1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой (задачи Коши) и на полупрямой 1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши. Рассмотрим сначала однородное уравнение а'и„х ==- им (36) и (х, 0) = гр (х), (37) где гр(х) — непрерывная функция. Согласно рассуждениям з 1'настоящей главы (п. 4) и формуле (23) решением будет функция и(х,1)= ~ 6(х — ч, 1)ггД)Л3. (38) Надо лишь показать законность вычисления производных и,х и и, путем дифференцирования по этим переменным под знаком интеграла. Мы это сделаем позже.
Формулу (38) можно получить и из наглядных соображений. Для этого воспользуемся температурной интерпретацией задачи, На прямой 1 =- 0 возьмем отрезок длины г($, содержащий точку х = ч. Количество тепла, выделившегося в момент 1 = 0 на этом отрезке, равно сргр ($) г(Э. Это количество тепла можно отнести к точке $. Таким образом, мы будем иметь точечный источник, в котором мгновенно в момент времени 1 = 0 в точке х = в выделилось количество тепла г(Я = ср~р (с) г(с. Температура на бесконечной прямой для 1 ) О, обусловленная действием этого источника, равна — 6 (х -- $, 1) =- гг (5) 6 (х -- с, 1) Щ. и (х, 1) = ~ <р (я) 6 (х — $, 1) г$.
Ю (39) Если это верно, то функция (39) и будет решением задачи Коши (36) — (37). Чтобы убедиться в справедливости последнего, достаточно доказать, что функция (39) удовлетворяет уравнению (Зб) для всех — оо ( х ( со и( > О, а также начальному„'условию (37). Проверим сначала условие (37). Согласно формуле (39) и учитывая также, что 6 (х — в, 0) =- б (х — $), имеем О и (х, 0) = ~ ч ($) 6 (х — $, 0) гЕ = ~ гр (в) б (х — $) Щ = ср (х). Последний интеграл равен ~р (х) согласно основному свойству 6-функции. Таким образом, функция (39) действительно удовлетворяет условию (37). Чтобы установить, что функция (39) является решением уравнения (Зб), достаточно доказать, что эту функцию можно дифференцировать по х (дважды) и по 1 под знаком интеграла.
Действительно, если и„„= ) ср ($) 6„„(х — $, 1) с5 и,= ~ тра)6,(х — 5, 1)с($, то а'脄— и, = — ~ ч ($) (а'"6„„-- 6~) сЦ:=- О, так как функция 6 (х — $, 1) является решением уравнения (36). Очевидно, достаточно показать, что интеграл (39) сходится, а интегралы ~ ср (в) 6 дв, ( гр $) 6„0$ и ~ ф($) 6,. д$ (эе) равномерно сходятся в области В, = ( — оо ( х ( оо; 1) а) с произвольным е > О. Для упрощения выкладок будем предполагать при этом, что ч~ (х) ограничена, т. е. ( ~р (х) ~ ~ М.
В интеграле (39) произведем 120 И так для каждого отрезка длины г($ прямой 1 = О. Имея в виду замечание на стр. 118, естественно предположить, что температура, обусловленная действием всех таких отрезков, т. е. обусловленная заданием начальной температуры и (х, 0) = у (х), будет равна замену переменной интегрирования: а = (9 — х)!р'4аей Тогда (см. формулу (31), стр. !17) и (х, () = = ) гр (х + 2аа 1/г ) е — "' да, ргп (и(х, 1) ~ = ) ~ф(х+ 2аа)/г)(е — "* г(а ~ р»я = ) е — "'г(а=М. (40) Таким образом, интеграл (39) сходится, притом равномерно, в области В, и ) и ~ ~ М.
Если предположить дополнительно, что ф (х) непрерывна всюду, то из этого следует также непрерывность функции (39) в замкнутой области В, *). 3 а м е ч а и и е. Из неравенства (40) следует, что если начальные значения ф, (х) и фе (х) отличаются меньше чем на в, т. е. ~ ф, (х) — фв (х) ~ < е для всех х, то соответствующие им решения задачи Коши и, (х, 1) и и, (х, 1) также отличаются друг от друга меньше чем на е, т.
е. / и, (х, 1) — и (х, 1) ! ( в, Таким образом, решение задачи Коши непрерывно зависит от начальных значений. Рассмотрим теперь первый из интегралов (*е): 0 О ) 21 ( ь' ) ь+ О» (к) (х к) В ( »9 1) (еь Первый интеграл заменой переменной а = ($ — х)/р' 4а'1 сводится к интегралу ) = ф (х + 2иа )' г) е — "* г(а. 2 Р'йг Этот интеграл равномерно сходится в области В, с произвольным в ) О, поскольку подынтегральная функция мажорируется в этой области функцией е- ', интеграл от которой 2 Р'пв ') При дополнительном предположении об ограниченности функции ф (х). Если ф (х) кусочно-непрерывна, то функция (39) непрерывна всюду в Вм кроме точек прямой 1 = О, в которых»р (х) рверывна.
121 (43) (44) (45) о а б„„= — 6„ б" (х, Ц; 0) = 6 (х — Ц), 6' (О, в; () = О, Ц, х, ( > О, непрерывное всюду в замкнутой области В, = (х~О, ()0), кроме точки ($, 0). Для нахождения этой функции Грина воспользуемся следующим свойством решения задачи Коши. Для решения задачи Коши а'и„, = ис (46) и (х, 0) = чс (х) (47) 122 сходится, Второй интеграл (*ее) той же заменой переменной сводится к интегралу — <р (х+ 2аа)/с') е — "*да. р кс Этот интеграл равномерно сходится в области В, с произволь- ным е > О, поскольку подынтегральная функция мажорируется М в этой области функцией а'е — "*, интеграл от которой схоерк с дится.
