1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(47) Обычно для уравнения (47) задача ставится следующим образом: Найти такие значения парад>стра )., при которых уравнение (47) имеет решение >1 (х), непрерывное и квадратично интегрируемое (с весом р (х) = 1) на промежутке ( — оо, оо), обращающееся в нуль на концах этого промежутка. Из свойств задачи, решением которой являются многочлены Чебышева — Эрмита (см. стр.
307), следует, что упомянутая задача для уравнения (47) инееп> решения только для значений ), равных Хч = 2п + 1 (и =- О, 1„...), и этими решениями будут функции т(>„(х). Рассмотрим пример применения многочленов Чебышева— Эрмита (и их простейших- свойств) для решения конкретных задач. П р и и с р 4. Определить, при каких апачспиях Е уравнение 1бредингера для линейного гариоиичсского осциллятора: 1 2тЕ насей >, Р" 1-, — — ")>Р=-О ав аа 148) 314 имеет ограниченное на промежутке — со ч. х ч., со решение. Здесь т, ша, Е— масса, собственная частота и полная энергия осциллятора, гг — постоянная Планка. е/ ы,т Заменой переменной г ..= гг> — к уравнение (48) привод>пся к виду (47), л 2Е в котором Х = — : о>о!! с!оф >' 2Š— 1- ( —. — г-") ф - О дга (, шоа (40) с к = — — о (ао — 1!о), У са(), г — г (50) (здесь с — размерный мне>янгель, †( а ( со, 0 = () ( оо, — к> с г ( со), то Ли = 0 в этих переменных будет иметь вид 1 Г дзи д>и д'и ! Ли = ~ — -1- — -1- с' (аз ->- ро) —,' = О.
(51) сз (ао а 1!з) ~ даз дрз дго 1 Будем искать решение уравнения (51) в классе функ>!ий вида и = = А (а) В (5] 0 (г). Разделяя переменные, получим уравнения А'+ (р — )озсоао) А = О, В" — (р+ )оосзй') В = О, !)" + ХЧ) = О, где ),о и и — неизвестные параметры. В переменных 5 )г),са и Ч 1)'Дср уравнения (52) и (53) принимают вид — +( — — йз) А=О (54) доВ Г и +( — — чо) в=о, дя ~ Лс совпадающий с уравнением (48). $4, Многочлены Чебышева — Лагерра 1. Как было указано в 8 1, мы определим многочлены Чебышева — Лагерра с помощью производящей функции.
Возьмем в качестве производящей функцию йа (х, () = е — "Вп — '1 а) 1 1 !а-Н и разложим ее в степенной ряд по степеням й о ) а (х, () =- ~' йа (х) 1", н=О (бб) 2Е 1 при = = 2п+ 1, где и — полое число, т, с. нрн Е = мой ( и 1- — ) =Во сооа уравнение (48) имеет огравичснное па промежутке †,:о ч., го., оо решение 1 ()= иа(~~ — "„' ) Функции Чебышева — Эрмита появляются при решения уравнения Лапласа Ли = 0 методом разделения переменных в параболических координатах. Действительно, если ввести параболические координаты а, (), г, связанные с декартоиымн коорднна>ами х, у, г соо>ношениями Контур С, охватывает точку г = х. Мы при этом воспользовались формулой для производной интеграла Коши. Таким образом, кл Еа (х) х-аех (хл+ае — «) (56) л л) Ехл Из этой формулы следует, что Ел (х) действительно является многочленом и-й степени.
Очевидно, Еао (х) =— 1, Е~~ (х) 1+ + ег — х. л. Покажем, что многочлен Е"„(х) является решением урав. пения ху" + (м + 1 — х) у' + Ху ° О, (67) или ~-(ла+'е"ау')+М'в"ху. О прк )е. и, (66) )действительно, продифференцнровав функцию в ° х"+"а' Один аз) р в' *(и+ее)хи+и )е ' ха+из в~ находим тождество хв' — (н+ а -х) в в О. Дифференцируем это тождество и+ 1 раз. Получим х(в)л))" + (х+ 1 — «в) [Фл))'+ (и+ 1) вгл) ж О. Подставляя в это тождество вместо вьл) его значение согласно формуле (56): в<л) хае-хЕа (х) п), получим тождество х(Е„) +(а-)-1 — х)(Еа) + пЕал = О.
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Е„(х). *) Иногда эти многочлены наэыаашт обобщенными многочленами Чебы- шева — Лагерра, а многочлены Ел (х) == Е (х) — многочленами Чебышева— л л Лагерра, Ниже будет показано, что коэффициенты разложения Ел (х) являются многочленами, называемыми мноеочленами Чебы)леаа- Лагерра ').
Очевидно, Еа(х) = — ' ~ = —.) ' г(Е ) олЕа(х, Г) ) ) ) Еа(х, Г) л и) б)л Г О 2Ю Е Ге+1 где С вЂ” замкнутый контур, охватывающий точку 1 = О. Произ- ведем в этом интеграле замену переменной интегрирования 1 = Х = 1 — —. Получим х г1 л+а — х ) лл Еа(х) =- х-"е" ) )'х ' г)г = — х — ае" — (х"+ае '). 2н) (х — х) "+' ") дхл с, 3. Т е о р е и а 1, Многочлены Чебышева — Лагерра ортого.
