1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако в применении к уравнениям гиперболического типа этот метод пе является столь же эффективным и удобным, как для уравнений параболического и эллиптического типа Поэтому мы ограничимся здесь рассмотрением применения этого метода к реше.пю задачи Коши для одномерного волнового уравнения. 152 О п р е д е л е н и е. сбунк~(ией Грина 6 (х, 1) задачи Коши длл аолногого уравнения агин» = — иы назовем решение задачи Коши агб„» — бы, 6 (х, О) -= О, бг(х, 0) .=.
6 (х). Нетрудно установить непосредственной проверкой, что 1 6 (х, 1) = — (л) (х -!- а1) — л) (х — а(]], 2а (1, г>0, где т) (г) = ~ — единичная функция. В самом деле (сль Дополнение, (О, г<0, п. 1), 1 6» (х, 1) =- — (6 (х -1- а1) — 6 (х — а()), 2а 1 бхх (х, 1) =- — (Ь' (х 1- аг) — Ь' (х — а1)], 2а 1 б, (х, 1) =- —,]6 (х+ об+ 6 (.
— а()], 2 бгг (х, 1) =. — (Ь' (х + а1) — Ь' (х — и1)]. Следовательно, аг0»х (х, 1) = 6» (х, 1), ! 6(х, О) = — (л)(х) — л) (х)] -. О, 6! (х, 0) -= — (6 (х) -Р 6 (х)] --- 6 (»). 1 2 Решение задачи Коши агохх = огг, о (х, 0) =- О, о! (х, 0) =- ф (х), будет представляться в виде свертки о (х, 1) = б (х, 1) в ф (х).
(!) Действительно, вычвсляя производные свертки (см. Дополнение, п, 1), получим о»„=- б„„е ф, олг =- бгг э ф, Следовательно, а ох — об и(агбх„— бы) в фжО в ф: — О, и (х, О) = б (х, 0) г ф (х) .= 0 в ф (х) =- О, о! (х, 0) =- бг (х, 0) г ф (х) = 6 (х) е ф (х) = ф (х), Свертку 6 ж ф молино также записать в виде о (х, 1) —.— ~ 6 (й, 1) ф (х — й) л(й ==. — ~ ф (х — $) г(й. 1 2а »+а! о(х, 1) = — ~ ф (г) аг.
1 2а (2) х — аг Заметим, что в формуле (1), а следовательно, и в формуле (2), функция лр (х) может быть любой интегрируемой (и даже любой обобщенной!) функцией. 160 Произведя в последнем интегралс замену переменной интегрирования по формуле х — Ь = г, пол)чим Г'.ели Я (х, 1) сстс, решение задачи Коши ссегссх . )сс,, Гс (х, 0) = О, )сс(с, 0) .= Ч (х), с) то функция ш (х, 1) = )1 (л, 1) есть решение задачи Коши 01 вешах =-шсс, ш(х, 0) .= ср (х), шс (х, 0) = О. Действнтелысо, дифференцируя тождество сс пхх = х)11 по 1, получим аэ ()сс)хь = (ссс)сс, т.
е. аешхх: ш ь Далее, ш (х, 0) = )Рс (х, 0) =- ср (х), шс (х, 0) ;. )рсс (х, 0) р Осс (х, О) е ср (х) †- 0 е ср (х) = О. Если функция ср (х) непрерывна, то ш (х, 1) можно записать в виде .«+а с д ~ ! ( ~ ср(х — аг)+ср(х+ос) д1 ~2а 3 х — ас т, е. ш(х, 1) —— ср (х — а1) -(- ср (х + а1) 2 Решением произвольной задачи Коши аэи„„=- исс, и (х, 0) =-. ср (х), и, (х, 0) .—..
сР (х), где ср (х) — непрерывная функция, а ф (х) — интегрируемая (в частности, ку- сочно-непрерывная), будет сумма и=о+ш=б(х, 1) е ср(х)+61(х, 1) е ср(х), илн х+аС н(»,1) — + ~ ф(а)йх. 2 2а к — а1 Таким образом, решение в этом случае также записывается по формуле Даламбера. ))рн этом производные от него трактуются как производные обобщенных функций, совпадающие с обычными производными там, где этп последние существуют. Заметим, что формула (3) дает решение задачи Коши и для произвольных обобщенных начальных фрньяий ср (х) и ф (х). Г я ива )с)11 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ Существуют разнообразные методы доказательства единственности решения краевых задач.
