1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мы рассматривали гармонические функции в трехмерном пространстве. Для двумерного пространства (плоскости) теорема о среднем значении записывается соотношением и(?Ио) = —,, ) и(М)дз. (12) си Здесь Сн — окружность с центром в точке ?Ио. Для получения этой формулы надо в соотношении, аналогичном (5), взять о = = 1и (1?г,и,м).
Для т-мерного пространства теорема о среднем значении гармонической функции выражается соотношением и (Мо) =-, ~ и (Р) сЬ, (! 3) 1.~ вя где 5, — площадь единичной сферы. Справедлива также Обратная теорема.)гусгпь и(М) непрерывна в конечной облав?пи О. Если для любого шара Оя ~ О, ограниченного сферой 5я (5я ~ 0), справедливо соотношение (13), то функция и (М) гармонична в области Р.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы. Эти теоремы позволяют дать другое, эквивалентное прежнему, определение гармонической в области 0 функции. Функция и (?И) называется гармонической в области О, если она непрерывна в 0 и для всякой шаровой области Рго ограниченной сферой 5„с центром в точке М, ~ О и принадлежащей вместе с 5я области Р, выполняется соотношение (13).
Пользуясь таким определением, его легко перенести на "широкий класс функционалов *). 3. Для гармонических фу.нкций справедлива Теорема о наибольшем и наименьшем з н а ч е н и я х. Функция и (М), гармоническая в конечной области О, ограниченной замкнутой поверхностью 5, и непрерывная в О = О + 5, достигает своего наибольшего и наименыиего значений на границе 5. Доказательство. Если и(?И) =сопз1 в области Р, то справедливость теоремы очевидна. Поэтому будем полагать, что и (М) ~ сопз( в Р.
") См. Л е и и И. К >нкретиме проьземы функционального анализа.— %с Наука, 196?. 136 Обозначим через Нз наибольшее значение функции и на Я, а через Но — наибольшее значение функции и в О. Нам надо доказать, что Н„= Нз. Предположим, что это неверно. Тогда Нр ) Нз и в некоторой внутренней точке М, области 0 (М, я'0) имеем и (М,) Н„.
Рассмотрим вспомогательную функцию о(М) = и(М) + „Цх — х,)'-г- (у — уо)'+ (г — го)о), где а' — диаметр области О, т. е. точная верхняя граница расстояний между точками области 0; (х„, у„, го), (х, у, г) — координаты точек М, и М. Очевидно, для всех точек гИ - =0 (х — хо) +(у уо) +(а — ео) (г(о о (Мо) = и (Мо) = — Но С другой стороны, в точках М границы области 5 имеем (М) Н ~ Но — Нз гто+ Нз Н 2 2 Следовательно, непрерывная в 0 функция о (М) должна достигать наиболыпего значения в некоторой в н у т р е н н е й точке М, области О. В этой точке должно быть Ло ( О, так как в точке максимума ни одна из производных о„„оо„о„не может быть положительной.
С другой стороны, Ло=Ли-ц3 о з = 3 о з )О. Ло гг' Полученное противоречие заставляет отказаться от гипотезы, что Н„) Нз. Следовательно, Но — — Нз. Применяя полученный ре- зультат к функции — и, мы получим доказательство теоремы и для наименьшего значения. С л е д с т в и е. Гармоническая в области О функция и (М), не равная тождественно постоянной, не может иметь локальных максимумов и минимумов внутри О. В самом деле, пусть в точке Мо оэ О функция и (М) имеет, например, локальный максимум. Обозначим через Оп шаро- вую замкнутую область с центром в точке М, и радиуса Н, цели- ком лежащую в О. Радиус Я можно взять настолько малым, чтобы для всех точек М области Омп, не совпадающих с М,, выполня- лось неравенство и (М) ( и (Мо).
