1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда и 1,(а) = О. Доказательство теоремы. Пусть а=ге(о есть нуль функции Бесселя 1, (г), По лемме а = ге-ио также является нулем этой функции. Тогда по свойству ортогональности имеем или 0 = ) х1, ( — хеоо) 1, ( г хе ио) ах = о = ~х ( — ";) ~А',[ — ', х, ф)+Р,( —,х, ор)~ йх. (30) о йб!' Мы воспользовались при этом формулами (29). Однако подынтегральная функция в последнем интеграле непрерывна и не равна тождественно нулю. Следовательно, и интеграл не может быть равен нулю. Таким образом, предположение о существовании комплексных корней у функции Бесселя приводит к противоречию.
Т е о р е м а 3. Всякая цилиндрическая функция у,(г), принимающая вещественные значения на вещественной оси, имеет бесконечное множество нулей. Доказательство этой теоремы будет дано позже, в 5 7, п. 7. С л е д с т в и е. У всякой функции Бесселя /, (г) и функции Пеймана М, (г) с вещественными индексами» имеется бесконечное множество нулей. $3. На основании доказанных теорем положительные корни уравнения l, (а) =- О (где» вЂ” вещественное число) можно перенумеровать в порядке их роста натуральными числами; сц « «, ...< ы„, < и„„1 <...
Очевидно, эти корни являются функциями индекса», т. е. а — - а», (»). Т е о р е м а 4. Пули функций 7» (г), 7; (г) и ц~, (г) =-- =- гй; (г) + й), (г) с положительным индексом» растут с ро- стом». Проведем подробное доказательство для функции 7„(г). Для доказательства теоремы достаточно установить, что ~еп )О в» Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого фиксированного т имеем 7,[ы„(»)) ев О. (31) Дифференцируя вто тождество по ч и опуская для упрощения записи индекс т, получим ,7»'(г) ~ — „+-~-7»(г) ~ вв О. (32) Штрихом мы будем обозначать производную по г, Далее, из фор- мулы (17) находим г7;(г) — Ы,(г) = — гl,+~ (г), откуда, с учетом тождества (31), получаем 7» (г) [»=и = — »»-~-! (ы).
(33) Первое из тождеств — [г3; (г) [ + (г — — ) У, (г) = — О, — [ъl; (г) [ + (г — — ) 7, (г) =:- О 262 умножаем на У (г), второе на а', (г) и результаты вычитаем один нз другого. Получим [г [аа (г) ат (г) — а( (г) за (г)1[ — = ат (г) аа (г) ° Следовательно, к , [за (х) гт (х) — гт (х) за (х)] =: ) йг, (34) е так как для т и о > 0 выражение г [У; (г) а, (г) — а; (г) а, (г)1 о равно нулю при г = О.
При и = и левая часть в (34) имеет вид —. о ' Вычисляя ее при о = т по правилу Лопиталя, получим (35) о Полагая здесь х = а (и), получим е д Выражая — а', (г) ~ через У;. (сх) и и' из тождества (32) и исключая затем а", (а) с помощью (33), получим да 2т г а (г) — с[г > О. дт и/з (и) 3 а т+ Теорема доказана. Для функций а'т (г) и тр, (г) доказательство проводится аналогично, но при этом надо тождество (31) заменить соответственно тождествами а'~([)(ч)) ы 0 и у(т) а';(у(ч))+АУ,(у(т)) == О, Здесь 5 (и) — нуль функции а'; (г), у (и) -- нуль функции ср„(г), 4.
Т е о р е и а 5. Функа(ии а', (г) и а', н (г) не имеют общих нулей, кроме, может быть, г == О. Справедливость теоремы легко установить, пользуясь формулами (17) '). Нетрудно также показать, что нули функций У, (г) и г',)1 (г) разделяют друг друга. 5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя и ряда их свойств к решению краевых задач. П р и м е р.
Решить задачу об остывании однородного бесконечного круглого стержня радиуса )с, на поверхности которого все время поддерживается нулевая температура. Начальная температура внутренних точек стержня задана и равна <~ (г). *) С)итателю рекомендуется ато сделать самостоятельно. 263 3 а м е ч а н и е. Для приближенного решения зада~и достаточно ограничиться несколькими первыми членамн ряда, например: и2 нг р, и р, находим в таблицах значений а'з (х): рт = 2,4048, р, = 8,8201.
6. Приведем без доказательства некоторые теоремы о раз- ложении функций в ряды Фурье по функциям Бесселя. Эти тео- ремы уточняют общую теорему Стеклова (гл. 1Ч, 2 2) о разложе- нии функции в ряд Фурье по собственным функциям для частного случая, когда собственными функциями являются функции Бес- селя. Предварительно напомним одно определение. Функция 1" (х) называется абсолютно интегрируемой на прол межутке (а, Ь), если интеграл ~ )7" (х) ) йх имеет конечное значение.
а Т е о р е м а 6. Если функция 1" (х) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на !О, 1), то ее ряд Фурье по функциям Бесселя У, ( ~ " х) (о» вЂ” 0,5) "сходится к — з() (х + О) + ) (х — 0) ) в каждой точке х ~ (О, 1). Для х = 1 он сходится к 7 (1 — 0). При т ) 0 для х = 0 он сходится к нулю. ' Т е о р е м а 7. Пусть функция 1" (х) обладает свойствами: а) абсолютно интегрируема на промежутке (О, 1); б) непрерывна на отрезке (а, Ь) (О «а < Ь «1); в) имеет абсолютно интегри- руелсую на (а, Ь) производную. Тогда ряд Фурье этой функции по функциям Бесселя г', ( ~" х) (т» — 0,5) сходится равномерно к 7" (х) на всяком отрезке (а + 6, Ь вЂ” 6 ], где 0 < 6 < (Ь вЂ” а)/2. Если Ь = 1 и 7 (1) = О, то сходимость будет равномерной на вся- ком отрезке (а + 6, Здесь р„— положительные корни уравнения э', (г) = — О.
