1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 50
Текст из файла (страница 50)
276 при больших положшпельных значениях перел!енной х имеегп ап!мптотическое представление вида у (х) = 51п(х+бю)+ О з ) ' ( х~~~ где А, и 6, — постоянные, зависящие, вообще говоря, от параметра т. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем в рассмотрение функцию у, (х) по формуле (69) Тогда у1 = А соз (х + 6). (70) Вычисляя производную у1 и подставляя ее в уравнение (б7) получим А' соз (х+ 6) — А (6' + 1, ) з1п (х + 6) = О, (7! ) где 1 у =т' — —. 4 ' Исключая из соотношений (69) и (71) А и А', получим 6'(х) = —,т з[п'(х+ 6), (?2) откуда ь 6(Ь) =6(х) — ) —, з1па[$+ 6($)[гЕ. (73) х При фиксированном х и при Ь вЂ” оо правая часть формулы (73) имеет предел; следовательно, и левая часть имеет предел !пп 6 (Ь) = 6,.
ь сю Таким образом, имеем Ю 6(х) =6,+ ) т, з[п'[я-[- 6Д)1~$. х Но ! О ~ 6тх з1пх(Е+ 6) г$ ([у[) —,= т =О( — ), х х поэтому 6 (х) = 6, + О [ — ) . 1 х ~ х)' 277 Поэтому при больших значениях х будем искать решение уравнения (67) в виде у, (х) == А (х) з[п [х + 6 (х)1, где А (х) и 6 (х) — искомые функции. Следует ожидать, что А (х) и 6 (х) будут медленно меняющи- мися функциями при больших значениях х (х ) 0), близкими к постоянным значениям. Поскольку искомых функций две, а связаны они лишь одним условием (требованием, чтобы А (х) з1п [х + 6 (х)! удовлетво- ряла уравнению (67)), мы можем подчинить их еще одному усло- вию.
Выберем это условие таким образом, чтобгя производная от у, (х) вычислялась так, как если бы А (х) и 6 (х) были постоян- ными. Поскольку у~ = А соз (х + 6) + Аб' соз (х + 6) + А ' з[и (х + 6), то полагаем Аб' сов (х + 6) + А' з[п (х + 6) = О. 1!з соотношений (69) и (72) находим (1 и Л)' = — = —, з!п 2 (х -1 6), А' т и, следовательно, Ь !пА(6)=!пЛ(х) )- 2 ~ '" ь,+ с(з.
к Г1овторяя рассуждения, проведенные для 6 (х) и 6 (Ь), приходим к заключению, что существует предел 1!ш 1п Л (6) = 1п А, 1п А (х) = 1п А,:,— О ( — ) . 4 (х) = Л2 '(1 ~ 0 ( ~ )1 ° Следовательно, Поэтому у,(х)=А, ~1+ О ( — )! з!п ~х+6, +0( — )~ = 1 2 = А2 81п (х 4 62) 1- 0 ( —,. ) у (х) = =" з!и (х + 6,) + 0 1 —" ух 2М2 ) ' где Вь (г)= — ) е-"8!"!"'еда, ! 2 ч с1 н Вз (г) = — ~ е-""" ~"'" Я, 1 2,~ с, „ о (2) — ) е-гг ш ьн22,!ьь ! У 278 Таким образом, достаточно простой анализ уравнения (2) позволил нам получить представление о характере поведения вещественных цилиндрических функций у,(х) при больших положительных значениях переменной х. Но при этом мы не смогли определить числа А, и 6,.
Очевидно, полученный результат справедлив для функций Бесселя У,(х) и функций Неймана 7У, (х). Но он неприменим к функциям Ганкеля. 4. Обратимся к рассмотрению функций Ганкеля. Для определенности все' рассуждения и выкладки будем проводить для функции НХ(г).
Поставим задачу получить асимптотическое представление для Н',"(г) при больших положительных значениях переменной г. Будем полагать, что ч — фиксированное число и г'2 ( т). Согласно формуле (40) Н,"'(г) можно записать в виде Н2 (з) = В ь ч (з) + В2, 2 (е) + В2 (з) (74) )В,,(г)] ~ 0 ( — ). (75) На Сь,,а ==: !]1, р < О, и з!и $ -: ! з11 ]3.
