1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для этого оценим интеграл и (Р) дт б 'мр ом, Очевидно, 6 'МР 6 'МР б 'МР 26 ом, гм где Тгмб — шаровая область с центром в точке М радиуса 26 *). Переходя в последнем интеграле к сферическим координатам, получим 26 леп А ~ — Р =- А ~ ~ ) г енп О йгс(ОЬР = 8Ап62 (г - — — гмр). тм 26 б б 0 Таким образом, ) — йтр (8Ап62. Чтобы этот интеграл г р (р) 6 МР ом, оыл меньше наперед заданного числа е, достаточно взять 6 ~ С в о й с т в о 2.
Объемный потенциал имеет всюду непрерывные частные производные первого порядка по координатам точка М. Если М, Ф О, интеграл и (М,) ие является несобственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки М, имеет в точке М, непрерывные частные производные первого порядка по координатам точки М, этим свойством обладает и интеграл и (М), причем производные вычисляются путем дифференцирования под знаком интеграла: —,, ) р(Р)с(т,, — "=) (1 У)о(Р)астр, дх амр ду б)бр о о (7) о где $, 21, ь — координаты точки Р.
Если М, ~ О, то иам достаточно доказать равномерную сходимость в окрестности точки М, интегралов от производных в правых частях формул (7). Тогда законно дифференцирование ди ди под знаком интеграла, причем для производных дх ' ду *) 06 1 Теб м, м 181 ди и — справедливы формулы (7) '). Для определенное си рассмотрим интеграл Я вЂ” х1 р (Р) йтр.
'мр Очевидно, 'мр О„ Чтобы выполнялось неравенство ($ — х) р (р) гбс р "лс, достаточно взять 8 ( ес'(8лА). С в о й с т в о 3. Объемный потенциал является гармонической функцией вне области Р, в которой расположены заряды (массо!) . Это свойство следует из того, что для точек М Ф Р интеграл (2) не является несобственным, и поэтому оператор Лапласа можно вносить под знак интеграла: Ли = Л ( ~ — с(тр '1 = — ~ о (Р) Л ( 1 с(тр = — О (р'мр с р 1гмр) так как для точек М Ф Р имеем Л (1(гор) = =О.
Если предполагать, что р (Р) непрерывна в Р и имеет ограниченные и интегрируемые частные производные первого порядка до др др — — — то справедливо дь ' ди ' дв С в о й с т в о 4. В точках области Р объемный потенциал удовлетворяет соотношению Ли = — 4лр (М). (8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычисление вторых производных даи дам дем — — — путем дифференпирования правых частей дха ' дух ' даа формул (7) под знаком интеграла здесь неприменимо, так как мы *) См, Ф и х т е и г о л ь н Г. М.
Основы математического анализа, т. !1, гл. ХН111, нзд. 5-е. — Мл 1!аула, 1968. 182 ($ — х) б смр о'„ 0 так как ~ — ~ 'мр 'мр 'мр ом, о тс = ( соз (г, и) ) ( 1. Далее, зб т ол ~ А ~ —,, Р = А ) ) ) з!пййгс(0с(со =- 8лА8. тб "' ооо г где и, (М) = ) — с(тр, и.. (М) = ) — с(тр. Г р(Р) Г р(Р) л МР 6 мр м Π— 'Глс Интеграл и, (М) не является несобственным и по свойству 3 представляет гармоническую в точке М, функцию, т. е. Лис! лс=м = = О.
Следовательно, Лис(м=-м, = Лссс)м=м.. Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию сс, (ГИ). Производную — ( --.— р (Р) Ьр =- ) р (Р) — ( — ) Ь, дис Г (с л) Г д с 1 дх ) сз дк(г 6 мс' 6 м тм„ можно также записать следующим образом: др д Г р — — р (Р) — — с(тр — — ! — с(тр — ) = — ) с(т. дх дт (с ) 1 ГИ„ дз ~тмр/ л л Ь м тм„ лс Применяя ко второму интегралу формулу Остроградского, получим др ди, Г д', р (р! — — с(тр — ) — соэ а с(ор, 'Мр Гас тм эм, (9) получим прн этом расходящиеся интегралы, например: Р МР о МР Для доказательства существования вторых производных поступим следующим образом.
