1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 43
Текст из файла (страница 43)
П., Арсении В. Я. Л1етоды регпеннн некорректных задач, 2-е изд. — Ы.: Наука, !979. е')Тихонов Л. П., Арсении В. Я., Думова А. Л., Митрофанов В. Ь., Пергамент А. Х., Пергамент М. И. Омногоделевой проблемно-ориентированной системе обработки реву.чьтатов зкспери. ментов. — Препринт № 142 за 1976 г.
ИПМ ЛН СССР. 232 3. Обычно выходные данные экспериментов являются приближенными (й). Пусть б — оценка уклонения й от точного аначеиия и. Таким образом, мы имеем комплекс (А, й, б), который будем записывать условно также в виде А( =- й. (16) Условно, потому что уравнение (!6) может не иметь решения в заданном классе Р. Очевидно, по (А, й, 6) мы можем найти лишь приближения к искомым характеристикам г (таким, что Лг = й).
Мы будем выражать это также словами; найти приближенное решение уравнения (!6). В большинстве случаев эта задача является некорректно поставленной. Остановимся подробнее на этой задаче. Пусть ~ — искомые характеристки, Аг = й — теоретическое значение их проявлений в эксперименте. Полагаем, что й и й являются элементами метрического пространства (г' с метрикой ро (,) и ро (й, й) ( 6, Пусть Р— выбранный нами класс возможных решений (моделей интерпретации), являющийся множеством метрического пространства Р, (Р с: Р,) с метрикой р (, ). Будем называть модель ) из Р сопоставимой с экспериментальными данными й (выходными данными эксперимента) '), если ро (Л(, й) ( 6.
Пусть Рь — совокупность всех моделей из Р, сопоставимых с экспериментальными данными й. Если множество Р, пусто, то это означает, что модели из Р имеют слишком грубую (упрощенную) структуру и потому в классе Р нет сопоставимых с й моделей. В этом случае надо рассматривать более широкий класс моделей интерпретации. Если Р непусто, то оно может содержать существенно отличающиеся (в метрике р (, )) друг от друга модели ) (например, функции г), если задача решения уравнения А( = и неустойчива.
В таких случаях одно лишь требование сопоставимости возможных решений с экспериментальными данными не может служить критерием нахождения фггзически интерпретируемого приближенного решения уравнения Аг = й, так как у нас нет достаточных оснований для выбора в качестве решения задачи той или иной сопоставимой с экспериментальными данными модели. Получаемое таким образом «решение» может быть неустойчивым к исходным данным. Отметим, что на условии сопоставимости основан известный метод подбора приближенных решений. 4.
Для получения приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, необходимо использовать некоторый принцип отбора сопоставимых с экспериментальными данными, й возможных решений (моделей) г. Такой отбор может быть произведен, например, по принципу выбора модели минимальной сложности «). Понятие сложности модели ~ может быть формализовано, например, с помощью некоторого функ»(ггонала ') С«г. сноску на сгр. 232, 233 (рис. 32 и 33).
Й так далее. Задача математической части интерпретации в рамках таких классов моделей состоит в нахождении чисел п„РР сопоставимых с экспериментальными данными й. Конечно, возможны и иные модели. 6. Целесообразность решения задачи математической части интерпретации в рамках того или иного класса моделей Кр определяется требованием к детальности наших знаний о количественных характеристиках изучаемого объекта. Так, если нас Яг Яг Яе Рис. 33. Рис. 32, Рис.
31. интересует лишь средняя плотность электронов плазменного образования и его радиус, то в качестве класса моделей интерпретации естественно".брать класс К, моделей вида, изображенного на рис. 31. Если нас интересует вопрос о том, образуется ли вблизи оси симметрии плазменного образования область разрежения электронов, то естественно брать в качестве классов моделей модели, в которых п (г) имеет, например, вид, изображенный на рис. 32 или 33, и т. п. Возможность решения задачи математической части интерпретации экспериментальных данных в рамках выбранного класса Кр моделей определлетсл УРовнем погРешности РезУльтатов наблюдений й. 7.