Обычно пользуются разными методами доказательства единственности для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов. В настоящей 154 главе приводятся доказательства, ошптаа~ныс (для пссх трех тп. пов уравнений) на ггервой Цюрмгулс Грина; ) Фгг'. [Фг[ г[т = — ) Й (г'Фг, !гФг) йт — ~ г)ФгФг йт -[- ~ ггФг д ' гг[о, о и й в й 1 ° Единственность решения краевых задач для уравнений гиперболического типа 1. Рассматриваются краевые задачи вида Йч (йои) — ди + Г (М, !) = рин, ( --г)— ди тг — -[- угп = р(И, г), дя ')з и (М, 0) == гр (М), иг (М, 0):=- Чгг (М) (1) (2) (3) Так как Ь [о[ = ро„, то из формулы (4) получим до )' рогопйт = — ) й(Чо, чог) йт — ~г!оогйт [- ~ ггзг — г[о, для области В = [М ~ б; ! =-. 0), где  — конечная область, ог- раниченная поверхностью 5.
Функции й (М), д (М) и р (М) непрерывны в области О, й (М) имеет непрерывные в О частные производные первого горядка по координатам точки М, н й=-А(М) >О, г!(М)~0, р(М) >О вгл; у,(М) О, у,(М) О, 71+7,чьО для всякой точки М т 5. Теорема единственности. Решение краевой за. дачи (1) — (3), непрерывное в замкнутой области Й вместе с част- ными производными первоео порядка по переменной ! и по коорди натам точки М, единственно, Доназательство, Пусть и,(М, !) н и,(М, г) — два решения, удовлетворяющие условиям теоремы. Покагием, что и, (М, !) ж и, (М, !) в области 8.
Для доказательства воспользуемся первой формулой Грина для функций Фг о и, -и, и Ф„о,, Получим ~ огЬ [о) йт — ~ й (!"о, 7о~) г[т — ~ г[оог Ит + ~ йо, ~.„- йо. (4) о о о 8 Функция о = и, — и,, очевидно, является решением задачи г [о[ = !гои, (5) (у, д +уео) =0„ до (6) о(М, 0) =О, о,(М, 0) =О. (7) или ) р дг (о',)г'т= — ) гг д (то)'ггт — ) д дг (о')г(т+2) лог д аЪ. (8) д р д ~ д до о о о Я Так как для первой краевой задачи ог(з = О, а для второй краедо вой задачи — ! О, то для первой и второй краевых задач фордп 1з мула (8) имеет вид ) Р дг (Ог) г(т = — )' гг дг (ГО) "(т — ) г) дг" г(т.
(9) о о о до тя Для третьей краевой задачи — ~ = — — о~, поэтому из форда ~з= т, мулы (8) получим о — (ог) г(т =- — — ) 1г — (Ро)'-' г(т — ) о — г(т — ) — ' гг —. гго. (10) дг .г дг г дг ) т~ дг о о о 5 Интегрируя тождества (9) и (10) по переменной 1 на промежутке 10, Т! и пользуясь тождествами о (М, О) эз О, ро (,, =- О, о, (М, 0) =: О, получим соответственно ) оо)(гИ, Т)г(т== — ~lг(то)'~г .тат -- ~огд(!И, Т)г(т (11) о о о и )г ро)(М, Т)Нт — ~ А(то)'~г г г(т— о о — ) г)о'(М, Т) ггт — ) -га'-' о'(М, Т) гьт.
(12) Р 3 Так как левые части в формулах (11) и (12) неотрицательны, а правые положительны, то каждый интеграл равен нулю, Следова. тельно, в случае первой и второй краевых задач для произвола ного значения Т > О к любой точки М ~ б ротг(М, Т)= О, то!г-г' О, дтпл(М, Т)= О. (13) Если г) ~ О, то отсюда следует, что о (М, 1) гн О, Если г) ° О, то о (М, 1) = сопз1. В силу свойства непрерывности функции о (М, г), пользуясь начальными условиями (7), получаем о (М, 1) гн О, В случае третьей краевой задачи кроме равенств (13) получим также о (М, Т) ~з = О. Следовательно, как и в рассмотрен- ном случае, получим о (М, 1) = О.