Поэтому В, (г)= — ' " ег~" а-тад!)= — ' Ге-"ьР"ад!), и з Следовательно ] В,,(г) ) < — ~ е-и ы-'! ф о Таким образом, при г — + оо )Вь,(г)) (О(1'г). 5. Для оценки В, (г) при г — + оо нам потребуются две леммы. Л е м м а 1. Если в интеграле Е (г) = ) еы! !инр Я) с(а (76) функции !" (з) и сг (з)!~' Я) и,веют непрерывные на впгрезке !и„(1 ] производные и 7"' ($) не обраи!ается в нуль на Ь, ]1 ], то при г— — ~-+ оо Р (г) = 0 (11г).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, Р(г)= —,, ~ — ',,1 — „(е' ~!]д~= а ,' )„'~~'.цн "— ].ив в (~~~] Л)= о( — '), и Здесь Сь „— нижняя часть контура интегриоования С, в формуле (40), Сь, — верхняя часть контура С,. В интеграле В, (г) интегрирование производится по отрезку ! — и, О] вещественной оси. Легко получить оценки интегралов В1, (г) и Вг.ч (г) при больших положительных значениях г. В самом деле, на Сь,$ —: — — и + !]1, О ( ]1 < оо и з(п $ == — ! з)т р. Следовательно, В, (г) = — е-" ) ем' '" а+тй др.
и о Так как г )~ ) т) и зп ]1 ~ р, то ]В (г)] ( — )е 'ъп] ~ е-вилюс(!) = — ]е-ыо] ! .„г — 'но о Таким образом, при г — + оо так как последний интеграл и результат подстановки чисел а и () в проинтегрированную часть ограничены по модулю кон- стантами, не зависящими от г. Л е м м а 2. Пусть функции 1" ($) и Ч~ ($) аполитичны всюду, а 7 (ч) вещественна при вещественных значениях переменной $ и монотонно убывает на отрезке Ы) ), ~' ($) ~ 0 при $ Ф а, ~' (а) = 0 и 1'а (а) ( О.
Тогда при е — + оо 1 л зе) а ~ Ч(а)е ' +0( — ), (77) Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, и+е а р(г) = ~ еоу й)~~ д) с$+ ~ еы~ Фгр ($) с$. Я сН-е Второй интеграл по лемме 1 есть О (1(г) при люоом е ) О. В даль- нейшем будем считать, что е — малое число. Рассмотрим ин- теграл Р, (г) = ~ е ы цсбр Д) д$ а Произведем в нем замену переменной интегрирования по формуле и = т 7(а) — )($), беря арифметическое значение квадратного корня. Точка ~ — а перейдет при этом в точку и = О. Соотношение ) (В) =- 7 (а) — и' можно разрешить относительно в.
Так как функция 7' ($) аналитична в окрестности ~ь - — — а, то $ =- $ (и) — аналитическая функция в окрестности и ==- 0 и $ (0) = — а. Произведя указанную -замену, получим р, (г) = е" ~ сн ~ е-и'оц д (и)] — Ни, Ни где и, =-= 1Г) (а) - — 1 (а + е). В силу аналитичности функции к Д) и произвольной малости числа е можно считать, что функция ~р (и) =- ср 1$ (и) ) аналитична в круге ) и ( ( и,. Из соотношения ие == 7 (а) - — 7 (ц) находим 2 ( — „) + 2и д, —— — — 7" ($). (78) Так как и (а) =- О, то из (78) получаем 2 ( — ) = — 7""(а).
Отсюда гзо (80) Второй интеграл равен ю ! — — ( Оо (и) д (е-'*"') = о и, и, ,' ( и"е,!,! — ) а,'!,! *"'Ш ) = О ( — '), о о (81) так как последний интеграл и результат подстановки чисел 0 и и, в проинтегрированную часть ограничены по модулю константами, не зависящими от г. Далее, и, кои, ~ е-""'г(и== ~ е-а'ф== ) е-а'г!() — ) е-а'и)!, или й -'"'г!и= ! ('2 + О( ! )), о так как ) е-а'г(() = О ( — ). Таким образом, ий П ~ е-!""г(и = — ~/ — "е ' + 0( — ).
(82) о Заменяя интегралы в формуле (80) их значениями (8!) и (82), получим формулу (77). Лемма доказана. В силу аналитичности функции с (и) в окрестности и -- 0 ее производную — можно представить в виде и$ ои — = у . +иО (и), сто о l 2 и — У -7.(а) где О, (и) аналитична в области ) и ) ~ и,. В силу аналитичности функции ф (и) в круге ) и) ~ и, ее можно представить в виде ф (и) =- гр Ц (и) ) = гр (а) + иО, (и), где Оо (и) аналитична в круге ) и) ( и,. Следовательно, гр Я (и)) — „=- <р (а) у „!- иО, (и), (79) где О, (и) аналитична в круге ) и ) ~ и,.
