1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 57
Текст из файла (страница 57)
320 Таким образом, для доказательства теоремы достаточно пока- зать, что справедлива Л е м м а. Имеют место соотношения 1ип !" (х) =- 0 и !пп !'(1) = О. Х -» по Доказательство первого равенства проводится совершенно так же, как и доказательство равенства 1пп ф (х) = 0 в лемме Х о» на стр. 310, а доказательство второго равенства — как доказа- тельство равенства 1пп»р (х) = — 0 в лемме на стр. 298. Поэтому к 1 мы не будем снова повторять их *). 6. Т е о р е м а 3. Всякая функция !"(х), непрерывная и квад- ратично интегрируемая с весом р (х) = х"е " на промежутке !О, оо), ортогональная всем многочленам Чебышева — Лагерра с ве- солт р (х) =- х е-" на промежутке [О, со), тождественно равна нулю, 7" (х) = О.
Для упрощения доказательства полагаем сс > — 0,5. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку по условию теоремы функция )т (х) = )' (х) х ме юз квадратично интегрируема с весом р (х),= 1 на промежутке [О, оо), то тем более функция )е (х) = = х е-') (х) квадратично интегрируема с весом р (х): — 1 на том же промежутке. Следовательно, функция х"е '7 (х), х ~ О, О, х<0, квадратично интегрируема с весом р (х) = — 1 на промежутке ( — оо, оо) и потому имеет преобразование Фурье Ра (ы): Ю Еа (ю) = ) 7а (х) е — '"" с(х = ) ) (х) х"е — "е — '"" с(х. (70) » о Функция Ра (ю) аналитична в полуплоскости !тп оз ~ б < 1/2, и ее производные произвольного порядка )) можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, т.
е. по формулам Ю Р(з((оз) = ( — ()з ~1(х) х +зе — 'е — ""((х. о В самом деле, функции (рз (х) = ! ) (х) ~ хзз+зе †"(' — о! (/г = О, 1, 2,...) (71) являются, очевидно, мажорантнымн в полуплоскости 1т оз «6 для функций ( — 1)'Дх) х'"е — "е — (" . Интегралы ~ рз (х) ((х о сходятся, так как, представляя (рз (х) в виде произведения и используя яеравенство Коши — Буняковского, получим (' нн !! !'з ) (р, (х) ((х «) () (х) )з хае — ((х ) хз+ззе — зп — зо! ((х о о о нн ) (рл (х) ((х.
е Так как функция Рз ((о) аналитична в полуплоскости 1т оз « «6 «0,5, то в круге 72„радиуса )с «: 6 с центром в точке оз = 0 ее можно представить степенным рядом нзм! (о! Ез ((о) =- Рз (0) -(- ыРз (0) + ... + (о' ' + ... И Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо г"з(з ! (О) = ( — () " ~ хзр' (х) х"е з ((х о =( — о ((Ь',з",(() ((н»-з. = о. о !н=о Мы здесь воспользовались свойством 1 (2!) многочленов Чебышева — Лагерра и их ортогональностью к функции 7' (х). Таким образом, всюду в 1зн Рз (оз) = О. По теореме единственности аналитических функций из этого следует, что Рз ((о): — 0 всюду в полуплоскости 1гп оз «6 ( 0,5.
!1 Зрснннн а. Я, 32! Поскольку последние интегралы сходятся, то сходятся и интегралы Применяя обратное преобразование Фурье к функции Ро (ол), получим (о(х). Таким образом, 1о(х) = 2„)( Ез(о!) е с[о!= О ! 00 Следовательно, и ) (х) = О. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Мы установили замкнутость семейства многочленов Чебышева — Лагерра относительно семейства всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых с весом р (х) =- х"е-' на промежутке [О, сс), 7.
лИногочлены Чебышева — Лагерра лложно рассматривать как собственные функции краевой задачи: Найти значения парал!етра? и отвечающие им решения урав- нения — (х"+'е — "у') + Ххлое- у = О, с сх (58) непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р (х) = х"е-" на промежутке [О, сс). Числа ?,„= и, где и — целые неотрицательные числа, являются собственными значениями втой краевой задачи, а Е"„(х)— отвечающими им собственными функциями. Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями [Х„) и )ь'„" (х)) все собственные значения и собственные функции этой краевой' задачи? Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 2 н 3. Таким образом, совокупность многочленов Чебышева — Лагерра исчерпывает все решения уравнения (58), ограниченные в окрестности х = О, непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р (х) = х е " на промежутке [О, со).
8. Приведем без доказательства одну из теорем разложимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебышева — Лагерра, уточняющую теорему Стеклова (гл. 1У, 2 2) в случае, когда разложение производится но многочленам Чебышева — Лагерра. Т е о р е м а 14. Если функция ~ (х) и ее производная ~'(х) кусочно-непрерывны на 'любом конечном отрезке [О, а[ и интеграл ~о ~ е ха[г (х) йх о О ОО '" ))")й с,Е (х), с„= — „, ~($) е — Кйс1Р(й) Я~, ! с л.—.—.о с ) о 322 имеет конечное значение, то при люболл значении х > 0 ее ряд Фурье по многочленам Чебьниева — Лагерра сходится к числу — [7" (х-!- О) +) (х — О)]. 9.
