1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Лемма доказана. Доказательство свойства 4. Перейдем в фор- муле (22) к пределу, устремляя точку М к М, изнутри н снаружи поверхности 5; тогда получим соответственно йасин(Мо) =ш~н(Мо) — 4пт(Мо) = ш,(Мо) = =ш(Мо) — 2пт(Мо) = Фп(Мо) =пан(Мо) — О, где иа (М,) и ор (М,) — значения функций Й (аИ) и иа (М) в точке М, на 5. Из этих равенств находим ш.в (Мо) = ш (Мо) + 2я о (Мо), (23) шв (Мо) =- аи (Мо) — 2цт (Мо), (24) ш,н (М,) — аин (Мо) =- 4п р (Мо). (25) Для двумерного случая потенциал двойного слоя определяется с помощью интеграла иа (М) = ) у (Р) —.
~1п ( ) ~ г(ар, с где С вЂ” — контур, на котором расположены дпполи. Для него также справедливы свойства 1 и 2. Рассуждениями, совершенно анало- гичными приведенным, можно установить, что в точках М, несу- щей кривой С имеем ш,н (М,) =- иа (М,) + по (М,), шв (Мо) = ш (М,) — ° (М,), шон (Мо) — шв (Мо) = 2~~~ (Мо). 9 4.
Применение потенциалов к решению краевых задач Рассмотренные свойства потенциалов позволяют пользоваться ими как удобным аппаратом для решения краевых задач. Мы покажем это на примере первой внутренней краевой задачи: Ли=)(М) в Р, (29) и 1з = — оа (аИ), (30) н и (М) непрерывна в Р = Р + о. 7 Ароновн В. Я . 193 Частным решением уравнения (29) является, очевидно (по свойству 4 2 1), объемный потенциал и, (М) = — ) — дти. — 1 г !'(Р) 4п О Поэтому естественно искать решение задачи (29) — (30) в виде суммы и (М) = и, (М) + и, (М), где для функции и, (М) краевая задача будет ставиться следующим образом: Лиа=О, (31) и !з гр (М) — ит(М) /з = Р(М).
(32) Попытаемся искать решение этой задачи в виде потенциала двойного слоя ма (М) = ш (М) -= ~, (Р) — ~ сЬ~ Я гм! с„надлежаще подобранной функцией и (Р). При любом выборе функции ч (Р) этот потенциал гармоничен в Р (по свойству 2 2 3). Чтобы удовлетворить краевому условию (32), надо, чтобы в точках М ш 5 выполнялось соотношение ш,н (М) = Р (М). Пользуясь формулой (23) 2 3, это условие можно написать в виде ш (М) + 2пи (М) = Р (М), или ) т (Р) — ( — ) с(ои + 2тгч (М) = Р (М) . (33) где э — длина дуги окружности.
В точках М окружности (рис. 27) соя гр 1 гми Решение ищем в виде потенпиала двойного слоя ) д ( ) с 3 С учетом формулы (34) краевое условие дает интегральное уравнение для определения т (э): 2)7 (ь) ~ + " 1 (35) с Будем искать решение этого уравнения в виде ! т (а) =- — г (э) -1- А, 194 Решением краевой задачи (31) — (32) будет потенциал двойного слоя с такой плотностью и (Р), которая удовлетворяет условию (ЗЗ). Таким образом, наша краевая задача сводится к решению интегрального уравнения (33) относительно и (Р). П р и м е р 2. Решим первую краевую задачу для круга радиуса Я, огра. ниченного окружностью С: ап =- О, и!С = Р (э), где А — неизвестная постоянная. Подставляя эту функци1о в уравнение (35), получим — ~ — Р (5) + А~ Жй + Р (з) + пА = Р (з), 1 г 1 с откуда — ~ Р (5) г(5 + 2пА =- О н А = — ~ Р ($) п$.