Аналогично поступаем с третьим интегралом (**). Таким образом, мы доказали, что формула (39) действительно дает ре- шение задачи Коши (36) — (37). Этот результат верен и для функ- ций ор (х), неограниченно возрастающих при х- со, например, для таких, для которых существуют постоянные Ь ) 0 и с)7 > О, что ( ср (х) ! ( сч' ехр (Ь ~ х ~). 2. Аналогично строятся решения задач: а) а'иее = ис, и (х, 0) = ср (х) (О ( х ( оо), и (О, () = О, Ю и (х, с) =-) ср($) 6*(х, $; с) с($; (41) о б) а'и,„ =- ие, и (х, 0) = ср (х) (О ~ х ( оо), и, (О, () = О, и (х, 1) = ~ б"* (х, ч; () ср ($) д$.
(42) о 3. Функция Грина задачи аеи„„ + 7 (х, () = и,, и (х, 0) = ср (х), и (О, Е) = р (г), х, Е)0, определяется следующим образом. Функс(ией Грина 6* (х, $; () задачи (43) — (45) называется решение задачи с нечетной функцией ч! (х) выполняется тождество и (О, г) = О, г > О.
Действительно, решение задачи (46) — (47) имеет вид Ю и (х, !) = ) 6 (х — $, г) гр (з) дз, где 6 (х — $, !) = е !" — ь>0!"'*'!. Полагая здесь 1/ 4лаз! получим и (О, () = ( е ьи!ын!<р($) д$= 0, ! )/ 4лаЧ так как подынтегральное выражение есть нечетная функция. Решение задачи Коши а 6кх = 6! ~ 6' (х, $; 0) = б (х — $) — б (х + 5), ~ > О, непрерывное всюду в области В„кроме точек ( — $, 0) и (з, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой функцией Грина. Очевидно, 6 (х З' ')= — (екР[ ла! 1 е"Р~ 4а2! 1(. 4. Функция Грина задачи а'и,, + Г (х, () = и!, (48) и (х, 0) =- гр (х), (49) и,(0, () =ф(() (50) определяется следующим образом.
Функцией Грина 6" * (х, я; () задачи (48) — (50) называется решение задачи 2 а ~~„=6,', 6* ' (х, $; 0) = б (х — $), 6, (О, $; !) = О, х, $, ! > О, непрерывное всюду в замкнутой области В„кроме точки (з, 0). Для нахождения ее воспользуемся следующим свойством решения задачи Коши (46) — (47). Для решения задачи Коши (46) — (47) с четной функцией !р (х) выполняется тождество и„ (О, () =' О, г > О.
Действительно, дифференцируя функцию и (х, () = ) 6 (х — з, !) ср (з) сф ОО 123 по переменной х и полагая затем х = О, получим « и (О, Г) = ) — е ьм14 м1тр(еа)1($ = О, Ю так как подынтегральное выражение есть нечетная функция. Решение задачи Коши з ИВ ° Ф и тт«« =6т 6« е (х, 5, 0) = 6 (х — $) + 6 (х + $), $ > О, непрерывное всюду в области В„кроме точек ( — $, О) и ($, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой функцией Грина. Очевидно, 6"*(х и Г) = — а ) ехр ~ 4а«Г 1 + ехр~ 4а«Г Ц' 5.
Доказательство того, что функции (41) и (42) являются решениями задач а) и б), проводится совершенно аналогично предыдущему. 3 а м е ч а н и е 1. Из формулы (39) следует, что тепло рас- пространяется вдоль стержня мгновенно. Действительно, пусть начальная температура ~р (х) положительна на конечном отрезке (хм х,) бесконечного стержня и равна нулю вне (х,, х,). Тогда те~мпература произвольной точки х стержня равна «в и(х, Г)= ~ ~р($) 6(х — $, Г)Щ. «, Очевидно, при сколь угодно малых Г > 0 эта функция поло- жительна для любого х.
К такому выводу мы пришли вследствие недостаточной точности (грубости) физической модели, которой мы пользовались при постановке задачи Коши (например, при написании уравнения (36)). 3 а м е ч а н и е 2. Полученную формулу (39) можно рассма- тривать как свертку (см.
Дополнение) фундаментального ре- шения 6 (х Г) — е-«чиам1 Р«чпазт с начальной функцией ~р (х), т. е. и (х, Г) = 6 (х, Г) е ~р (х). Если в этой формуле в качестве начальной функции ~р (х) брать произвольную финитную обобщенную функцию, то и (х, Г) будет также решением задачи Коши. 6. Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 1. Решить задачу Коши Г иь х(0, ази =ил и(х, 0) = <р(х) =1 (и,, х~0. 124 По формуле (38) и (х, <) ) ф ($) б (х — $, <) ~ф = П р я м е р 2. Решить задачу Коши аги„„= и<, и (х, О) = Ае "*. По формуле (38) имеем и(х, <)=А ~ е 'б(х — ч, <)а$. Произведя замену переменной и = (з — х)<)к'4аз(к получим ОО А ~ — (к+яка У <) ак „ )к Ае к Г -<каа Уу- <кам+ц ак Ни = у-, ) + У <+кача ) / гах У< ( У<+за < 4к*а*< Ае " <-<-как< )Гй Произведя в последнем интеграле замену переменной по формуле 2ах )Г) + )' 1 -)- 4аз(<к =- (), получим РкГ+ 4аз< аа — */<<+4ам) ! ( — 6 «() А -кк<«+аак<) р я рГ! + 4аз< ) рк!+ 4аз< 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