Применяя доказанную теорему к функции и (М) для области Оп получим противоречие с предположением. Из этой теоремы легко следует единственность решения пер- вой внутренней краевой задачи для уравнения Ли = Г (М). Теорема единственности. Решение первой вну- тренней краевой задачи Ли =- Г' (М), и ~в =- гр (М), непрерывггое в замкнугпой области 0 — -- 0 Р 5, едггнспгвен но. 13? $2. Сущность метода функций Грина.
Некоторые свойства функций Грина 1. Будем рассматривать краевые задачи й [и[ = — сг (сИ) (в О), (14) ("Й '-«), (1О) внутренние и внешние. Здесь я, -.— я, (М), я, . с з (.И), я,, яг зь О и яг + я,' Ф О; ) (сИ), ср ( И) — заданные функции. Метод функций Грина решения таких задач состоит в следующем. Сначала находят решение задачи (14) — (15) при специальных значениях функций ) (М) и цг (М). Именно, находят решение 6 задачи ( г6[ =- — б (М, Р), [я, — +яа6) =О, (16) (17) *) Читателю рекомендуется самостоятельно доказать первое утверждение этой теоремы, используя достаточный критерий Коши сходимости последова.
тельности и принцип максимума и минимума. Подробнее о свойствах гармонических функций см. П е т р о в с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с 'ыстными производными. — Рнл Наукз, !обгб. ! за Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусгь две функции и, и иа являются решением этой задачи. Тогда нх разность и = и, — и, является гармонической в О функцией, непрерывной в О н равной нулю на 5. По теореме о наибольшем и наименьшем значении наибольшее и наименьшее значения и равны нулю.
Следовательно, и =- = и,— -и, ==О всюду в О. Легко также доказать теорему о непрерывной зависимости решения первой внутренней краевой задачи от граничных значений для уравнения Ли = 7" (М). Т е о р е м а 1. Пусть и, (М) и и, (М) -- реисения первой внутренней краевой задачи для уравнения Ли =- 1" (М), непрерывные в О и сгрсинимасосцие на границе 5 области О значения ср, (М) и ср, (М).
Тогда, если всюду на 5 вьиголняется неравенство , сП вЂ” сйе [ < е, пга всюдУ в О вьсполнаетсЯ неРавенство [ 'и, (М) — ие (М) [ < е. Доказательство. Функция и=-и,— иа гармоническая в О, непрерывна в О, и и [в:=- ср, — срти Поскольку — е < < гр, — срз < е, то по теореме о наиболыпем и наименьшем значении наибольшее и наименыпее значения функции и(М) заключены мсскду —.е и е. Следовательно, [ и [ < е, т. е. гсс,(М) — и,(М)[ <е. Верна также Т е о р е лг а 2. Ес,ги пос.гедовптельноспгь непрерывных в некоторой замкнупсой и ограниченной области О и гармонсшесних в О функций и„и,, ..., и„, ...
равномерно сходится на границе области, то она также равномерно сходится в О. При этом сгреде.гьная функцсся и (сИ) будет гармонической в О *). Непрерывное (сиесте с частьымп пропзподнымп первого порядка, если сб .-~ 0) всюду в замкнутой области гз, кроме, быль может, точки Р, в которой 6 может иметь особенность.
Это решение называют функг]ггей Грина задачи (14) — (!5). Если функция Грина найдена, то с ее помощью легко найти и решение исходной задачи (!4) — (15). Для этого применим вторую формулу Грина к функциям о = 6 (гИ, Р) и к искомому решеншо и (М): ~ [6Л [и] — ий [6]] дс = — ~ тг (6 — — — и — ) до*), (18) !1оскольку в области 0 имеем Е [и ] =-- Г (М), а г [6] = — б (гИ, Р), то соотношение (18) можно записать в виде ~ 1(й!) 6 (гИ, Р) г!тм -1- ] и (М) 5(М, Р) дтм: —.— о о = ~ й (6 — ,'„" — —",„) дом. Второй интеграл левой части по свойству б-функции равен и (Р).