В приложениях чаще применяются функции Ь~ (х) Фа (Х) = а Ха12С вЂ” х12 И~! (72) обращающиеся в нуль на бесконечности (х = + о). Эти функции обладают следующим свойством ортогональности: ~ Ф"„(х) Ф,"„(х)г(х= О, если я~р и и) — !. (73) о Из уравнения (58) для многочленов Е"„(х) легко следует, что функция Ф"„(х) является решением уравнения г х изт 4 4х)У (74) при и+ 1 2 П р и и е р 3. Разложить функцию 1 (х) = е " в ряд Фурье по многочленам Чебышева — Лагерра. Р е ш е н и е. В искомом разложении а е х = ~~ с„Е„(х) =о коэффициенты са вычисляются по формулам св = а з хае зх1а (х) ах = — е х з (ха+ае х) лх. М') Производя и-кратное интегрирование по частям, получим Г(п+ и+ 1) ( г(~~ — ! (~ е ) + о ~а — з е <Ю О о е» = Подстановка пределов в проинтегрированные слагаемые дает нуль.
Поскольку 1 х"+ае з" их= Г(л -)-а-)-1), 2л+а+1 о 323 Многочлены Чебышева — Лагерра применяются при решении задач о распространении электромагнитных волн вдоль длинных линий, о движении электрона в кулоновом поле и в других задачах. и1 еп = и = 2п+о+1 3 а м е ч а н и е. Существует связь между многочленами Чебышева — Эрмита и многочленами Чебышева — Лагерра вида Неп (х) = ( — 1) п12 Еп ' (х'), Н,„, (х) = ( — 1)" п1 2гп мха (хе). 2 5. Многочлены Якоби и другие семейства попарно ортогональных многочленов 1.
К определению семейств попарно ортогональных многочленов можно подойти иначе, положив в основу его дифференциальное уравнение гипергеометрического типа *) о(г)у" +т(г)у'(г)+ 1у(г) =О, (75) в котором о (г) — многочлен не выше второй степени, т (г)— многочлен не выше первой степени, а Х вЂ” числовой параметр. Уравнение (75) можно записать также в виде — (ору') + Лру = О, (76) в котором функция р = р (г) определяется из уравнения и' — „,( р)=тр (77) Справедливы следующие леммы.
Л е м м а 1. Если при некотором Х =- Х уравнение (75) имеет решение у (г), то у (г) имеет производные всех порядков всюду, кроме, быть может, точек г, в которых"о (г) = О. Л е м м а, 2. Если у (г) есть решение уравнения (75) при Х = Х, та его производная я-го порядка ое (г) = — у (г) (я — любое ога целое число, й ) О) есть решение уравнения оо" +тдо'+ йап = О, (78) где та = т(г)+до'(г), Рь= Х+й(т'+ 2 о") Обе леммы легко доказываются по индукции, исходя из тож- дества оу" + ту'+ йу = О, поэтому мы не будем приводить эти доказательства.
2. Уравнение (78) можно записать также в виде — (орда' ) + 1зьрео = О, о' (79) и) См. Ни миф орое А. Ф., У за р о и В. Б. Специальиыефуикаии математической физики. — Мл Наука, 1979. 324 где функция ра = ря (г) определяется из уравнения и — (арь) = тьр~. (80) Подставляя в (80) вместо функции тя — — т„(г) ее значение, получим (/г — 1) — = — + — ~ (81) и, с заменой й на й — 1, (й — 2) — = — +: а' — т Рг Рм, Из соотношений (81) и (82) находим (82) а' Р~ Рг 1 Рг-1 а рг откуда в=а"1>, (83) так как р, = р. 3. Уравнение и — (ар„о ) + рр„о = 0 ~ (ор~ог) .1. ричрд = 0 (1= 1, 2,..., п) Й (85) иа и обозначениями — „у„(г) == о„,ь (й =- 1, 2, ..., п), легко полуаг~ чить обобщенную формулу Родрига Иа (г) — а (па ) Р Ига (86) где В„ — постоянная. В самом деле, из (84) получаем, используя формулу (83), — и у„(г) = — — „(ару,') =: (р,о„,) Выражая р,о„,т из (85) (при й = 1), получим у„(г) = —" —, (ор,о„' 1) = —" —,(рго„,,).
325 при р = О, очевидно, имеет решение о = сопз1. Следовательно, а — 1 уравнение (75) при Л = Л„= — и (т' + — а") имеет решение в виде многочлена п-й степени у„(г). Пользуясь тождествами а — (ору„')+ Л„ру„= О (84) (87) 5. Рассмотрим возможные ситуации, когда эти условия вы- полняются.
Поскольку а (г) — миогочлен не более чем второй сте- пени, то надо рассмотреть 3 ситуации: 1) и (г) — многочлен 2-й степени. Пусть г, и г, — нули этого многочлена. Линейным преобразованием переменной г их можно перевести в точки х, = — 1 и х., = 1. При таком преобразовании переменной г уравнение (75) (или (76) будет иметь тот же вид, Поэтому в этой ситуации можно считать, что а (х) =- 1 — х'. 2) о (г) — многочлен 1-й степени.
Линейным преобразованием его можно перевести в о (х) = х, т. е. в этой ситуации можно считать, что и (х) =- х. 3) о (г) — многочлен нулевой степени. Можно считать, что о (х) = 1, Рассмотрим все эти ситуации. Из уравнения (77) находим, что р (х) = — '„ехр () — ! дх). Первая ситуация: а(х) =1-х'.
Запишем т (х) в виде т (х) = — ух + 6. Тогда т А В В-!-т Ь вЂ” т — = — + —, где А= о ! — х ! -!-х ' 2 ' 2 , В= — ° (88) По формуле (88) находим р(х) =- (1 — х)-' '(! + х)в-', или, вводя другие обозначения, а = — А — 1, (1 =  — 1, р (х) = (1 — х)" (1 + х)". (89) 326 И так далее. Продолжая этот процесс до й = а и учитывая, что и„,„ = сопз(, получим формулу (86). 4. Найдем условия попарной ортогональности многочленов (у„ (х)) на конечном или бесконечном промежутке (а, о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
