1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 53
Текст из файла (страница 53)
в. ! ~ Р„(х) Рд (х) с1х — — О, если п ~ й, -1 ') Читателю предлагается самому доказать законность почленного дифференцирования разложения (!) по переменной х. Действительно, напишем два тождества: — [(1 — х') Р;[ + п (п [- 1) Р„(х) ь— з О, — [(! — хз) Рл) + й (й + 1) Рл (х) е— з О. Первое из них умножим на Рд (х), второе — на Р„(х); результаты вычтем один из другого и полученную разность проинтегри.
руем (по х) по промежутку [ — 1, 1!. Получим ! ! Р! — „[(1 — «!) Р„'[ — Є— „[(! — х') Рь[) й« = -! = [77(lг+!) — п(п+!)[ ~ Р„(х) Рд(х) дх, -! нли — [(1 — х') (Р;Рь — Р„Рь)[ дх = в -! ! = (н — и) (й + п + 1) ~ Р„(х) Р, (х) йх. — ! Слеловательно, ! ~.Р ()Р ()" =, „,(, „„В[(! — з)(Р.'Р— Р.Р;)[',=О -! при п~й. Таким образом, семейство многочленов Лежанлра [Р„(хЦ есть нормальное семейство ортогональных многочленов, и, сле- довательно, к ним применима теорема ~ 1 и ее следствие, т. е.
верна Т е о р е м а 2. Все нули всякого многочлена Лежандра Р„(х) с и > О и его производной любого порядка г ( и Р! (х) простые, веи!ественньсе и расположены внутри промежутка ( — 1, 1). ! 5. Вычислим квадрат нормы [[Р„[['= ~ Р',(х)й«. Для этого -! один из множителей подынтегральной функции Р„(х) выразим через Р, ! и Р„° по формуле (6), заменив в ней и на и — 1. По- лучим [[Р„[['= ) Р,Р,йх=- ) Р„![ «Р„, — Р„в) йх= -! -! ! ~ хР„Рпл с[х. — ! 297 Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов Р„ и Р„а.
В последнем интеграле произведение хр„выразим по формуле (6) через Р„! и Р„, Получим 2п — ! Г Гп! ! !!Рп~! —, ) )'л !,„,, )'лл! и- 2„, )'л !~!Лх— -! ! 2п — ! Г Р„, а'х, 2о .1- ! '! нли (9) где гр(г) =(! — гг))у'(г)Р„(г)-- у(г)Р;,(г)! и --1<!<к<1. (12) Переходя в (11) к пределу по переменным х н ! прп х — 1, ! - — -1, получим ! ~ Рп (ь) у (ь) Щ =- !!)ш !р (х) -- 1пп го (!)1. -1 Л вЂ” Л 1.-! с- — ! / Таким образом, для доказательства теоремы достаточно показать, что справедлива Л е м и а.
Л.ие!оп! мсспго соотношения 1!и! ц (х) =О и !ьп! ~о (г) =О. — ! с .— ! х -1 хч! !! Р.!!е= ',„",' Р.,!!-. При этом мы снова воспользовались ортогональностью много- ч,тенов Р„ ! и Р„<!. Если соотношения (9) написать для и 2, 3, ..., )г и затем перемножить их, получим 3 !Р,!,'"" 2 !!Р,Р=- „,,' = „„,, (10) так как //Р,!!ь =- 2!3. 6. Т е о р е м а 3. Всякое решение уравнения (5,) у (х), отве- чаюсцее парамепгру Л = Л Ф и (и + 1) (п — произвольное фикси- рованное неотрицательное целое число) и непрерывное на отрезке ! — 1, 11, ортогонально многочленам Лежандра Р„(х) на проме- жутке ( — 1, 1) с весах! р (х) =.