Теорема доказана. 2. 3 а м е ч а н и е. Часто единственность решения краевых задач для уравнений гиперболического типа доказывают, поль- зуясь интегралом энергии колебаний, отвечающих соответствую- щей однородной задаче. Именно, рассматривают функцию времени Е (~) ==- — ~ (lг (то)':;- до' ~- роЦ г(т, л где о = и, — и, Непосредственным вычислением, с пспользова.
вием уравнения для о и формулы Остроградского, доказывают, что Е' (!) гг О. Отсюда следует, что Е (Г):= сопз! =- Е (0). Так какЕ (О) =- О, то Е (!) = О, откуда и следует, чтоо = и, — и, = О, $2. О единственности решения задачи Коши для волнового уравнения Мы отмечали в й 5 гл. 1П, что если существует решение задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения а'и„, == ин, непрерывное вместе с частной производной первого порядка и, в замкнутой области В, = ( — оо ( х < оо, ! ) 01, то оно представляется формулой Даламбера. Аналогично, в ~ ! ! гл.
П1 было показано, что если существует решение задачи Коши для трехмерного (двумерного) однородного волнового уравнения а'Ли = ин, непрерывное вместе с частной производной первого порядка и, в замкнутой области В,:= (М, ! гь О) (М вЂ” любая точка трехмерного (двумерного) пространства), то оно представляется формулой Пуассона (илн ее двумерным аналогом). Из этих фактов непосредственно следуют теоремы единственности. Т е о р с и а !. Реиление задачи Коши для одномерного волнового уравнения а'и„„+ ! (., !) = игы и (х, 0) = ср (х), и, (х, 0) = ф (х), непрерывное вместе с частной производной первого порядка и, в замкнутой области В, = =( — оо < х ~ оо, ! ~ О), единственно, В самом деле, пусть и, (х, !) и и, (х, г) — два решения задачи, удовлетворяющие условиям теоремы.
Тогда ик разность о(х, г) и, (х, !) — и, (х, г) является решением задачи Коши для од породного волнового уравнения а оел оиэ о (х, О) * О, ос (х, 0) О, непрерывным вместе с частной производной о, в замкнутой области с),, Согласно $5 гл. 111 функция о (х, !) выражается фор. мулой Даламбера, которая дает, очевидно, о (х, 0) гв О. Т е о р е м а 2, Решение задачи Коши для трехмерного (дву- мерного) волнового уравнения а'Ли+ 1(М, !) = ин, и (М, О) = <р (М), и, (М, 0) = ф (М), непрерывное вместе с частной производной первого порядка и, в замкнутой области В,:— (М, ! ) О) (М вЂ” любая точка трех- мерного (двумерного) пространства), единственно.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично дока- зательству теоремы 1, только вместо формулы Даламбера надо пользоваться формулой Пуассона. р,р.= — 1ррр р р.— 1р р. ~ р — (оз) йт = — 2 ( й(7о)2с[т — 2 ( р)издт. (22) или (23) Для третьей краевой задачи из формулы (21), используя краевые условия (19), получаем о- — (ор) дт = — 2 ~ н(чо)рот — 2 ~ до2йт — 2 ! тр о2 с[о. (24) ур о о о 3 1ба $3. Единственность решения краевых задач для уравнений параболического типа Рассматриваются краевые задачи вида В [и ! + ) (М, 1) = рио (14) (К Зп + у2и) =)2(М р) (15) и (М, 0) =- чр (М) (16) для области В = — (М рн Р; 1 =.- О( при тех же предположениях относительно области Р и функций й (М), д (М), р (М) ур (й4) )р2 (М), что и В ф 1 Теорема единственности. Решение краевой задачи (14) — (16), непрерывное в замкнутой области Вйвместе с папиными производными первого порядка по коордунптам точки М и частной производной первого порядка по переменной й единственно.
Доказательство. Пусть и,(М, 1) и и,(М, 1) — два решения, удовлетворяющие условиям теоремы, и о =- и, — и,. Покажем, что о (М, 1) == 0 в области В. Для этого применим первую формулу Грина для функций Ф, — о и 022 = о. Получим (о~[~)й = — ~ й(2У )ес[т — ~ уочй + ~ I — д„й~. (17) о о о з! Функция и, очевидно, является решением однородной задачи Е [и! = ро„ (18) (у,~ -(- уо),-0 (19) о (М, О) ° О. (20) Так как Ь !о ! 2в ро2. то из формулы (1У) получим ~ рво2 йт — )' й (7о)2 йт — ) 2)о2 с[т + ~ йо -~-„йа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