нальны на промежутка (О, со) с весом р (х) х©е-', СЮ ) Е"„(х)Е" (х)х'е-"б»=О, если и~р и а> — 1. (59) о Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем два тождества: — л -"'е —" " +ил'"е "Е" (х) = О, ех гх и л~е 1"1 хич 1е — к Р + рхс~емЕи (х) — О е'л ех Р Первое из них умножим на Е" (х), второе — на Е„" (х), резуль- таты вычтем один из другого и полученную разность проинтегри- руем (по х) по промежутку (О, оо). Получим )'(' — "~ ..— — '""] ' — '~ .- "'Я,- О (р — и) Е" (х) Еь (х) х"е-' бх. Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать в виде а ) щ (х"+'в-' Я (Е~) ' — (Еа) ' Ц) ) Ы ь Следовательно, ) Е~( ) Е" (х) х'М-'И» „(~~~~" ((Е~)'Е~~- Я)'Е"„)) О ь При х * О проинтегрированная часть обращается в нуль аа счет хь+' (а > -1), а при х оо — аа счет е', Поскольку р чь и, то отсюда непосредственно следует равен.
ство (69). 4. Найдем норму 1Е'.'1. Предварительно докажем справед- ливость двух рекуррентных соотношений: (и + 1) 1,"„, (х) — (2и + 1 + а — х) Еь„(х) + (и + а) Е'„*,(х) = О, (60) (61) — 1Р (х) = — 1Р+,' (х) Для этого установим связь между производящей функцией ее~ зе'" и се частными пронзноднымн — и —. Непосредственным дх д~ вычислением находим (1 -- 2г'+ !о) -': — (а --, '1 — х — (а 1- 1) г)!."(х, () дд" (х, г) Подставляя в эти тождества вместо Ь" (х, !) и Ь" '-' (х, !) их раз- ложения (55), получим (1 — 2) ., ')о) ххг гг!."х(х) !" ': — (а '; 1 — х -- (а — ' 1) ))м ~ (.ох (х) )" ь 1 л.-о (62) д -„ !х) Чоч Н )х " — ! э гхги+г (х) дх (63) -=о =о Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ( в тождествах (62) и (63), получим соответственно формулы (60) и (61) *).
Из формулы (61) следует, что 1 Ь"„(х) г(х = — Л„" —,г (х). (64) Соотношением (60) мы воспользуемся для вычисления !) Ь", ))г; В3 Ф ~~ ц))о ) х"е-* [г,„" (х))о г(х = ~ х"е-х1.о (х) 1,о(х) ггх. о о Один множитель ь"„(х) в подынтегральном выражении выразим по формуле (60), заменив в ней и на п — 1.
Получим СО ))(Р!)и= ~ х е-х1 "(х) ((2п — 1+а — х) 1.'„* г (х)— о — (и — 1 + а) 1." (х) ) — г!х .= дЕ~ (х, г) дх ") Сог. Зоиечаиио 3 иа отр. 293. 3!8 О =.— ) х"е — хЕ", (х) ( — х1."(х) )г(х. 1 г о !!1!с! ПРп этом Воспользов22лись ОРтОГОналы!Остью мпОГОчленов 1 и 1„,, а также 1,'„" и Е'„" !. Выразим — хЕ„(х) через 1',",: ! (х), 1.',", (х) и Ь",, ! (х) по формуле (60).
Получим = — ~хае — "Еа, (х) ((и+1) Еа, (х) — (2п+1+а)(.а(х)+ о (п -'; а) 1." , (х)) а!х =- " ~ х"е †" [Е,а , (х)1'с(х = о пли (')с'.'2 .. ! (((а ~(2 (65) При этом мы воспользовались ортогопальностью многочленов Е"„! и ~."„е!, Л"„! и 1."л.
Из формулы (65) следует: (л+а)(л+а — 1)..(а-, '2), а! Г(л+а 2-1) Р-"Г- и ) (1 + а — х)2 х е — а дх ==,, '„, Г (а '; 2) =- о Таким образом, (66) в5 = Д'" Ь!Š— Еу' (5)1 + ).5ае — 1 у (Е) = О, ,Ц (- Во л " 1 ~ л л — „"5ач 'е-'=- — 1", (с)! ', Х,~ае — 1(.;; (5) == О. 319 Очевидно, многочлены Чебышева — Лагерра образуют нормальную систему многочленов. Следовательно, к многочленам Чебышева — Лагерра приложима теорема 2!.
Таким образом, все нули многочленов 1.'„' (х) — простые, вещественные и расположены на интервале (О, оо). 5. Т е о р е м а 2. Всякое решение уравнения (58) у (х), отвечающее параметру )с = )с Ф п (п — произвольное фиксированное неотрицательное целое число), непрерывное и квадратично интегруел!Ое (с весом р (х) == хае ') на прол!ежутке (О, оо), ортогонально многочленам Чебышева — Дагерра 1."л (х) на промежутке (О, оа) с весом р (х) = хае-". Доказательство, Исходя нз тождеств где л„=- и, как и прп доказательстве теоремы 1, находим к ~ у (а) 15„' (с) К е — в Щ = (!"(х) — ! (1) ), (67) где ! (г) = г +'е — ' [1."„(г) в г) — у(г) — „Ь"„(г)~ (68) и 0 < ! < х < оо. Переходя в (67) к пределу при 1 — 0 и х — оо, получим ~ $"е — 1у (5) ! „(а) т(~~ = ~11гп 7'(х) — 1ип ! (1)1. (69) о Хп — х а-» 1-»о *) Читателю рекомендуется провести подробно все выкладки доказательств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
