1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

а Ядра К, (х, з) указанного вида иногда называют ядрами Воль- терра. $ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами Ядро К (х, в) называется вырожденным, если оно имеет вид к К(х, з) = ~ а;(х) Ь;(з), (1) ю=о где а; (х) — линейно независимые функции. Решение уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром сводится к решению системы линейных алгебраических 188 уравнений.

В самом деле, подставляя в уравнение с1 (х) = Л ~ К (х, э) ср (з) с(э + 1(х) л (2) ядро (!), получим (3) ь где С; == ~ Ь; (з) ср (а) пэ — неизвестные числа. Таким образом, решение уравнения (2) с вырожденным ядром надо искать в виде (3). Подставляя эту функцию в уравнение (2) и сравнивая коэффициенты прн одних и тех же функциях а; (х) справа и слева, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С;: (4) где и;;= ~ а;(а) Ьз(з) с(з, а (и .— — ~ ~ (з) Ь, (з) сЬ. Решив эту систему, мы найдем Со а следовательно, и решение уравнения (2) ~р (х).

3 3. Существование решений ссч (х) == )' (х) -' ). ~ К (х, э) ч „(э) дз, а (5) 169 1. Если ядро вырожденное, то вопрос о существовании решения интегрального уравнения Фредгольма сводится к вопросу о существовании решения соответствующей системы алгебраических уравнений (4). В более общем случае мы докажем существование решения уравнения (2) (при достаточно малых значениях ) Л 1) методом п о ел едо в а тел ь н ы х п р и бл и же н и й. Для простоты выкладок будем предполагать, что: 1) ядро К (х, а) непрерывно в квадрате а ( х, а ~ Ь; тогда оно ограничено некоторой константой А, ( К ~ ( А; 2) функция 1 (х) непрерывна на отрезке (а, Ь), следовательно, она ограничена на этом отрезке некоторой константой В, ~~) ( В.

Построим последовательность функций ~, (х), <г,(х), . ,, гр„(х), ... по следующему правилу: где суь (в) — произвольная фиксированная интегрируемая функция, с сГ„(х) — — ) (х) ц- Л ~ К (х, в) сГс (в) сЬ, (6) а сГ„(Х):=- 1" (Х) + Л ) К(Х, В) се„с(ь) СЬ, (7) Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования, получим чч(х)=)(х)+ Л~Кс(х, в))(ь)сЬ - Л:~Кс(.т, 1)ць(1)ж, й а где К, (х, в) = К (х, в), ь К,(х, с) = ) Кс(х, з) К,(в, 1) сЬ. а Аналогично находим ср„(х) = ) (х) + Л ~ К (х, в) ) (в) сЬ + Ль ( К (х, в) 7 (в) сЬ -,' а а ь ь ... -, 'Л" — ' ) К„,(.т, ь)((ь)йз+Л" ) К„(х, г)сГ (У)йс', й а где К„(х, с) = ~ К, (х, в) К„, (з, ~) йв.

Предел функции сь„(х), ь если он существует, равен сумме ряда ф(х) =- ь ь =((х)+ Л ~К,(х, в)~(в)сЬ+... +Л" ) К„(х, в)~(в)сЬ (-... (8) а а по Т е о р е м а 1. При значениях ) Л! ( л ь последовас тельность (5) — (7) функций ср„(х) равномерно сходится на отрезке (а, Ь! к функции ф (х), являюи(ейся решением уравнения (2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразуем формулы для получения функций сь,, (х).

Подставляя функцию срс (х) в формулу для сГь(х), получим ь ь ь сГ,(х).= ((х) ! Л ~ К(х, ь)((в)йз —,' Ль ~К(х, в) ) К(з, 1) ссь(1) Ййз. я функции ф, (х) = )пп Р ~ К„(х, 1) сГь (1) ь(Е л-ью д Функции К„(х, з) называются итерираванныма ядрами. Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого оценим интегралы ) К„(х, э)7(з) дэ.

