1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 37
Текст из файла (страница 37)
~ а а ь ь фь (х) э— з сь ) К (х, з) фь (з) сЬ + () ~ К(х, з) ф, (в) сЬ, а а Умножим второе из этих тождеств на ь и результат вычтем из первого, получим ь ф, (х) — ь'фь (х) = (а — (()) ~ К (х, з) (ф, (в) — (ф, (з)) сЬ. а Таким образом, А = ьь — (р и ф (х) = Ф„ (х) — (фь (х) ") См, стр. 79, 199 также являются соответствующими друг другу с.
з. н с. ф. Поскольку Л ~ Х (ибо (2 ~ О), то по свойству 3 функции Ч! (х) и ф (х) ортогональны, т. е. ь ь ~ ср (х) ф (х) дх = ) (ф', (х) + ф22 (х) ) е(х = О. а а Отсюда ввиду непрерывности функций ф, (х) н 2р2 (х) следует, что ф, (х) = ф2 (х) = О. Атогдар(х) = О, что невозможно. Таким образом, свойство доказано. С в о й с т в о 5. На каждом конечном отрезке (А, В ] содержится лишь конечное число (оно может бь!ть рознь!м нулю) гоб!- стеенных значений. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что на некотором отрезке [А„В, ) содержится бесконечное множество собственных значений. Выберем из этого множества некоторую бесконечную последовательность собственных значений !Х„). Пусть (фл (х)) — последовательность соответствующих им собственных функций. Поскольку семейство функций Я„(х)) является ортонормированным, а коэффициенты Фурье ядра К (х, з) по функциям этого семейства равны 1 — фЛ„Х)), то справедливо неравенство Бесселя й ~ К' (х, з) д .
л=! л 'а Следовательно, для любого целого р > О -2 ь ( ~ К2,(х, з) да. ф„(х) л 1 а Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку (а, 6), получим л ь ь ~) ь2 ~ ~ ~К'(х, а)дзйх. л=-! а а Поскольку все к„лежат на конечном отрезке (А,, В,!, то все числа Ц не больше числа В', Ц < В', где В' = шах (А22, В ). Р Заменив в сумме хт =, все к, большим числом В, для любого 'кт ! 2 Хл л=! целого р получим Р ь ь '5,' —,', ~~~ К (х,.)дед~, л=! а а Р %.1 ! что невозможно, ибо ряд у —, расходящийся, и, следовательно, л=! 200 Р \1 1 для достаточно больших р сумма ~ —, будет больше числа и=! ьь ) ~ К' (х, з) йзйх. а а Из свойства 5 непосредственно следует, что: а) все собственные значения можно занумеровать в порядке роста их абсолютных величин, т.
е. ~Ль!<!Л,~ <... <~Л„~ <,,; б) если спектр собственных значений бесконечнььй, то ! Л„) — оо при п — со. С в о й с т в о б. Каждому собственнольу значению Л соответствует конечное число д линейно независимых собственных функций !р, (х), ср, (х), ..., !р (х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что некоторому собственному значению Л соответствует бесконечная последовательность линейно независимых собственных функций ф, (х), ф, (х), ... ..., !р„(х), ... Из неравенства Бесселя следует, что для всякого целого р > О выполняется неравенство Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь1 и учитывая нормированность собственных функпий, для любого целого р > О получим ь ь ь ь ь Х вЂ” -. -0 =ь < 1 ~ К'(х, з) с(з йх, илн р < Л' ) ~ К'(х, з) йз йх, что невозможно.
Следовательно, каждому с. з. Л соответствует лишь конечное число с. ф. Из изложенного в Э 2 гл. 1Х следует, что вырожденное симметричное ядро имеет лишь конечный спектр (в нем могут быть н кратные с, з.), Действительно, для того чтобы однородная система линейных уравнений ((4) при ()! == О, гл. 1Х) для определения коэффициентов С; имела ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель этой системы Р (Л) был равен нулю; Р (Л) = О. 1Лз этого уравнения мы находим собственные значения. Очевидно, оно имеет лишь конечное число корней. Верно и обратное: если симметричное ядро К (х, з) имеет конечный спектр, то оно вырожденное.
Действительно, пусть Л,, Л, ..., ˄— - спектр ядра, а ч!! (х), !рь (х), ..., !р„(х) — совокупность всех соответствующих собствен- 20! ных функций ядра (полная система). Рассмотрим симметричную непрерывную функцию л К<">(х, з) =К(х, з) — ~> — й~л(х) ~р„(з).
