. Решить задачу б для случаев: а) Я = А енп ы); б) Я = А соз ы); в) нагрузка Я распределена по площади кольца йт ( г( )га (рассмотреть также случай тех = йа). 7. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны 0 ~ г ( й, вызванных движением ее края для ! ) О, по законам: а) и (гс, !) = А з!и ыг; б) и (Я, !) = = А соз М. Начальное возбуждение отсутствует.
8. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны 0 ( г ( гс с закрепленным краем под действием точечного импульса Р, сообщенного мембране в Мо. мент ! = 0 в точке (го гро). 9. Найти распределение потенциала злектростатического поля внутри полого цилиндра радиуса гс и высоты й, нижнее основание (г = 0) и боковая поверхность которого имеют потенциал Уе, а верхнее основание — потенциал Уы 1О. Постоянный ток силы ! поступает через одни торец цилиндрического проводника, изготовленного из материала с проводимостью 6, и отводится с противоположного торца.
Определить распределение тонового потенциала внутри проводника, считая, что подводящие контакты суть диски радиуса Нт ( й (!!— радиус цилиндра) н ток по ним распределен с постоянной плотностью. 280 !О лрсеиан и. я. Н. Через цилиндрический образец радиуса й н высоты И пропущена тонкая проволока, нагревасмая постоянным током, выделяющим тепло Г) на единицу длины.
Найти распределение температуры в образце, считая, что 'боковая поверхность цилиндра поддерживается при нулевой температуре, а на его основаниях происходит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры. 12. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра 0 —. г ( Я, если его начальная температура 'равна и, = соим, а на его поверхность с момента 1 = 0 извне подается постоянный тепловой поток плотности 4, 13. Решить задачу о собственных колебаниях (т, е, найти с. з.
я с. ф.) круглого цилиндра длины И при граничных условиях первого, второго и третьего типов. 14. Решить задачу о собственных колебаниях мембраны, имеющей форму кругового сектора (г.=- Гг, 0 — Ч = а), при условиях первого, второго и третьего типов. 15. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора (О г ~С Я, 0 - гр = а), если на его поверхности поддерживается нулевая температура, а начальная температура произвольна. 16. Найти температуру конечного круглого цилиндра, поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура произвольна. 17.
Круглая мембрана радиуса )1 нагружена сосредоточенной л)ассой т в ее центре. Найти собственные значение Хл этой мембраны. Сравнить их с собственными значениями ненагруженной мембраны. Рассмотреть два случая: а) ш мало; б) ш велико. к ) — (1 — — ) 2 1 18. Найти коэффициенты разложения функции е ' по целым степеням Г. 19. Вычислить !ь))2(х), кш))2(х), нш))2(х), н~))2, и)ч )),(х). ()) 12) 20. Найти стационарное распределение концентрации неустоичивого газа внутри бесконечного круглого цилиндра, если на его поверхности поддерживается постоянная концентрация иэ. 21. Решить задачу 20 для области, внешней к цилиндру.
22. Найти электростатическое поле внутри цилиндра (О ~ г ей )1, 0 ( г ( И), торцы и боковая поверхность которого имеют соответственно потенциалы иг, иэ и иэ. 23. Найти стационарную температуру круглого цилиндра высоты И, нижнее основание которого теплоизолировано, на верхнем происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры, а боковая поверхность поддерживается при температуре и ), и = 1 (г). 24. Стенка цилиндричесКого канала, просверленного в неограниченной плоской пластине толщины И, поддерживается при температуре иэ = сопз1. Найти стационарное распределение температуры в пластине, если ее грани поддерживаются прн нулевой температуре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