а Очевидно, ь ! К. (х, () ! ~;. ~!Кд(х, з) К,(з, () (гЬ ~ Аь((ь — а), а ь ! К*(», () ! ( ~ (К1 (х, з) Кь(з, ()!ьЬ ~ А'(б — и)', а !К„(х, () ! «! (К1 (х, з) К,, (з, 1) (ьЬ ( А" (й — а)' — ', и поэтому ! ь ь ~ К„(х, з) ) (а) дз~ ( А" (6 — а)' — ' ~ !((ь) ! ьЬ ( А"В (6 — а)". а а Следовательно, числовой ряд ~ ВА" ! Х !" (б — и)' (9) й=а является мажорантным для ряда (8).

Если ! Х ! ( 1 то ряд (9) сходится. Следовательно, при таких Х ряд (8), а вместе с ним и последовательность функций ~р„(х), равномерно сходится к функции ф (х) *). Эта функция является решением уравнения (2). В самом деле, переходя в формуле (7) к пределу при и- оь, получим ф(х)ь— э Х ~ К(х, з) ф(э) ьЬ+1(х). а Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен, так как последовательность сходится равномерно. Заметим, что предел (пп <р, (х) = ф (х) це зависит от выбора л функции ~рь (з) (нулевого приближения). Из этого легко следует "] Так как ф1 .=- О.

1?1 единственность решения уравнения (2). В самом деле, если существует еще одно решение 1Р (х) уравнения (2), то, полагая в процедуре построения функций (5) — (7) грз (х) = ф (х), получим !Р, (Х) = З)! (Х), !Ра (Х) = ЗР (Х), ..., !Рл (Х) = З(! (Х), ... Эта последовательность имеет пределом функцию ф (х). Но вместе с тем очевидно, что !!гп !Гл(х) = зР(х). Таким образом, !р (х) = зр (х) 2. Поскольку ряд (8) сходится при )Л)( „, то при 1 таких же Л сходится и ряд ~~ А")Л)л — 1(Ь вЂ” а)" — '.

Но этот ряд л=-1 является мажорантным для ряда ~., Л" — 'Кл(х, з). Следовательно, л=! ряд ~ Лл-'Кл (х, в) сходится равномерно. Поэтому ряд (8) можно л=-1 записать в виде ь! 41.!=и.1 — !!)Л !. — х.1*, *!)и.!и и л=! или !р(х) = — 1(х)+ Л ~ Гс(х, з, Л)1(з) г(в, и (!0) к гр(х) =Л) К(х, з) !р(в)аз+ !(х) (а ( х ~Ь), (11) "! См. Л! и х л и н С. Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам мехзникн, математической физики и техники, ч. 1, гл, 1.— Ми Гостехиздат, 1949. 172 где функция Р (х, з, Л) == ~ Лл-'Кл (х, з) называется резольвентой л=-! уровненнг1 (2).

Таким образом, если нам известна резольвента уравнения (2), то по формуле (!О) мы получим его решение. Мы определили резольвенту лишь для малых значений ) Л). Однако ее можно определить на любой конечной области комплексной плоскости переменной Л путем аналитического продолжения (кроме, может быть, конечного числа особых точек этой области).

Если это сделано, то по формуле (!О) мы получим решение уравнения (2) для любых значений Л, кроме упомянутых особых точек. Мы не будем подробно на этом останавливаться *). 3. Если мы применим описанную выше процедуру к уравнению Вольтерра то по.!учим последовательность функций к гр,(х) = — 7(х)+ Л ~ К(х, з) гро(з)гЬ, а к гр, (х) .= 7' (х) + Л ~ К (х, з) гр! (з) гЬ, а г[ „(х) =- 1 (х) — ' Л ~ К (х, а) !р„, (з) гЬ, а Эта последовательность равномерно сходится па 1а, Ь) и р и любых значениях параметра Л. В самом деле, очевидно, справедливы неравенства х [!рг(х) [ «))(х) ! '- [Л [ ~ [К(х а) [[(ро(з) [гЬ «В+ [Л[АВо(х — а), й где [грв (з) [ В„ [г[!(х) ! «/[(х) [ [Л[ ~ [К(х, х) [!гр>(х) [сЬ « .! «В: [ Л [ А ~ [В' ,[ Л ( Лво (а -- а) [ гЬ а =-  —.