Если она не равна тождественно нулю, Ксо (х, з) ~ О, то по теореме ! она имеет по крайней мере одно собственное значение р и соответствующую собственную функцию ф (х): ь ф(х) = р, ) Кон(х, з) ф(з) дз. а Функция ф (х) ортогональна всем собственным функциям ~р (х) ядра К (х, з). В самом деле, ~ ф (х) ~~ (х) дх = р ~ гр, (») ~ Кг'~ (х, з) ф (а) г(з дх = ь л = р ~ ~ Км> (х, з) ~р, (х) ф (а) сЬ г(х. а а Меняя здесь порядок интегрирования, получим ) ) Кон (х, з) ф (з) <р„(») Нз г(х = ь Ь( л -(чи ((»~*. )~- К "'*,'™ ),()~~. а р=1 Поскольку функции Чр (х) ортонормированы, то последний интеграл равен ь (ь ь 1ф(,)~~К(»,з),~(»),(» ч;(')1,( = 1ф(з)1,' р (з)~ а а и — — щ, (а) ~ сЪ = О; ! е р н ф (х) суть с.
з. и с, ф, ядра К (х, а), ибо з а( и ~/кг, >Ею~..=~((к" <*, ~ >-2, ™,'"")ес~и.= а й р —.1 ь = (х ) Км >(х, з) ф (з) г(з = ф (х). Мы при этом воспользовались ортогональностью функции ф (х) к функциям ~ре (х). Поскольку ф (х) есть с. ф. ядра К (х, з) и функции р, (х), Ч, (х), ..., гр„(х) образуют полную систему собственных функций ядра К (х, з), то ф (х) должна быть линейной комбинацией 202 Функций ср! (х), грь (х), ..., гр» (х), Но это невозможно, так как ср (х) ортогональна всем этим функциям. Таким образом, нельзя предполагать, что Кс"! (х, з) чь О. Следовательно, К!">(х, з) == О, или ъ-т ! К (х,з) = т — ср„(х) грр (з), Лг р=! т. е. ядро К (х, з) является вырожденным.
Таким образом, спра* ведлива Т е о р е м а 2. Для того чтобы спектр симметричного ядра был конечным, необходимо и достаточно, чтобы ядро было вырожденным. й 2. Спектр итерированных ядер ь Для интегрального оператора ) К (х, з) ср (з) йз введем краткое » обозначение ь Аср = ~ К (х, з) ср (з) йз. » Из определения итерированных ядер следует, что ь А(Агр) А'ср .=- ) К,(х, з) ср(з) дз, а вообще ь А»ср А(А» гср) ~ К (х з)ср(з)дз а Для собственных функций ср (х) и собственных значений Лр справедливы равенства гр„(х) = Л Аср„Л„А (Л»Асрр) = Л»А грр — „— ЛрААгрр— 0 ЛР з( К» (х з) срр (з) г(з » из которых следует Т е о р е м а 3. Если грр (х) и Лр суть собственные функции и собственные значения ядра К (х, з), то срр (х) и Л" будут собственной функцией и собственным значением ядра К„(х, з). Справедлива также Т е о р е м а 4.
Если рестьсобственноезначениеядра К„(х,з), то собственным значением ядра К (х, з) будет по крайней мере один из корней (вегцественных!) и-й степени числа р. Для доказательства нам понадобится Л е м м а 1. Если )г„)г„..., й„— корни уравнения ггь = р, то Ь!'+Аз+ "+6,',=О для з = 1, 2, „и — 1. 203 ни Доказательство. Как известно, Ь„=~/р$'", где у р — какой-нибудь корень уравнения й" = р, $ = е " . Тогда 1,1 1 11+ + 1,1 "/ 1 (1 + ~1 ( ~21+ ( ~1(п — !!)~з р 111 =РГ р1 1 =О, $1 — ! так как з'" =-- 1. Доказательство теоремы. Пусть 1Р(х) — собственная функция ядра К„(х, з), соответствующая собственному значению р.
Определим функции барр (х) по формулам 1рр(х) = — (ф+ йрАф+ йзА'ф+ + й" — 'А" — !ф) (1) Суммируя эти равенства по р от р = 1 до р =- и и принимая во внимание лемму 1, получим 11 !р(х) = ~ 1р (х). Из этого тождества следует, что среди функций Ч!р (х) имеется хотя бы одна, не равная тождественно нулю. Нетрудно видеть, что (х): — йрА~р . В самом деле, применяя оператор А к тождеству (1) и умножая результат на йр, получим ЛрА<Рр -= — (й А( + йзА'ф + ... + й" 'А"-'ф) + — й"А"ф или Ь Ацр = <Гр (х) — — ф(х) ',— — й",А"ф = 1рр (х), ! ! поскольку Ь" — р и ВА"ф = ф. Таким образом, не равные тождественно нулю функции 1р (х) являются собственными функциями ядра К (х, з), а Ь вЂ” соответствующими им собственными значениями.
