1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Для такого уравнения можно найти все с. з. и с. ф. Будем искать решение в виде )р (х) = е"". Подставляя эту функцию в уравнение (27), получим х е"х= Л ~ Н(х — з)е~~гЬ+ Л ~ Н(з — х)е"')(з, х или, после замены переменной интегрирования (х — з = г в первом интеграле и з — х = г во втором), еит 1 ~ Н (г) ее)х — г) )(г + )' ~ Н (г) еи(х+г) Цг о о откуда 1 =-2Л ~Н(г) сй игг(г, а Таким образом, при Л вЂ” 1 Л=-Л(и) =-(2~ Н(г)с!)игй(г) о (28) -к Л(0) = 2 ~ Н (г) г(г до значения Л(А) =-О. Таким образом, каждому значению о 218 функция ср (х) =-. еих, где и < Л, будет решением уравнения (27), т.
е. его собственной функцией, отвечающей собственному значению Л =- Л (и). Аналогично находим, что для и < Л функция е и" также будет собственной функцией уравнения (27), отвечающей тому же собственному значению Л .=- = Л (и) = Л ( — и). Поскольку с!) иг монотонно возрастает по и, то Л (и), определяемое формулой (28), монотонно и непрерывно убывает в интервале Ожй и < А от значения Л б [О, Л (0)) соответствует вполне определенное значение а (а > 0), определя емое из формулы (28), а следовательно, и решение уравнения (27), равное Степ» + Сее где Ст и С, — произвольные постоянные. Собственному значению Л (0) отвечает решение е໠— а» ф(х) =.1пп =.х, а»о 2а в чсм легко убедиться и непосредственной подстановкой.
7" Л-! Если Л > 2 ) Н (г) Ег, то надо искать решение в виде е™. Тогда подстав нонкой этих функций в уравнение (27) находим, что значениям Л = Л (1[)) = = Л ( — (Р), где Л (1[)) =- л ( — 18) = 1 ) 1 2) Н(г) созагиг 2 ~ Н(г) бг о о отвечают вещественные решения уравнения (27) соз Рх и Мп [)х. Таким образом, спсктр уравнения (27) сплошной: все неотрицательные Л являются его собственпымп значениями.
Так, если взять уравнение ф(х) — Л ~ е 1" '! ф(з) ан (29) Глава ХН О МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Б 1. Обратные задачи и их особенности Широкпм классом задач, возникающих в физике, технике и других отраслях знаний, являются обратнеге задачи математической физики.
Они состоят в определении количественных характеристик 7 изучаемого объекта (явления) по результатам измерения в экспериментах их косвенных проявлений А7 = и. ») М и х л и и С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некого. рым проблемам механики, математической физики и техники, — Мп Гостехиздат, !949; М у с х е л и ш в и л и Н. И. Сингулярные интегральные уравнении. — Мп Наука, !988.
215 то здесь Н (г) — — е ', Л (а) =- 0,5 (1 — и'), Л (0) =- 0,5 и А = 1. Следовательно, для Л б (О; 0,5) решениями уравнения (29) будут функции еет ' з~", для Л = 0,5 — функция гр (х) = х, а для Л> 0,5 — функции соз ()/2), — 1х) и Мп ()/2Л вЂ” 1х), так как Л (([1) = 0,5 (! + [)'). Мы не рассматривали здесь с и н г у л я р н ы е интегральные уравнения, имеющие многочисленные приложения. Читателя, интересующегося такими уравнениями, отсылаем к специальной литературе *).
Во многих случаях задачей эксперимента является изучение количественных характеристик 7' изучаемого объекта (явления). Элемент 7 может быть, например, вектором, функцией, системой функций (т, е, функциональным вектором). Пусть интересующий нас элемент 7, принадлежит классу (множеству) тч (), ~ г). Часто 7, недоступен для прямого измерения и измеряется некоторое его проявление А), = ию П р и м е р 1. При передаче по коаксиальноыу кабелю радиоимпульсного сигнала 7 (т), зависящего от времени г, мы наблюдаем на выходе из кабеля сигнал и (1), связанный с 7 (0 соотношением Аг" и ) й (à — т) 7' (т) с1 г =..
и (Г), о где й (Г) — известная импульсная функция, Гг (С) = т) (() — ехр ( — ), () — константа, характеризующая тип и длину кабеля, Ч (Г) — единичная функция. Если () = 3,05 и на входе радиоимпульс имеет рму, изображенную на рнс. 29, то на выходе он будет иметь форму и (1), изображенную на рис. 30. П р и м е р 2. Рассмотрим задачу ГВ спектроскопии. Пусть интересующее вас излучение неоднородно по энергиям и 03 распределение плотности энергии по спектру характеризуется функцией 7 (з), где з — частота (или энергия). Пропусная это излучение через измерительную аппаратуру, получим эксперимен- /,Б тальный спектр и (х), где к может быть частотой, а может также выражаться лБ ср ББ а Рис. 30.