[Л[АВ(х — а) — [Л[-А-В, Вообще, [!р„(х) [ «В '; [Л [ЛВ(х — а) + П вЂ” ! й ...-' [Л"-![Л"-!В ' ' [Л[ А В, ' !л. 11! О и! л Поскольку ряд ~1 В [ Л[" А" , равномерно сходится на Л:=! отрезке [а, Ь1 и его частичные суммы являются мажорантными для функций !р„(х), то последовательность [!р„(х) [ также сходится равномерно; !р (х) =- !пп гр„(х), очевидно, является решением л уравнения (11), и притом единственным. $ 4. Понятие о приближенных методах решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода Описанный в ~ 3 метод последовательных приближений построения решения может служить приближенным методом решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

В качестве 173 приближенного решения надо брать функции срл (х), определяемые формулами (5) — (7). Второй метод нахождения приближенного решения интегральных уравнений состоит в том, что ядро уравнения К (х, з) аппраксимируют с надлежащей точностью вырожденным ядром л К (х, з) = ~~ а; (х) Ь! (з). с=:! Решение уравнения с ядром К (х, з) и будет приближенным решением исходного уравнения *). Третий метод, его называют и е т о д о м с е т о к, состоит в следующем. Отрезки [а, Ь! изменения переменных х и з разбивают на и одинаковых частей точками деления х„з;.

Интеграл Ь ~ К (х, з) ср (з) сЬ в интегральном уравнении заменя:от ин- тегральной суммой. Получают соотношение л ср (х) вы Х ~ К (х, з;) сру бас + 1 (х). с=-! Полагая здесь х равным х; (! = 1, 2, ..., и), рассмотрим систему уравнений гл ..., и) 1=-.! где = '1'( с), К;! — — К (х,. з,) 7 ~ ( ) Решая эту систему относительно сры получим значения приближенного решения в узловых точках. Мы не будем останавливаться на подробном изложении этих и других методов приближенного решения, отсылая читателя к специальной литературе "а). Особого рассмотрения требуют приближенные методы решения интегральных уравнений первого рода.

Это сделано в гл. Х11. $ 5. Теоремы Фредгольма В этом параграфе мы будем рассматривать лишь интегральные уравнения Фредгольма второго рода ь сг (х) — ) ~ К (х, з) ср (з) сЬ = 1 (х). ()З) а *) М и х л и н С. Г. Лендии по линейным интегральным уравненивм.— Мл Физматгиз, 1959. ") Канторович Л. В, Крылов В.

И. Приближенные методы высшего анализа, изд. б-е, гл. И. — Мл Физматгиз, 1962. 174 1. Однородное уравнение ч:(х) = Х 1 К(х, э)<г(5)йэ О (14) ч,(х) — Х) К(х, э) ср,(э)йэ=)(х), а ь гь(х) — ) ) К(х, )<ге(э)й =-г(х). а откуда (т, — Гь) — Х ~ К(х, э)(ач — ~ре) сЬгэО. а Следовательно, разность ~р (х) = <р, (х) — <р, (х) является решением однородного уравнения. Поскольку ! не является собственным значением, то ср (х) =- ~р, (х) — сре(х) = О. Теорема доказана. 2. Для дальнейшего напомним некоторые теоремы о системах линейных алгебраических уравнений. Т е о р е м а А.

Для того чтобсч однороднаясистема урпвнений '„~~ по хе= О (1= 1, 2, ..., и) (15) 1л имела лишь тривиальное решение (ьп, е, решение, сосспояи!ее только иэ нулей), необходимо и досгппточно, чтобы определитель этой систелгы был отличньчм от нуля. Т е о р е и а Б. Если определигпель однородной системы (15) равен нулю, то эта система имеет р ==- и — г линейно незпвисимьсх решений, где г — рпнг матрииы системы. Т е о р е и а В. Если однородная система уравнений (15) и.яеет лишь тривиальное решение, то соответствующая ей неодно- !75 при любых значениях параметра Х, очевидно, имеет тривиальное решение ~р (х) г— в О. Однако при некоторых значениях Х оно может иметь и нетривиальные решения. О п р е д е л с н и е.

Характеристики

Список файлов книги