1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Непосредственным дг дх вычислением находим — = 2(х — !) Н и д, =2гН. эти тождества вместо Н (х, !) ее разложение (24), Подставляя в получим г" — ' Н„(х), = 2(х — !) Д Н„(х) —, а=а (32) ч=г чч Н„'(х,—: — 2! х Н„(х) —. а=а =а (33) *! См. Замечание 3 на стр. 236. 308 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ! в тож- дествах (32) и (33), получим соответственно рекуррентные фор- мулы (30) и (3!) *).
'('ождество (31) позволяет вычислить интеград ~ Н„(х) дх = — Н„„(х). Тождеством (30) мы воспользуемся для вычисления квадрата нормы (1Н„((' = ) е-'*Н„'е(х: Ю (( Н„((е:= )1 е — "НК (х) дх = )1 Н, (х) Н„(х) е —" дх. Один множитель Н„(х) в подынтегральном выражении выразим по формуле (30) через Н, и Н„,, заменив в ней п на и — 1. Получим (Н,(1'= ) е — "Н„(х) (2хН„,(х) — 2(п — 1) Н„,(х)( г1х=- = ~ е — '*Н„, (х) 2хН„(х) дх. При этом мы воспользовались ортогональностью многочленов Н„, и Н„. Выразим 2хН„(х) через Н„, (х) и Н,„(х) по формуле (30), получим 1(Н,(~'= ) е "'Н„,(х) (Н„,(х)+ 2пН„,(х)( дх--- = 2п ) е — "Н', (х) Ых, нли ((Н„((' = 2п((Н„, 1('.
( 34) При этом мы воспользовались ортогональностью многочленов Н„, и Н„,. Из формулы (34) следует ((Н (и =- 2" 'п! ((Н~((е =- 2л ° п1 ) 2хее "' Их = 2"и1 ' и. (35) О Таким образом, ((Н ((' = 2"пгусп. (36) 4. Очевидно, многочлены Чебышева †Эрми образуют нормальную систему многочленов. Следовательно, к многочленам Чебышева — Эрмита приложима теорема $ 1 (стр. 291). Таким образом, все нули многочленов Н„(х) — простые и вещественные. В дальнейшем функции, интегрируемые вместе со своим квадратом, будем называть квадратично интегрируемыми.
5. Т е о р е м а 2. Всякое решение уравнения (28) у (х), отвечающее параметру Л = Л ~ 2п (и — произвольное фиксированное 309 -„-(в- д'(~и,' Яу(Е)в "=-О, =-1с-= Н;, (Е)1 с Я„с- "Н„(с):=- О, где Я.„= 2п, как и прн доказательстве теоремы 1, находим х ( Н„(с) у (с) с- е" йз =- (11 (х) -- 1р (1)), ь~ — — Х Е (37) где ц (г) =в-"1у'(г)Н„(г) — у(г)Н,',(г)) и ((х. (38) Переходя в (37) к пределу прн У- — ьо н х- +оь, получим Н„(с) 17(ч)е Р сЯЕ -= ( 1нп ц (х) -- 1нп ф(ЯИ Яп — к ~хо-ь Г Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что справедлива Л е и м а.
Нлюют место соотносаенил Бгн 11. (х) — 0 и 1пи 11: (1) =- О. Х ! Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, Ф(х):=Ф(1)' ,(Х„Я.) 1 ' — г'Н„а)уа)г(Е (39) 1 Зафиксируем 1. Поскольку правая часть в (39) непрерывна по х на промежутке (г', оо), то Ф (х) также непрерывна на (г, оо). Сушествует конечный предел 1нн ~1е — '-'Н„(е) у (ь) г(~. (40) х -эч- В самом деле, по неравенству Коши — Буняковского имеем К к ~ е †"- Н„ (~) у (ч) с($ < ~ е †.' 1 Н„ ф | ) у ($) 1 с% < О в е" ) Н„ (ь) 11 17 (г) ! щ = ~ в и"' г / Н„ (ь) / е Р'г / у ($) ) с(ь < 1 2 ( 1 ~г < ~ е-'Нг(Д)Щ ) с ".'у-'фгЕ ="1Н„'1 ~ в г'у'(я)г(ь 310 неотрицательное целое чпсго), непрерывное а квпоритично инонг'- рирусмое (с жсои и (х) =- с ' ) на промежутке ( — оо, оо), ортогонально многочленам Чебьаисоа — Эрлита Н„(х) на промежутке ( — оо, оо) с весом р (х) == е-'*.
Доказатсльство. Исходя из тождеств Так как по условию теоремы последний интеграл существует и равен конечному числу, то отсюда и следует существование конечного предела (40). Из существования предела (40) следует, очевидно, существование предела 1ппф (х) =- гР (+ оо). Покажем, что ф (-)- оо) == О. г -)- Допустим противное. Тогда существует такое число л.„что на промежутке [л„оо [ функция гр (х) не обращается в нуль. Так как Н, (х) — многочлен, то можно полагать, что на промежутке [х„оо) Н„(х) также не обращается в пуль.
Из (38) получаем В [ у )г) [ г[ )г) е' вг [П„(г) [ Нг [ ) Следовательно, для х ) х, к ,) Г С*О, р» Сг> "«). Применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении, получим к га в'г у(х) =Н„(х) ' ' [ Ф(ь) ~ — ° (41) .~. [,) [ к, где х, < а < х. Поскольку интеграл растет при х- + оо, как х 'Н„г (х) е", а функция гР ($) не обращается в нуль и ограничена на промежутке [х„оо), то из (41) следует, что у (х) растет при х- оо, как х 'Н„' (х) е", и поэтому у (х) не является квадратично интегрируемой на ( — о, о) с весом о (х) == е- '.
