1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Применяя к уравнениям вида (76) стандартную процедуру доказательства ортогональности их решений у„ (х) и у„ (х), получим ь (Մ— )ч,) ~ у„(х) уь (х) р (х) дх .=- (а (х) р (х) (у„' (х) уз (х)— а — у~ (х) у„(х)Ц ~,. Следовательно, для ортогональности многочленов у„(х) и у„(х) с весом р (х) на промежутке (а, о) необходимо и достаточно, чтобы правая часть последнего равенства обращалась в нуль при х = а и х = б, т. е. (а (х) р (х)(у„' (х) у„ (х) — у~ (х) у„ (х)))„ , = О.
При этом т (х) будет иметь Ьид т (х) —.= — (се + (! + 2) х + р — е). Следовательно, уравнение (76) будет иметь вид — ((1 — х) "+' (1 + х) й+' у') + Л (1 — х)" (1 + х)а'у = О. (90) При Л=Л, = — л(т'+ о") =л ~а+р+и+ 1) оно имеет решение в виде многочлена, вычисляемого по обобщенной фор( ))ч муле Родрига (86), Полагая в ней В„= —, получим много2пл) члены Р„'"' Ю(х), называемые многочленами Якоби: ) л еп Р»» а> (х) =- ( ) (! — х)-"(1+х) — а — „1(1 — х)ч+" (1 + х)а+"). (91) Если а > — 1 и р > — 1, а = — 1, Ь = 1, то для многочленов Якоби, очевидно, выполняются условия (87), так как и (х) р (х) = = (1 — х)"+' (! + х)а"'.
Следовательно, многочлены Якоби с параметрами а > — 1, р > — 1 ортогональны на промежутке ( — 1, 1) с весом р (х) = (1 — х)" (1 + х)а, т, е. 1 ~ Р<ч, й (х) Рсь й (х) (1 — х)" (1 -~- х)в е(х = О, (92) — ! если и ~ и. Очевидно, что Р„'"' а) ( — х) г— в ( — 1) Р(а' "' (х). Частные случаи: а) При а = (1 = 0 получаем многочлены Лежандра, т.
е. рЮ, >(.) р (х) б) При а =- () =- — 0,6 получаем многочлены Чебышева 1-го рода ,~л Т„(х) = Впу 1 — хч — ((1 — хе)л — юв) Их можно также записать в виде Т„(х) = В„соз (л агссоз х). Множитель В„принимают равным ( — ))" Г (0,5) 2"Г (л + 0,5) Эти многочлены являются решениями уравнения (у у~! х)+ 0 при Л = Л„= л'.
Они попарно ортогональны с весом р (х) = (1 — х') — '" на промежутке ( — 1, 1). в) При а = )) = 0,5 получаем многочлены Чебышева 2-го рода (х У (х) — (1 х2) — 0.6 1(1 хэ)л+ол) Их" Множитель В„принимают равным В„= ( — 1)" Г (0,5) (и+ 1) 2хг ( + 00) Эти многочлены являются решениями уравнения — ((1 — хе)' зу') -( Лу'Т вЂ” хеу = — О при Л = Л„= и (и + 2) и попарно ортогоиальны с весом р (х) = = Г'1 — х' на промежутке ( — 1, 1). г) При а = р = ч — 0,5 получаем многочлены Гегенбауэра с„'(х) = ЄЄ1~ ~л'' 'м (х), Г(2ч+и) Г(ъ+0,5) л — 1 (2ч) Г (ч -1- и -1-0 5) Они являются решениями уравнения ((! х2)ч)о,эу') +)„(! хи)ч — О,гу 0 при Л =- Л„= и (и + 2ч) и попарно ортогональны с весом р (х) = = (1 — хг)'-ч э на промежутке ( — 1, 1).
Вторая ситуация: о(х) =х, т(х) =ух+6. По формуле (88) находим р (х) = хг — 'етх, или р (х) =- х"етх (6 — 1 = а). Следовательно, уравнение (76) будет иметь вид — (л'"1'ет"у') -(- Лх"ет"у = О. г, и†! При Л = Л„= — — и р'+ — о") =- — иу оно имеет решение 2 в виде миогочлена и-й степени у„(х). Чтобы такие многочлены были попарно ортогональными с весом р (х) =- х''етх на промежутке (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (87). Очевидно, что при такой весовой функции они будут выполняться лишь при а =- 0 и Ь = оо и при условиях, что а ) — 1 и у ( О.