Пусть М, ~ О; Там, — шаровая область радиуса 6 с центром в точке М„, ограниченная сферической поверхностью Змл, причем Т" с:,т!. Тогда для точек М области Т„", можно написать и (М) =- сс, (М) + ит (сЧ), где а — угол между направлением внешней нормали к поверхности 5'„' и осью х. Первый интеграл правой части формулы (9) представляет собой объемный потенциал с плотностью зарядов (масс) р, (Р) = др = — и поэтому, по свойству 2 имеет непрерывную производдз ную первого порядка по х. Второй интеграл не является несобственным и поэтому имеет непрерывную производную первого порядка по х во всякой внутренней точке М области Т"„.
Следова- (83 тельно, — имеет непрерывную в Тл, производную да, для« При этом д«« д«а« ( дз ( ) (Р) (ьл — хл) —. — «(тр — ( — ($ — 'х,) соз а «Ьр. 'М„т з тм * ам. й — хл Но ' = сова, тм р поэтому д«1 [й — хо) = а «!»р — ~ РР; — созла«ЬР. 'М„« Л 'М,Р тм, ЗЛ«, (10) Аналогично находим др д'р« 1 ) "' д«) р (Р) — «(тр -- ) —., созл !3 «ЬР, (11) ду м м »1 р 'м„ м ЗЛЛ«, др 'М.т 'Л1„Р тл зм„ где () и у - — углы между нормалью к Вл, и осями у и г соответственно. Складывая формулы (10), (1!) и (12), получим д« Лн 1!м.—,м ' — йп« !л« вЂ” м — ~ — соз а «(»р -'- ««й 'м.р тм <4 Вб. (14) Применяя к последнему интегралу формулы (13) теорему о среднем значении, получим — «Ьр = 4п,о (Р'л), (15) 'м.р 'Л1, др др р дп«, — соз(4«(»р 'р )' —,й сову«(»р — ~ ' .
(13) тл1„ 7'н ЗЛ«„ 1(овторяя рассуждения, проведенные при доказательстве свой. ства 2, найдем, что каждый из интегралов по области Тл„в формуле (13) не превосходит 4пВб, где  — всрхняя граница функций где Р" ш 3'„. Переходя в формуле (!3) к пределу при б - О и учитывая неравенства (14) и формулу (15), получим Ли !м==ли =- — фяр (Ма). В двумерном случае аналогом формулы (8) будет соотношение Ли = — 2пр (М). (16) 3 а м е ч а н и е. Соотношение (8) можно получить формально, перенося оператор Лапласа под знак интеграла в формуле (2) и используя соотношение (25) гл. тг11, 2 2. С в о й с т в о 5. Если )'.) — конечная область и ~ ) р ~ йт ==- =- т ( оо, по при спремлении почки наблюдения М к бесконеч- ности абъелгный попенциал, определяемый формулой (2), стремится к нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, (и(М) / < ~ — йтя. р 'мг Применяя к интегралу теорему о среднем значении, получим )и(М)! < — ~ !р!йтр — — —, где Р* Е Е). гмя 'лгя о Так как область В конечная, то отсюда и следует справедливость свойства 5. П р и м е р 1, Найдем обьемный потенциал равномерно заряженного шара 0 радиуса )т. Очевидно, искомый потенциал есть функция расстояния г от центра шара до точки наблюдения: и (М) = и (г). С Впе шара 0 аи =- О, следовательно, и.-- — '-'; Се По свойству б и (г) — ь г -+ О (г -+ оо).
Следовательно, Ст = О. Внутри шара (З Ли =- — 4ир, 2 ' — 2 — 2,, А или — (г'и ) = — 4ярг'. Следовательно, и (г) = — пг'р-,'- — + В для г(г г< й. Поскольку объемный потенциал ограничен всюду, то А =- О. Из условия непрерывности потенциала и его производных первого порядка находим — 2 С1 4 — С1 — пйар.).
В =- — и — — ярр =— 3 Н 3 Нч откуда С, = — пйар,  — 2л(т'р. Таким образом, 4 г «< р, 3 а м е ч а н и е. Объемный потенциал можно записать в виде 1 свертки (по переменным х, у, г) фундаментального решенця — = 4иг 188 ! л " "— а г. = — (те + уе + ге) — ""' уравнения Лапласа сти =- О ( ст ( — ~= 4л = — — б (х, у, г)) с функцией 4пр (х, у, г): р($, ч, гдвзвчиь р (Р) |(тр и (М) = —.Р1 = 1 1 1 =( ) — 11) з з з )Р(к — Е)т+(у — т))з+(г — Цз з гмр В 2.