1. Доказательство. Исходя иэ тождеств — !(! — $)чу'Д)1 + ЛуФ =: О, — 1(1 — В') Р1 (Е) ! -!- ЛлРл (%) = О, Н где ˄— и (п + 1), как и при доказательстве теоремы 2, находим 1 Р„($) у а) у$ —.= ' !(р(х) ! (!)1, (1 1) ˄— ! Доказатсльггво. Из (11) имеем х чс (х) = ср (1) - ,'— (л„— л) 1 Р„($) у (9) с[Я с для любых х и 1, — 1 < 1 < х < 1. Зафиксируем 1. Поскольку правая часть в (13) непрерывна по х на отрезке [1, 11, то сг (х) также непрерывна на [(, 11. Следовательно, существует конечный предел 1пп сг(х) = ср(1). х с (13) х-с Покажем, что ср (1) = О.
Допустим, что Чс (1) ~ О. Тогда на некотором отрезке [х,, 11 функция ср (х) не обращается в нуль. Так как Р„(1) =- 1, то существует отрезок [х,, 11, на котором сь (х) и Р„(х) не обращаются в нуль. Из (12) получаем а ( У (х) 1 чс(2) гсх (Ргг ОО 1 (с — х~) Р~ сх) Следовательно, для х, < х < 1 ) Р ( ) ~ У(хс) ( чс(х)ссх [Рк!хс) 3 (С вЂ”.2)Р ("1 Применяя к интегралу теорему о среднем значении, получим ~ У (хс), зс (аС Г сгх ~Рх(хс) ( ' Рс(е) 1 г х гдех,<а<х, или Поскольку при фиксированном х„а == а (х) < х, то при любом х из отрезка [х„, 11 функция сь (а (х)) 11 -С- а (х)! Р~ (а (х)1 не обращается в нуль.
Следовательно, согласно (14) функция у (х) неограничена в окрестности х ===: 1. Так как это противоречит условию о непрерывности у (х) на отрезке [ — 1, 11, то допущение, что сг (1) ~ О, неверно. Для сг (1) доказательство совершенно аналогично.
Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Из теоремы 3 непосредственно следует теорема 1. Т е о р е м а 4. Всякая функция 1' (х), непрерывная на отрезке [ — -1, 11 и ортогональная с весолс р (х) гн 1 на промежутке [ — 1, 11 вгелс лосогочленам Леокандра, тождественно равна нулсо, 1 (х): — О.
299 Доказательство. Пусть ~(х) хЕ( — 1, 1!, О, хФ[ — 1, 1). Напомним, что если функция Ф (х) интегрируема с квадратом на промежутке ( — оо, оо), то к ней применимо (т. е. для нее существует) преобразование Фурье *). )(у(т Очевидно, функция ~, (х) интегрируема с квадратом на промежутке ( — оо, оо).
Ее преобразование Фурье имеет вид Ю ( Р,(со) = ~(,(х)е-(" с(х= ~((х)е-(™с(х (15) Так как е — (™ — аналитическая всюду функция переменной ш, то и Р, (ш) аналитична всюду, поскольку интеграл (15) не является несобственным и производная от него по ш существует при любом ш.
Функцию Р„(ш) можно представить степенным рядом, сходящимся к ней всюду: Р(а)(0) Р((ш)=Е((0) Г шР((0)+ ° ° ° +сов 1 + Все коэффициенты этого ряда равны нулю. В самом деле, ( ( ! а Рг~(а(=( — ( 1~(( (а =( — ~( )(( ((ь',Р,( ()ш = — а, -1 а=о так как по условию теоремы ! (х) ортогональна всем многочле- нам Лежандра. Мы здесь использовали также свойство 1 (9!) многочленов Лежандра. Таким образом, г", (ш) э— з О. Применяя обратное преобразование Фурье к функции г", (ш), получим ~, (х).
Таким образом, ~,(х) = 1 ~ Е,(ш)е'" ((ш = О. Следовательно, и 1 (х) =. О. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть (7„(х)) (и = О, 1, 2, ...) — семейство функций, определенных на промежутке (а, Ь) и попарно ортогональных на (а, 5) с весом р (х). Если для всякой функции 7" (х), принадлежащей семейству В, из ортогональности ! (х) (с весом р (х)) всем функциям семейства (1"„(х)) следует, что ! (х) э— а О, то говорят, что семейство (7„(х)) замкнуто относительно семейства В. Теорема 4 устанавливает замкнутость семейства многочленов Лежандра относительно семейства всех непрерывных на ( — 1, 1) функций.