3 а м е ч а н и е. Утверждения теорем 6 и 7 справедливы также в случаях, когда рч — положительные корни уравнения г7т (г) ~ Й(т (г) = О, если дополнительно потребовать, чтобы т = — — Ь, а в теореме 7 опустить условие 7' (1) =- О. Т е о р е м а 8. Если ~ (х) непрерывна и дважды дифференцируема на отрезке (О, 1) и 1 (0) =- )' (0) = О, ат()' (1) + а,) (1) = О, то ее ряд Фурье по функциям Бесселя У, ( — '" х) порядка о» 0 сходится равномерно к 1' (х) на отрезке (О, 11. Здесь р„ — положительные корни уравнения тх~га,,(г) ~с гса/т(г) = — О, $ 5.
Функции Ганкеля 1. Третий класс цилиндрических функций мы построим следующим образом. Будем искать решение уравнения (1) в виде контурного интеграла ц! (а) = ~ К (з, 1) 0 ($) Д, с (36) где К (г, $) — некоторая заданная функция, а о (я) — неизвестная функция. Подставляя эту функцию и! (г) в левую часть уравнения (!), получим В[ш[= ~ [г'К,'-гк, [-геК-- Рк) пД)!(к. с Мы полагаем при этом, что контур С и функция К (г, $) выбраны так, что все проделанные выше операции были выполнимы.
Если в качестве К (г, $) выбрать решение уравнения г'К„+ аК. + г'К + К = О, (38) то Л [!в) можно записать в следующем виде: В [ш) = — ) (ч2К + К11) о ($) Щ = с = — ~ К [ + 'о) г(6 -'; !'Кп — КГа) с Эта формула получена путем двукратного интегрирования по частям второго слагаемого; Л и  — концы контура интегрирования. ! Возьмем в качестве К (г, $) функцию — е — '"""1, а в качестве о (6) — решение уравнения о" + т'о = О, например е"1.
Контур С выберем так, чтобы все упомянутые выше операции были законными и чтобы выражение Ко' — К1е на концах контура С, т. е. в точках Л и В, обращалось в нуль. Тогда называеъьые фу!нк!(пхьпи Гинкелл, 266 !е (г) = — ) е — ' ""1 ' "!се. (39) с 2. Принимая за С контуры С, и С, (рис. 38), мы получим две цилиндрические функции: О! ! (а) ) а — !* 8!ив+ ы1Я~ Ц(~! (а) ) е — м мп 1+ !У1Д (40) Выкладки, приведшие нас к определению функций Ганкеля, носили формальный характер. Поэтому нам надо показать, что функции Нг" (г) и Ны'(г), определенные формулами (40), действительно являются решениями уравнения (1), т.
е. имеют производные первого и второго порядка, и что при подстановке функций Н',ы(г) и Н',"(г) в уравнение (1) дифференцирование (первого и второго порядка) можно производить под знаком интеграла. Надо доказать также, что при указанном выборе контуров С, и С, выражение Ки' — Кьо обращается в нуль на концах этих контуров. С, с: Докажем ряд свойств функций Ган- Ю келя.
-га тс сс С в о й с т в о 1. Функции Ганкеля определены и непрерывны в области )гег >О. Для доказательства этого доста- Рис. 38. точно *) установить равномерную сходимость интегралов, определяющих функции Ганкеля, в области Т1о = — Ке г ) 6 > О, где 6 — любое положительное число. Рассмотрим для определенности функцию Н',о(е). На верхней части контура С, ~:= — и + 1() ((3 > 0), зйп ~ = — ! з)г (3.
На нижней части контура С, 9 = г() (р < 0), з!и 9 == ! з)т (). Следовательно, на этих частях контура С, функции е — о 'ьа — 'В ь "о и ео *ь 6 — 6' соответственно будут мажорантными для модуля подынтегральпой функции (т = з + !а). Вместе с тем интегралы от о этих функций ~ е — о'"а — '6+над(з и ~ ео'" 6 — мз с(р сходятся. о Следовательно, исходный интеграл по контуру С, равномерно сходится в области Ке г ) 6 > О. Ана.логично устанавливается равномерная сходимость интегралов Ксо с(1 ~ Каго с(с ч~ Кы пг(сь (р 1 2)' с с„с„ 3 а м е ч а н и е 1.
При всяком фиксированном значении г из области 0аНы'(е) и Н,'"(г) суть функции переменной т. Функции е — ага вьв".гнч и елаьв — 6 будут мажорантными для подынтегральной функции в (40) соответственно на верхней и нижней части контура С„если т принадлежит замкнутой области б„:— :— (Гсе т ~ т). Так как интегралы по верхней и нижней частям контура С, от указанных мажорантных функций сходятся, то ') См.
Ф и х тон гол ь и Г. М. Основы математического анализа, т. 1!, гл. ХЛ11, изл, 5-е. — Мс Наука, 1968. 267 интеграл, определяющий Н,"'(г), равномерно (относительно т е ~ б ) сходится в 6„,. Отсюда следует непрерывность Н,"' (г) по т всюду. То же верно и для Н)то(г). Таким образом, функции Ганкеля являются непрерывными всюду функциями индекса С в о й с т в о 2. Функции Ганкеля аналитичны в области Кег >О. Для доказательства этого заметим, что интеграл ) Н„'" (г) г(г, с взятый по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру лежащему в области Ке г ) 6 > О, равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