1 — ! с 'Й Таким образом, 1 1 т (з) =- — Р (з) — — 1 Р Я) нй и 4пЧ7 с Рис. 28. Рис. 27. Следовательно, решение краевой задачи имеет вид и(М)=) ч(к) — аз=- — ~ з — ~ ) Р($) $ ~ — $= с с с с = — ~'— ""Р(Ц 5- ' ~ Р(5)п~= — ~( — "'~ — — ) Р(5) нй, с с с или Из узОРМ (рис. 28) находим (ОМ = р) 2)тг соз ~р — г' 2Кгз 2Р [йз+ рз — 2)(рсоа(0 — ф)) ' поэтому и(М) = — ) 1 Г Я~ — рз) Р(гс ° О) иО 2п 3 Дз+ рз — урсов(0 — $) ' о Мы получили интеграл Пуассона. Решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа надо искать в виде потенциала простого слоя с неизвестной плотностью р (Р). 195 9 5.
Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям 1. Задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения и-го порядка может быть сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Для определенности рассмотрим уравнение второго порядка у" +а(х)у'+ Ь(х)у =-) (х), (36) у (0) = уо у (0) =- уо. (37) Введем обозначение у" (х) = ор (х).
(38) Тогда у (х) = уо + ) ор (з) г[з, о к у (х) = уо + ~ у' (а) [Б. о (39) (40) Заменяя производную у'($) в формуле (40) ее значением по фор- муле (39), получим х о у(х) = уо+ хуо+ ) ) ор(з) азо$. о о Изменяя в этой формуле порядок интегрирования, получим у(х) =уо+ хуо+ ) (х — з) ор(з)аз. (41) о Таким образом, мы выразили функцию у (х) н ее производные у' (х) и у" (х) через функцию ор (х) по формулам (38), (39), (41). Подставляя эти значения в уравнение (36) и внося под знак интеграла функции а (х) и Ь (х), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода х ~р (х) + ) [а (х) + (х — з) Ь (х)[ ор (о) о(з = Р, (х) (42) о с ядром К (х, з) = а (х) + (х — з) Ь (х), где [, (х) = 7 (х) — у,'а (х) — у,Ь (х) — ху,'Ь (х).
Для уравнений п-го порядка процедура сведения задачи Коши к интегральному уравнению аналогична. 2. Покажем теперь, что задача Штурма — Лиувилля на конечном отрезке может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Применим теоремы Гильберта к задаче Штурма — Лиувилля 7. [у [+ Хр (х) у = О, (43) а,у' (0) — [),у (0) = О, аоуо (1) + [)оу (1) = О.
(44) По 1-й теореме Гильберта решение этой задачи дается формулой у(х) = Х) 6(х, з) р(з) у(з) йз, (45) о т. е. искомое решение удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма (45). Обратно, по 2-й теореме Гнльберта решение уравнения (45) является решением задачи Штурма — Лиувилля (43) †(44).
Таким образом, задача Штурма †Лиувил эквивалентна интегральному уравнению (45). ЗАДАЧИ 1. Найти объемный потенциал масс, распределенных с плотностью р (г) в сферическом слое Лт ( г ( 17з. Рассмотреть также случай р (г) = ре = сопз1. 2. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плотностью ре на сфере. 3. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равномерно распределенных внутри шара, расположенного над идеально проводящей плоскостью а=о.
4. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью зарядов. б. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной плотностью зарядов. 6. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов.
7. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа: а) впе круга; б) в полуплоскостн. Глава Х1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ В этой главе мы будем рассматривать уравнения Фредгольма только с с и м м е т р и ч н ы м и ядрами. Ядро К (х, в) называется симметричным, если для всех х и з из квадрата а ~ х, з < 5 выполняется тождество К (х, з) = К (з, х).