Не ограничивая общности, можно положить у = — 1. Таким образом, в рассматриваемой ситуации получаем уравнение (х~ч. ~е — ху') + Лхае — ху 0 И ах решением которого при Л = Л„=- и являются многочлены Чебы- шева — Лагер ра. 328 Третья ситуация: о(х) = 1, т(х)=ух+6. г тх« По формуле (88) находим р(х) =ехр( ~ +бх) Следовательно, уравнение (76) будет иметь вид — „, )ехр(~ +бх) у~+ Хехр(~ — -( бх)у= О. (93) При Х = Х„= — уп оно имеет решение в виде многочлена у„(х). Из условий (87) следует, что такие многочлены могут быть по! т«« парно ортогональными с весом вида р (х) = ехр ( — + бх) 2 только на промежутке ( — со, со) и при условии, что у < О.
Не ограничивая общности, можно положить у =- — 2 и 6 = О (на 6 ограничений нет). Таким образом, весовую функцию надо брать равной р (х) = е — "* и уравнение (93) принимает вид ! е-«1у' ) + 1 е — «~у — О д совпадающий с уравнением для многочленов '!ебьииева — Эрмита. Отметим, что из обобщенной формулы Родрига для всех рассмотренных здесь семейств многочленов (у„(х)) следует (см. Я 2 — 4) интегральное представление д ! В ! 0 в ( «) Р ( 1 ) Д $ у„(х) = —. — "~ 2и! р(х) ~ (х х)«-'г! с где С вЂ” замкнутый контур, охватывающий точку х = х. Глава ХУ! СФВРИЧНСКИБ ФУНКЦИИ Сферические функции столь же употребительны в математической физике, как и цилиндрические функции.
Необходимость пользоваться ими появляется, например, при решении задач рассмотренных в ч. 1, методом разделения переменных, если использовать сферические координаты. Если мы будем искать решения уравнения Лапласа Ли = О, записанного в сферических переменных г, О, ~р, в классе функций вида г (г) У (О, <р), то для Г (г), У' (О, ~р) получим уравнения — „", (.вР) — ЛР=О, (!) ! д г дУ х ! д«У — — (з)пΠ— ) + ., — )-Л)'=О. Мпа дв ч да ) Мп«В дФ« (2) Определение. Непрерывные в области О ~ О ~ и О ~ ср ч: 2п решения уравнения (2), такие, что 1' (О, ~р + 2п) =- = У (О, ср), называются сферическими функциями. Мы рассмотрим сначала семейство сферических функций, не зависящих от переменной ~р. 9 !.
Простейшие сферические функции Если сферическая функция )' (К ср) ие зависит- от переменной чс, то уравнение (2) принимает вид — а ° Еа (з1пО иа ).1-Л =О. 1 и' I с!с с (3) Произведя в нем замену независимой переменной по формуле $ = соз О, получим — „' .',(! Р) Я+Л =О. (4) Это уравнение Лежандра. Непрерывные на отрезке ( — !, 1 ! репсения этого уравнения., как мы видели в О 2 гл. Х"сс, имеются только при значениях Л =-- = п (и + 1), где и — произвольное целое неотрицательное число, и этими решениями являются многочлены Лежандра Р„(а). Следовательно, сферическими функциями, не зависящими от переменной ср, являются многочлены Лежандра от соз 9, Р„(соз 9), я только они. Эти функции иногда называют зональными сферическилси функциями. Мы подробно рассматривали свойства многочленов Лежандра, поэтому нет необходимости перечислять свойства простейших сферических функций Р„(соз 9), $2.
Присоединенные функции Лежандра 1. Если ограниченные решения уравнения (2) искать в классе функций вида Ч' (9) Ф (ср), Ф (ср + 2п) г— н Ф (ср), то для функций Ч" (9) и Ф (ср) получим уравнения —, „~0 (~1 9)+(Л- —,,„",0)Т=-О (6) Ф" + рФ =О. (6) Из условия периодичности функции Ф (ср) нахссдим р =- йа (где й — целое число). Поэтому Ф (ср) = А соз йср + В 3!п нср.