Это противоречит условию теоремы. Таким образом, предположение гр ([- со) ~ 0 противоречиво, и, следовательно, ф (+ со) =- О. Совершенно аналопшно доказывается, что ф ( — -оо) —. О. Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Из теоремы 2 непосредственно следует теорема 1. 6. Т е о р е м а 3. Всякая функция ["(х), непрерывная и квадратично инпгеерируелгая с весолг р (х) == е-" на промежутке ( — оо, оо), ортогональная всел) многачленал) г[ебышева — Эрмита с весом р (х) =- е-" на, промежутке ( — оо, оо), тождественно равна нулю, [ (х) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку по условию теоремы функция ), (х):-= [ (х) е- " ''-' квадратнчно пнтегрируема с весом р (х) .: 1 па промежутке ( — оо, оо), то тем более функция гг (х) =- )' (х) сг а квад[>атично интегрирусма с весом р (х) .
1 на том же 3)) промежутке. Следовательно, функция /, (х) имеет преобразование Фурье Р, (в): Р (в) = ~ /,(х) е " е(х.= ) /(х) е — " '""г(х.' (42) 2 Функция Р, (в) аналитична в полосе ) 1т в) ( М произвольной ширины 2У, и ее производные произвольного порядка )е можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, т, е, по формулам Р,'" (о>) = — ( — 1)д ~ /(х) е — "' — ""'хдЙх. В самом деле, функции 4д(х) = /х(д//(х) )ехидн — "* (й=- О, 1, 2,.. ) (43) являются, очевидно, мажорантными в полосе ) 1гп в / ( М для функций ( 1) д хд/ (х) е — к* — мо Интегралы ~ фд (х) дх сходятся, так как, представляя фд (х) в виде произведения х')( к* ) фд(х) — — ()/(х) /е / ~)х!д е / Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо х е — "' дх = О. и используя неравенство Коши — Буняковского, получим О ю М 102 ) фд(х) е(х (! ~ !((х) /'е — "г(х ~ !х/еде'л~4 — "'е(х Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится и инте- В грал ~ фд (х) е(х.
Так как функция Р, (в) аналитична в полосе !!гп в) ~ У, то в круге Оя с центром в точке в = 0 и радиуса )с ( Ж ее можно представить степенным рядом „г',м (о) Ре(в) = Р,(0) +еоРз(0) + ... --, 'в" + ... Мы здесь воспользовались свойством 1 (й!) многочлепов Чебышева — Эрмита и их ортогональностью (с весом р (х) == е- ') к функции 1(х). Таким образом, всюду в Вя Р, (ю) : — О. По теореме единственности аналитических функций из этого следует, что всюду в полосе ! 1щ ю ! ( У Р, (ю) = О. Применяя обратное преобразование Фурье к функции Р,(о>), получим 1е(х). Таким образом, Следовательно, и 1(х) гг О.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Мы установили замкнутость семейства многочленов Чебышева — Эрмита относительно семейства всех функций, непрерывных и квадратично-интегрируемых с весом р (х) = = е-"' иа промежутке ( — ьо, ьо). 7. Многочлены Чебышева — Эрмита можно рассматривать как собственные функции следующей краевой задачи: Найти значения параметра ? и отвечающие им решения уравнения — (е «у) -~ ?„е юу — О е Д« непрерывньче и квадратично-интегрируемые с весом р (х) = е-** на промежутке ( — ьо, оо). Числа ?.„= 2п, где и — целые неотрицательные числа, являются собственными значениями этой краевой задачи, а Н„(х)— отвечающими ам собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности (Х„! и (Н„(х)! все собственные значения и собственные функции этой краевой задачи? Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 2 и 3. Таким образом, совокупность многочленов Чебышева — Эрмита исчерпывает все решения уравнения (28), непрерывные и квадратично-интегрируемыесвесом р (х) = е-"' на промежутке( — оо, оо). 8.
Приведем без доказательства одну из теорем разложимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебышева — Эрмита, уточняющую теорему Стеклова (гл.!Ч, 5 2) в случае, когда разложение производится по многочленам Чебышева — Эрмита. Т е о р е м а 4. Если функция ?' (х) и ее производная ~' (х) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке ! — а, а! и интеграл е-"'1' (х) йх з1з и,нсст коне~>нос зяаштнпс, пго пргг любом веиссственном значении х ее рчд Фурье по многочлснам Чебы>>сева — Эрмито ~~) с„Н„(х), с„= — „, ~ 7" ($) е — *Н„(й) с$, н=.с сходится к числу — У (х '— О) -'; — Р (. — ОН.
1 9. В приложениях чаще применяются ф у н к и и и Ч ебышева — Эрмпта (44) обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции, очевидно, образуют ортогональную систему с весом р (х) = 1: >ра (х) фр (х) йх= О, если п4: р; '~4З г>=1 (4б) Из уравнения (28) для многочленов П„(х) лег>со получается дифференциальное уравнение для функций тр„(х)г (45) т)г" + (1, — хс) т)> == 0 () —.= 2п + 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