Пользуясь формулой (79), получаем о ю г" (г) =гр (а) ~~~ „еои!о! Г е-!"и!!и+е' ! (и! ( ие-'ги'О (и) Ви о о 6. Обратимся к оценке интеграла В„(г): о л В (г) = — ~ Е Сс п~пгснль С(~ ~ ЕОсп~пг-сле Я Функцию В, (г) можно представить в виде В, (г) — А,„(г) + А.„(г), где А~~(г)= — (~ ) е ' ' +0( — ) Таким образом, Вс(г)== ~/ — е ~ ' '~+О( —,) Из формул (74), (75), (76) и (83) получаем л л 1 Совершенно аналогично устанавливается формула Н121(г)= ~/ — е ~ ' ~ -,'.
02( — ). (85) Используя соотношения (48) и (52), получаем для больших положительных значений г ул(.)== )/ — 'с з (.—.—;" — — ",)+ —,' ~О,( — ')+02( — ')~ (86) (83) йл(г) ' 1/ 21п(г т ' - 4 ) ) —, ~02( — ) "— 02( — )). (87) 282 (г) ~ ЕСс п~п г — Опа С(2 4 ( ) — ~ Еос п~п $ — ось С($ 1 с 1 съ о л 2 В интеграле Асы (г) Г Д) = з1п а, а = и,'2, 12 = — я, со ($) = е — "г и все условия леммы 2 выполнены. Согласно этой лемме А.„.(г)= — ( — ') е е -г 0( — ). В интеграле А„(г) сделаем замену переменной интегрирования по формуле $ = — — г.
Г1олучим 2 л12 л 1 ОЛ вЂ” сс— А () ~ есссоп)е с(Г о Для этого интеграла х ==- О, () =:- — ', 7 (1) == соз 1, со (1)'== еп' и все условия леммы 2 также выполнены. Согласно этой лемме 2 '(з т — — ) ( — ) з т /т (г) = )т — соз (г — у — — ) -1- О (г /, з1 .з l 2 Ут(г) = ~У вЂ” з1п ~г — м —" — — ") + О (г ' У, (88) (89) Так как функция е* не имеет нулей, то асимптотнческие пред. ставления для функций Гаккеля можно записать в виде Н',п(г) ~уу — е ( ' ) Г1+О( — ')~, (90) Н„'"(г)= ~l — „, е ( вУ ~! +О ( —,)).
(91) 7. Из асимптотических представлений непосредственно следует теорема 3 $ 4, а также утверждение: расстояние между двумя соседними нулями функций Бесселя 7, (г) (а также функций Неймана) стремится к и с неограниченным ростом абсолютных величин нулей. На рис. 40 приводятся графики функций Бесселя, а на рис.
41— графики функций Неймана. Если воспользоваться формулами (58) и (59) (9 6), то легко получить следующие асимптотические *) См. Л е б е д е в Н. Н. Специальные функции и их приложения, изд. 2-е. — З1.: 4зизматгиз, 1953, 263 3 а м е ч а н и е. Формулы (84) — (87) справедливы для всех комплексных значений гтаких, что 1г ('зт ! т ! и) агаг ! ( и — 8 *), где 6 — произвольное малое положительное число. Но в п. 3 мы установили, что асимптотика функций Бесселя и Неймана прн г — + оо имеет вид = з1п (г + 6,) - ~'- О ( —, 1'? зп / при соответствующих значениях постоянных А, и 6, для з', (г) и Х, (г). Отсюда и из формул (86) и (87), используя единственность асимптотического представления, находим, что добавочные чл ены О, (!Уг) и Оз (1:г) в формулах (84) и (85) убывают при г — Р оо, как О (г-ч*).
Таким образом, при г — + оо справедливы следующие асимпто- тнческие представления: определяется главным образом тем участком Сп контура интегрирования С, на котором ~ нхч бм ! =- е'"' ч пп велик по сравнению со значениями этого модуля на остальной части контура С. При этом интеграл по участку Сц оценивается тем легче, чем меньше этот учасгок и чем круче падает величина х це гр (З). При применении метода перевала стараются деформировать путь интегрирования С в наиболее выгодный, в указанном выше смысле, контур С. По теореме Коши такая деформация, если она не выводит за пределы области аналитичности функций гр (й) н ф ($) и области существования интеграла, не меняет значения интеграла.
В )силу аналитичности функции гр (5) =- и (а, р) + + го (а, р), ", =- а + гр, направление наибыстрейшего изменения функции и (а, )з)'"'совпадает с направлением линии о (а, )з) -= ==- сопз(. Контур Си должен содержать точку йе = а, + (()о, в которой и (а, )з) достигает наибольшего значения (среди значений этой функции на С). Нетрудно показать, что гр' (ь„) — О. Действительно, производная от и (а, р) вдоль линии С, взятая(в точке"зе, равна нулю, ди — -:: О, так как в точке йе функция и (сс, ()) достигает дз максимального значения (вдоль С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