В уравнении (5) произведем замену переменной соз О = $, Получим уравнение (! — Р) ",~ — 2~',~+ ~Л вЂ” —," .,~ Ч =О. (7) При и =- О оно совпадает с уравнением Лежандра. Нам тре- буется найти непрерывные на отрезке [ — 1, 1) решения этого уравнения. Пусть Чсх ($) — такие решения. Тогда функции АЧ'„(соз 9) соз йср + ВЧсх (соз 9) з!п с1ср и будут искомыми сфе. рическими функциями. Рассмотрим подробнее решения уравнения (7), 330 О п р е д е л е н и е. Непрерывные на отрезке [ — 1, 1) реше. ния уравнения (7) называются присоединенными функциями Лежандра.
Для отыскания их произведем замену функции по формуле Ч' (в) = (1 — Г)"' г (в). (8) Для функции г ($) получим уравнение (1 — $') г" — 2$ (й + 1) г' + [). — й (й + 1) ! г = 0 (9) или — Г(1 — сц)е Ы вЂ” ~ + [). — й (й 1; 1) [ (1 — $г)е г = О. (1О) Такое же уравнение мы получим из уравнения Лежандра (5) (гл. ХЪ'), если продифференцируем его и раз. Е1о уравнение Лежандра имеет непрерывные и й раз дифференцируемые на отрезке [ — 1, 1) решения только при значениях Л, равных ),, =- п (и + 1), где и — произвольное целое неотрицательное число.
Этими решениями являются многочлены Лежандра Р„($). Следовательно, только при значениях ). = ).„уравнение (10) имеет непрерывные на отрезке [ — 1, 1) решения. Этими решениями являются производные й-го порядка от многочленов Лежандра Р„($). Следовательно, присоединенными функциями Лежандра будут функцшг вида (11) Очевидно, Р'„($) : =Р„(В). Поскольку производная и-го порядка „е — Р„($) является решением уравнения (10), то, следовательно, Л справедливо тождество ил+! ее = — [п(и+ 1) — й(й )-1)1(1 — хг)е — Р„(х):— [л = — -- (и — й) (и + й + 1) (1 — хг)" — Р„(х).
(12) 3 а м е ч а н и е. Согласно теореме 2 1 гл. Х1Ч всякое решение уравнения (7) при Х = п (и + 1) (и — целое, п ) 0), линейно независимое с присоединенной функцией Лежандра Р~ (в) (й ) 0), имеет в точках $ = -~-1 особенности вида А, (1 — $) — ем и А, (1 + $) †'а. 2. В дальнейшем нам понадобится только одно свойство этих функций — ортогональность. зз! Присоединенные функции Лежандра ортогональны на промежутке ( — 1, 1) с весом р (х) з— з 1: ! )! Р» (х) Р, (х) !(х = О при и ~ 3. — ! Д о к а 3 а т е л ь с т в о.
Введем следующее обозначение: ! А„,,= ~ Р»(х) Р, (х)г(х. — ! Используя формулу (11) для Р» (х) и Р» (х), получим Ат, — — ~ (1 — х')' —,, Р„(х) —, Р, (х) !(х =- — 1 в» = (! — х»)» — Р„(х), Р, (х) ~' !— ! ⻠— ! ⻠— ! = (и — й -!!- 1) (и !- Ф) ~ » ! Р,(х)(1 — х»)» — ', Р„(х)с)х, ох» и» вЂ” ! или (14) А,, = — (и — й + 1) (и + й) А»,'. Применяя формулу (14) к А»,', А» ~ и т.
д., получим А» (~+») л, з ( !1! пв' (15) Поскольку ! А,'и. =- ) Р„(х) Р, (х) !(х:= О, если и чь 3, — ! (16) и ! А„, „= ) Р'„(х) г(х =- о !» 2 2п+ ! — ! 332 Мы здесь произвели интегрирование по частям. Результат подстановки пределов интегрирования в первом слагаемом, очевидно, равен нулю. Поэтому ! ໠— !,! г в» А...= — ~ » ! Р, (х) — „„~(1 — х»)» — Р„(х) с(х, ах~ ох — ! Второй множитель подынтегрального выражения преобразуем, пользуясь тождеством (!2) (заменив в нем й на и — !). Получим А,ь 5 то 1 А»,, = ) Р» (х) Р»(х) /1х = О при п ~з — ! А".,.=)Р,'~~= ,'„"+,"„' —,„', . 3 а м е ч а н и е. Из формул (13) и (11) следует, что производные Ьго порядка многочленов Лежандра ортогональны на промежутке 1 — 1, 1) с весом р (х) = (1 — х')».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