Потенциал простого слоя Пусть заряды (массы) распределены по поверхности 5 с плотностью р (Р). Г!отеициал поля, созданного этими зарядами, равен о(М):= ~ Р— дор. (17) МР Этот интеграл называется потенциалом простого слоя. Будем считать, что ) ) р ! г(ор — — т < оо, а 5 является поверхностью Ляпунова. Поверхность 5 называется поверхностью Ляпунова, если оиа обладает следующими свойствами: 1) в каждой точке поверхности 5 существует касательная плоскость; 2) для каждой точки Р поверхности 5 существует такая окрестность 5р, что всякая прямая, параллельная нормали в точке Р, пересекает 5р ие более одного раза; 3) угол у (Р, Р,) = (пр, пр,), образованный нормалями пр и пр, в точках Р и Р„удовлетворяет следующему условию: у (Р, Р|) (Агрр„ где А и 6 — некоторые постоянные и О < Ь ( 1. Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого слоя.
С в о й с т в о 1. Потенциал простого слоя определен всюду. Для точек М, ие принадлежащих несущей поверхности 5, это очевидно. Если М вЂ” 5, то интеграл (17) является несобственным по двумерной области 5. Известио, что несобственный интеграл по двумерной области абсолютно сходится, если а < 2 *). В пашем случае и = 1, следовательно, интеграл (17) сходится. С в о й с т в о 2.
Потенциал простого слоя непрерывен всюду. Если М Ф 5, то интеграл (!7) ие является несобственным и его непрерывность иепосредствевио следует из непрерывности подывтегРальиой фУнкции 1/гмр. *) См. Т о л с т о н Г. П Курс математического анализа, т. П, гл. ХХ.— Ял Гостехизлат, 1957. 186 Если М, ~ 5, то достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (17) в окрестности точки М,. Оценим интеграл о, (Л!) = зм. по части поверхности 5м, (5м, ~ 5), содержащей точку М, и имеющей диаметр, меньший 6, й (5м ) < 6.
Для этого восполь- зуемся системой координат с началом в точке М,, ось г которой направлена по нормали к поверхности 5 в этой точке. Пусть М (х, у, г) — произвольная точка, отстоящая от точки М, на расстоянии, меньшем 6, ММ,< 6. Обозначим через Ххлп проекпию поверхности 5е„на плоскость (х, у), а через )ф — круг на пло- скости (х, д) с пентром в точке М, (х, д, О) радиуса 26. Очевидно, Ххе с: Я'~ . Проекция на плоскость (х, у) элемента поверхности йо равна йз =- йо соз у, где у — угол между нормалью к поверх- н~~~~ 5 н осью г. Очевидно, о, (М) ) ( Н ло < у (х — 1)~+ (у — 1))- '+ (х — Ч)2 эм„ лор ле ~Н =Н у" (х — е)~ + (у — п)~ ~ со» т )р(х — з)'+ (у — и)' эм, х»1, По третьему свойству поверхности Ляпунова 6 можно взять настолько малым, чтобы для точек Р ~в 5'„ иметь соз у ~ 1/2. О Поэтому будем иметь )о»(М) ) < 2Н <2Н е )/( ) + (у ч) ,",, У1»- )'+(у-ч)'' хб Вводя полярную систему координат с началом в точке М„ легко вычислить последний интеграл, он равен Ига ' 2Н ) — = 2Н ~ ~ йейр ° 8пН6, оы м.
Чтобы интеграл ) о, (М) ! был меньше заданного числа а, достаточно взять 6 < 1/(8пН). С в о й с т в о 3. Потенциал простого слоя является гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверхности 5. Это свойство очевидно, так как для точек М Ф 5 интеграл (17) не является несобственным, поэтому До= ~р(Р) Л ( — 1йор=О, а мр) о(М)=~р(Р)1п(1сЬр. ('мр г (18) Для него справедливы свойства 1 — 3. При стремлении точки М к бесконечности он стремится к оо, как!п гмр. Скачок нормальных производных в точках кривой С равен 2по (М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