Если ядро К (х, з) симметрично, то, очевидно, и все итерированные ядра К„(х, з) также симметричны. Напомним, что для простоты изложения мы ограничиваемся рассмотрением лишь непрерывных в квадрате а ( х, з а: 6 ядер. Уравнения с симметричными ядрами чаще других встречаются в задачах математической физики. Они обладают целым рядом специфических свойств, главное из которых выражает Т е о р е м а 1. Всякое непрерывное симметричное ядро, не равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно собственное значен ие.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы "), Отметим лишь, что среди несимметричных ядер имеются такие, ь) См. П е т р о в с к и й И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений, изд. 3-е. — Мл Наука, 1963; Ми хл и н С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям, — Мл Физматгиз, 1939, 197 у которых нет собственных значений. Таковым, например, является ядро К (х, з) = ьйп х соз з, 0 ( х, з ~ 2п, а также все ядра Воль- терра (см.
замечание на стр. 178). Совокупность всех собственных значений уравнения (ядра) будем называть спектром собственных значений уравнения (ядра), короче — спектром уравнения (ядра). й 1. Простейшие свойства собственных функций и собственных значений ядра К(х, з) Очевидно, справедливы следующие два свойства. С в о й с т в о 1. Если гр (х) есть собственная функция, соответствующая собственному значению )г, то Сгр (х), где С вЂ” произвольная постоянная (С Ф 0), также является собственной функцией, соответствующей тому же Х.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы норма собственной функции Сгр (х), т. е. /ь !!СгР(= 1,~' ~ Сьгрь(х) с(х, была равна единице, //Сгр!! = 1. В дальнейшем будем предполагать, что все собственные функции нормированы указанным образом к единице. С в о й с т в о 2. Если две собственные функции грг (х) и грь (х) соответствуют одному и тому же собспгвенному значеншо Х, то, каковы бы ни были постоянные С, и С, (С', + С, '~ 0), функции С,гр, (х) + С,гр, (х) также являются собственными функциями, соопгветствующими тол!у же собственному значению Х. Докажем С в о й с т в о 3.
Собственные функции цгг (х) и цгь (х), соответствующие различным собственным значениям Хг и Хь, ортогональны на отрезке (а, (г), пг. е. ь ~ грг (х) г1, (х) йх = О. а Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию справедливы тождества ь ь ! ! — ~р,(х) =- ) К(х, з) гр,(з) йз, — йь(х) = ) К(х, з) грь(з) сЬ. а а Первое из них умножим на Чг, (х), второе — на Чгг (х) и почлепно вычтем результаты один из другого. Полученное тождество интегрируем (по х) по отрезку [а, 6): ь ь ь ( ) ~ грг (х) грг (х) с(х ~ / К (х 3) грг (3) грг (х) г(з йх а а а ь ь — ) ) К(х,з) грь(з) грг(х) йз йх. 198 Меняя порядок интегрирования во втором члене правой части равенства и учитывая симметричность ядра, получим ьь ь ь ) ) К (х, з) сь, (в) ~р, (х) де дх = ) ) К(х, з) сг,(х) срь'(з),'с(х сЬ = ь а ь ю ьь К (х, в) ~рь (в) ~гь (х) ь(8 дх.
Следовательно, (~ — —,) ) Ч,(х)ть(х) с( = О. Отсюда и следует ортогональность. Если ортогонализировать собственные функции, соответствующие одному собственному значению Х ь), то можно утверждать, что любые две линейно независимые собственные функции ~г, (х) н Ч~ь (х) ортогональны. В дальнейшем мы будем предполагать, что такая ортогонализация произведена всюду, где она необходима. Следовательно, семейство собственных функций можно считать ортонормированным. С в о й с т в о 4.
Все собственные значения интегральных уравнений с симметричными ядрами вещественны. Доказательство. Предположим, что Х=сь+ьр, р Ф О, есть комплексное собственное значение, а ьр (х) =- ф, (х) + + (фь (х) — соответствующая ему собственная функция. Тогда ь ф1(х)+ (фь(х) э— з (сь+ (р) ) К(х, з) [ф,'(в) (-(фь(в)) дя. а Отсюда следуют тождества ь ь ф, (х) = а ) К (х, з) ф, (в) гЬ вЂ” (3 ~ К (х, з) фь (з) сЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