Одним из основных этапов решения математической части задачи интерпретации является определение рационального класса моделей объекта, т. е, типичной функциональной структуры количественных характеристик объекта, надежно определяемых при данном уровне погрешности результатов наблюдений и содержащих достаточно большую информацию об объекте.
Если мы определили цепочку расширяющихся классов моделей (18), то, следуя желанию искать решение задачи среди простейших моделей, надо, прежде всего, найти класс с наименьшим номером Р, (минимальный класс), в котором есть модели, сопоставимые с данными эксперимента й (см. сноску на стр. 232).
8. Математические части задач интерпретации результатов физических экспериментов решались и до появления современного мощного аппарата решения некорректно поставленных задач. В ряде случаев при этом получались хорошие результаты. Дело в том, что если математическую часть задачи интерпретации решать в классе Кр моделей, определяемых конечным числом т числовых параметров, то поиск искомой модели (т.
е. т чисел) 235 можно производить в ограниченной области т-мерного евклидова пространства. В этом случае обратная задача вида (16) становится устойчивой и-ее обобщенное приближенное решение можно найти хорошо известным методом наименьших квадратов (МНК). На этом пути и были получены хорошие результаты. Однако с совершенствованием техники эксперимента (и измерительной техники) повышается и точность экспериментальных данных (т. е.
уменьшается 6 в рассматриваемом здесь классе задач). Это приводит к тому, что модели, определяемые малым числом параметров, могут стать слишком грубыми, несопоставимыми с экспериментальными данными й и возникает необходимость использовать модели, определяемые ббльшим числом параметров *). Но с увеличением числа параметров задача нахождения приближенного решения (обобщенного) уравнения (16) методом наименьших квадратов может стать плохо обусловленной, т. е.
практически неустойчивой, и потому требуется использовать для решения таких задач методы регуляризации. Таким образом, совершенствование практики эксперимента приводит к необходимостпи использования методов регуляризации при математической обработке результатов наблюдений и, следовательно, при разработке Систем автоматизированной математической обработки результатов наблюдений, т. е. алгоритмов обработки и реализующего их на ЭВМ программного комплекса.
9. Пусть мы имеем Систему автоматизированной математической обработки экспериментальных данных (САМОЭД), содержащей также модуль, позволяющий вычислять А1" для каждой модели 1 Е Р, и с ее помощью нашли приближенное решение 1 уравнения (16). Очевидно, необходима оценка уклонения 1« от точного значения характеристик ).
Такую оценку можно получить с помощью САМОЭД путем проведения квазиреального вычислительного эксперимента, состоящего в следующем **). По типичным характеристикам (моделям) 1 изучаемого объекта вычисляются точные (теоретические) выходные данные «модельного эксперимента», т. е. значения и = Аг. В них вносится случайная погрешность типичного для рассматриваемых экспериментов уровня и полученные результаты й ов подвергаются математической обработке с помощью используемой САМОЭД.
И такая процедура производится несколько раз с различными реализациями случайной погрешности. Таким способом получаем «коридор ошибок», а тем самым и результат обработки с оценкой его погрешности. Такого рода квазиреальный эксперимент, очевидно, позволяет также оценить допустимый уровень погрешности экспериментальных данных й при заданных требованиях к точности определения количественных характеристик 1». Таким образом, САМОЭД позволяет: а) прогнозировать результаты эксперимента путем вычисления А1' по типичным 1"; б) оценивать путем прове- '1 См.
сноску на стр. 234. ") См, сноску на стр. 232. 236 кения квазпреального вычислительного эксперимента допустимый уровень погрешности экспериментальных данных прп заданных требованиях к точности определения количественных характеристик Гь объекта, а тем самым сформулировать требования к измерительным приборам, используемым в эксперименте; в) путем проведения квазиреального вычислительного эксперимента выбрать обычно имеющиеся управляющие параметры экспериментальной установки так, чтобы получать максимальное разрешение (т. е. максимальную информацию) прп математической обработке экспериментальных данных й. Следовательно, такого рода Системгя имеют многоцелевой харакпыр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