!!оэтому последнее соотношение можно записать в виде и(Р):=- ~ Уг (6 ~ — и ~ ) дом — ]16(гИ Р)((М) г!тм (!9) Здесь интегрирование производится по координатам точки М. Для первой краевой задачи (аз г— в О, сгз гв !) 6[э.= О, п [э =<р, и из формулы (!9) получаем решение задачи (14) — (15): и (Р) =: — ~ йй (М) — дом -. ~ 6 (М, Р) !'(М) г!т,м. (20) Для второй краевой задачи (ат = О, аз: — 1) и из формулы (19) получаем решение задачи (14) — (15) **): и(Р) = ] Ьр(М) 6(М, Р) дом — ] 6(М, Р) !" (.И) дтм. (21) Для третьей краевой задачи (а, ~ 0 и аз -'- 0) й *) Здесь и в дальнейшем производная — берется по направлению внешдп ней нормали к 3. '*) Следует отметить, что для второй краевой задачи так определенная функппя Грина не всегда существует.
См. замечание на стр. 142. 139 В этом случае формула (19) дает и(Р)==- ) „~, ) 6(М Р) йа,и — ) 6(М, Р)1(М)е[тм (22) 3 о Таким образом, исходная краевая задача (14) — (15) сводится к задаче о нахождении функции Грина. О способах нахождения функций Грина мы будем говорить позже. 2.
Отметим некоторые свойства функций Грина. Функции ГРина обладают свойством симмептрии, т. е. 6 (М, Р) = — 6 (Р, М). Для доказательства этого применим вторую формулу Грина кфункциямб, = 6(М, Р1) иб, = 6(М, Р,), гдеР, иР,— произвольные фиксированные точки области Р. Г1олучим ) (6,1, [62[ — 6,1. [6,Ц с[~м = — ) й (6, — ' — 6, — ') сЬм. о в Левая часть равна — ) (6(М, Р,) Ь(М, Р,) — 6(М, Рв) Ь (М, Р,)) йтм= о б (~ 1 Р2) б (Р2 Р1)' Следовательно, б (Р,, Р,) — б (Рв, Р,) = ~ й (6, дп' — б, дп' ) дам. Интеграл в правой части равен нулю.
Действительно, если мы имеем дело с первой (или второй) краевой задачей, то это следа ~ дует из граничных условий для б, и 6, (6[з — — О или — ~ = О) . дв !з д01 Если мы имеем дело с третьей краевой задачей, то, выражая— дв дбв и — из краевых условий через б„и б, и подставляя эти значения д» в подынтегральное выражение, получим Таким образом, 6 (Рт, Р,) = 6 (Р,, Р,). 3. Теперь займемся изучением особенности функции Грина в точке Р. При этом мы ограничимся случаем, когда Ь (и ) = — Ли. Для этого случая функция Грина имеет в точке Р особенность 1 ! l ! вида е) — для трехмерного пространства, — !и !1 — 1 4пгмп хп ! для плоскости,, для пт-мерного пространства (о1 — пло- А! м7' щадь единичной сферы).
') Это верно н для операторов вида Ь [и): — оп+ ои, где в = сопи. 140 Исходя из структуры уравнения Лб — — б (М, Р), которому удовлетворяет функция Грина, можно ожидать, что функцию Грина можно представить в виде б (М, Р) == ф (гхтр) + о (М, Р), где о гармонична в О (как функция точки М), а функция ф (гйтр) имеет особенность в точке Р, т. е. при гмр —— -- О, и должна удов- летворять уравнению Лф = — 6 (М, Р). Рассмотрим для определенности трехмерный случай.
Обозна- чим через Ой ршаровую область с центром в точке Р радиуса Р, ограниченную поверхностью 5рй. Проинтегрируем тождество Лф= — б(М, Р) по области Ой (Ойр с: О). Получим ~ Лф астм -= --1. По форорй муле Остроградского интеграл в левой части равен ~фь = ~фъ„. й зй Таким образом ' д4 "ом = — 1. дг .й Р На сфере 3й функция — имеет постоянное значение, поэтому дЕ дт — ~ гЬ = — 1, или 4пйа „= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