По свойству 4 ядро К (х, з) имеет лишь вещественные собственные значения. Следовательно, функции р (х), отвечающие комплексным корням й, тождественно равны нулю. Если и нечетно, то имеется лип!ь один 11 вещественный корень р'р =:= й, который и должен быть собственным значением ядра К (х, з), а срр (х) = — ~р (х) — его собственной функцией. Если п четно, имеются два вещественных корня. Пусть ~, (х) и ч!, (х) — отвечающие им собственные функции. Тогда ф (х) : — 1р, (х) + 1р, (х). (2) Таким образом, при нечетном и каждая с. ф. ядра Кр (х, з) будет также с. ф. ядра К (х, з). При четном и каждая с. ф. ядра К„(х, з) будет либо совпадать с с. ф. ядра К (х, з) (одна из функций !р, (х) или Ч1, (х) в формуле (2) может быть тождественно равной нулю), 204 либо являться линейной комбинацией собственных функций ядра К (х, з).
Это означает, что если (Хр) и ()р (х)) суть совокупности всех собственных значений и собственных функций ядра К (х, з), то ()ср) и ))рр (х)) — совокупности всех собственных значений и собственных функций ядра К„(х, з). 2 3. Разложение итерированных ядер В этом параграфе мы докажем, что для всякого а ) 3 справедливо разложение К„(х, з)= ~~~ 'РРРО'РР(а) (3) !л р=! Р где (Р =- сопз( и О > О. Поэтому при )) > О )рр(х))рр(а) ) с) Х 1 ~'.! р=гв (5) Так как ~ Х ~ — оо при и — со *), то из неравенства (5) по критерию Коши и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (3).
Пусть 00 Ф(», з) = ~~ — „срр'.(х)ср,(з) Р Функция Ф (х, з) непрерывна в квадрате а ~ х, з ( Ь. Нам надо доказать, что К„(х, з) = Ф (х, з). Предположим, что это *) См. следствие Е) иа свойства З. 205 в котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квадрате а~хз~ Ь. Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части (3), сходится абсолютно н равномерно в квадрате а ~ х, з ( Ь. Для этого оценим отрезок ряда а!+ Р Р)+В )ф! )д,! )! .' ~ [~~'*' ). ™ 1. (4) Р=п$ Р=р) Мы при этом воспользовались неравенством ( А В ( ~ — (А' + 2 + В') и тем, что ( Хр ( монотонно стремятся к бесконечности при р — со.
По неравенству Бесселя ОО ь )р~~ (х) К'(х, з)с(з < В р=! й неверно. Тогда симметричная функция 9 (х, з) = К„(х, з)— — Ф (х, з) по теореме ! имеет с. з. р и с. ф. ф (х), т. е. ь ф(х) = — р ) Я(х, з)ф(з) сЬ. а Функция ф (х) ортогональна всем собственным функциям ч), (х) ядра К (х, з) так как ь ьь ) ф (х) гр,(х) дх = р ) ~ Я (х, з) ф (з) )р, (х) ьЬ г(х = ь ь ! =-е)е!)1 а.! ') — га —.е,!')е,)))е.!')а*а— а а р — ! Р ь ь = е) Г ! ) ! ! а„)*, ) е,! ) а — — '!*' ) а = о, а а г поскольку ь гр, (з) =— Х", ~ К„(х, з) )р,(х) )(х. и Функция ф (х) является собственной функцией ядра К„(х, з), поскольку ф(х) = (ь ) 1,)(х, з) ф(з) ьЬ = а ь! ь : — р ) ~К„(х, з) — ~ „~)() (з) г(з = — р ~ К„(х, з) ))) (з) ьЬ. а.
р=! Р а Мы воспользовались при этом ортогональностью функции ар (х) ко всем собственным функциям грр (х). Следовательно, как показано бйло в 9 2, ф (х) должна быть линейной комбинацией функций грр (х). Но это невозможно, так как ф (х) ортогональна всем функциям )рр (х). Таким образом, нельзя предполагать, что Я (х, з) ~ О. 3 а м е ч а н и е. Разложение (3) справедливо и для К, (х, з) (п = 2), а также, при некоторых дополнительных условиях, и для К (х, з). На доказательстве этого мы не будем останавливаться*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