') См. С м и р и о в В. И. Курс высшей математики, т. 1!. — Мл Наука, 1967. '?. Многочлены Лежандра можно также рассматривать кйк собственные функции следующей краевой задачи; найти значения параметра Л и отвечающие им реп!ения уравнения — ((1 — х') у')+ Лу =-О, А) непрерывные и, следовательно, ограниченные на отрезке ( — 1, 1 !. Числа Л„= и (и + 1), где и — целые неотрицательные числа, являются собственными значениями этой задачи, а Р„(х)— отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями )Л„) и ]Р, (х)) все собственные значения и собственные функции вышеприведенной краевой задачи? Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно следует из теорем 3 и 4. Таким образом, совокупность многочленов Лежандра исчерпывает все непрерывные и ограниченные на отрезке ! — 1, 1! решения уравнения Лежандра (5,). 8. Для многочленов Лежандра справедливо также интегральное представление для значений х т ( — 1, 1): 2э Р,(х) = —, ] ]х -)- гу Т вЂ” х-ып~р] йф. (16) о Для получения его в формуле (3) настоящей главы в качестве контура С, возьмем окружность радиуса )?, )? == у 1 — х' ()х) (1), Ц 1- ..41 -йг-йг-йг-Р-йк -ех й4 ез 31 5 ю й? й' еэ й4 е~ йе 47 ег йг lе Рис.
44. с центром в точке г ==- х и произведем замену переменной в интеграле г == х + у'1 — х'еог; при этом йг=!1/1 — х' е"гор, гэ — 1 = хэ — 1 + (1 -- х') еэ'ь + 2х у 1 — х'е'ч = = у 1 — х'е'ч!2х+ у'1 — х'(еьг — е-'ч)] = = 2у' 1 — х'е'ч1х-1- !у 1 — х' гцп р]. 30! 1 г) — — ° — (йг яп 8) я О'иО Следовательно, г( 1 — (геп) — Л)= О, —. ° — (~!'япй) + Лф =-О. г)г ' яп 0 г)8 В последнем уравнении произведем замену переменной в = соз О. Получим урав- нение йз1р з Йр хз) 2"; — .1- гз! = О, которое при Л = и (и+ 1) имеет ограниченное на ! — 1, 11 решение в виде много- члена Лежандра Рч (С).
Прн таких значениях Л уравнение для ! (г) имеет ограниченное решение вида 1 (г) =- г". Решение исходной задачи ищем в виде и (г, 8) =- ~~ спгнРп (созе). ч.=-о (18) Коэффициенты сь определим из второго краевого условия, пользуясь свойством ортогональности многочленов Лежандра: 2п-1-1 г с„=.. ' [ и Я, 8) Р„(созО) яп Ог)8-- о а ! 2 2л+ 1 -1 о Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами (7) и (6) этой главы.
По,чучим оз — о1 2п+ 1 п 2 и пгг() 802 Н здстапляя,!шчеппя г зт, ге — 1 и г1а в формулу (3), получим Р„(х) = — —, ~ [х .,'- ! )' 1 — хв яп гр[" с[гр. о Н.! этой формулы непосредственно следует оценка [Рн(х)[(1 для х ~ ( — 1, 1). (17) На рис. 44 приведены графики многочленов Лежандра. Рассмотрим несколько примеров применения многочленов 7!сжандра (и их простейших свойств) для решения задач математической физики. 9. П р и м е р 1. Определить потенциал внутри полой сферы радиуса составленной из двух полусфер, изолированных друг от друга тонкой прокладкой и заряженных до потенциалов ог н г,. Математическая постановка задачи: требуется найти решение и (г, 8) уравнения ои = 0 в области 0 ~ г я, )7, удовлетворягощее краевым условиям ( оы 0(О.Сп)2, [и (О, 8) ! < оо, и (Р, 8) = [ [ ое, л)2(8(п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