Рис. 29. в терминах напряжения или силы тока в измерительной аппаратуре. Если измерительная аппаратура лииейиа, то связь между 7 (з) н и (х) дается формулой ь А( щ ~ й (х, 5) / (3) лз = и (х). а где й (х, з) — аппаратурная функция. Оператор А определяется природой изучаемого явления и характером экспериментальной установки, к которой мы можем относить и измерительную аппаратуру.
Через Аг обозначим образ множества г" при отображении его с помощью оператора А, 2!7 т. е. совокупность всек элементов А(, когда в качестве 1 беретсй любой элемент нз Р. Очевидно, и, Р АР. По результатам измерения элемента и, надо определить интересующие исследователя количественные характеристики 1,. Для этого надо решить уравнение А)', = и, относительно 1,. Очевидно, что уравнение А) = — и имеет решение, принадлежащее множеству Р, только для таких элементов и, которые принадлежат множеству АР.
Элемент и, обычно получается путем измерений и потому известен нам приближенно. Пусть й — это приближенное значение. В этих случаях речь может идти лишь о нахождении некоторого приближения к искомому элементу 1,. Мы будем выражать это словами: найти приближенное решение уравнения А1 =-- й. Прн этом элемент й, вообще говоря, не принадлежит множе. ству АР. Следовательно, точного решения уравнения (1), понимаемого в обычном смысле, вообще говоря, не существует. Поэтому в качестве искомого приближения к элементу 1, нельзя брать точное решение уравнения (1), т. е.
элемент ~ = А 'й, где А '— оператор, обратный оператору А. Кроме того, обычно в таких задачах оператор А ' не является непрерывным, т. е. малым изменениям элемента й могут отвечать большие изменения решения г = А 'й. Такое «решение» во многих случаях затрудняет (а иногда и делает невозможной) физическую интерпретацию результатов измерений й. Таким образом, для обратных задач возникает принципиальной важности вопрос: что надо понимать под их «приближенным решением»? Если дан ответ на этот вопрос, то возникает задача нахождения таких алгоритмов построения приближенных решений этих задач, которые обладают свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных й, т.
е. таких, что малым изменениям исходных данных отвечают малые изменения решения. Описанные особенности обратных задач и возникающие при их рассмотрении вопросы свойственны еще более широкому классу задач — некорректно поставленным задачам, к которому относятся и многие обратные задачи математической физики. Настоящая глава и посвящена краткому рассмотрению некорректно поставленных задач, методов построения их приближенных решений, устойчивых к малым изменениям исходных данных, а также применению этих методов к математической обработке результатов экспериментальных данных.
й 2. Некоторые понятия, употребляемые в дальнейшем *) О п р е д е л е н и е 1. Числовая функция р„ (Г,, 1»), опреде- леннаЯ ДлЯ кажДой паРы элементов Гп 1» пРостРанства (множе- ')См., например, Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Мл наука, г868.
218 ства) Р, называется метрикой на пространстве Р, если она обладает следующими свойствами: 1) для любых (1 и (2 из Р р1,((1; 12) ~ О, причем ре (1„12) =- =- О только тогда, когда (1 = 12; 2) для любых )! и [2 из Р рь Д„)2) = рк Ц„[!) (свойство симметрии); 3) для любых ("„("'„(2 из Р рн (('„(2) ( ре (("„-(2) + + рк ((„[2) (неравенство треугольника). О п р е д е л е н и е 2. Пространство Р, на котором определена метрика, называется метрическим пространством. Примеры метрических пространств: 1) вещественная прямая Я1, метрика на которой определена формулой рю (х„хь) = — [ х, — х, [; 2) и-мерное евклидово пространство )т", элементами которого являются совокупности из и чисел ): — (х„х,, ..., х„) с метрикой, определяемой формулой ( П 11(2 р,» Ч, й) = ~ Х (хьа — х и)'~ ь=! 3) пространство („ элементами которого являются сходящиеся последовательности вещественных чисел 1 = — (х„ х„ ..., х„, ...) таких, что ~ хь' ( оо, с метрикой, определяемой ь=! формулой 1 1(2 р Д, ('2) = ~ (хь, — х„,,)' ь=! 4) пространство 1.2 вещественных функций Г (х), интегрируемых с квадратом (по Лебегу) на отрезке [а, Ь[, с метрикой, определяемой формулой (ь 1 ь'2 а 5) пространство С(, ь! вещественных функций 1(х), непрерывных на отрезке [а, Ь), с метрикой, определяемой формулой рс((1, ~2) =!пах[1 (х) — 12(х) [; ~1' ь! 6) пространство [ь2 вещественных функций 1 (х), интегрируемых с квадратом (по Лебегу) на [а, Ь) и имеющих обобщенные производные (' (х), также интегрируемые с квадратом (по Лебегу) на [а, Ь), с метрикой, определяемой формулой (ь ь ) 1! р, Ць)2) = ~ [[1 (х) — [2 (хЦ' ь(х + ~ [1
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
