1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Начальная температура произвольная. 14. Решить задачу о температуре стержня 0 ( х ~ 1, иа концах и боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средами, име. ющими постоянную температуру. Начальная температура произвольна. ') Акусшичесхими резонаторами называются замкнутые объемы с отражающими звук стенками, предназначенные для усиления звуковых колебаний. 103 15. Давление и температура воздуха в цилиндре О ( х ( 1 равны атмосфер.
ным; один конец цилиндра с момента 1 = О открыт, а другой остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа в атмосфере равна ие = сопз(. С момента 1 = О газ диффундирует в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа Я (1), продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация в цилиндре равна нулю. 16.
Решить задачу 16, предполагая, что диффундирующий гаэ распадается со скоростью, пропорциональной его концентрации. 17. Найти электрическое напряжение в проводе О х < 1 с пренебрежимо малыми утечкой и самоиндукцией, один конец которого изолирован, а к другому приложена постоянная э. д. с. Ее. Начальный потенциал равен оэ = сопя(, а начальный ток равен нулю.
18. Найти электрическое напряжение в проводе с пренебрежимо малыми утечкой и самоиндукцией, если его конец х = 1 заземлен, начальный ток и начальный потенциал равны нулю, а к концу х = О приложена постоянная э. д. с. Еэ через сосредоточенное сопротивление )7е. 19. Проводящий слой О ~ х 1 был свободен от электромагнитных полей. В момент 1 = О всюду вне слоя возникло постоянное однородное магнитное поле Н„ параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при 1 > О.
26. Найти температуру стержня О ( х ( 1 с теплоизолиронанной боковой поверхностью, если его начальная температура равна нулю, один конец поддерживается при нулевой температуре, а другой теплоизолирован и с момента 1 = О в точке хе, О ч„ хеч 1, действует источник постоянной мощности 1Ч. 21. Найти температуру однородной пластины с нулевой начальной температурой, через грань х = О которой подается, начиная с 1 = О, тепловой поток постоянной плотности о, а грань х = 1 поддерживается при температуре и = = сопз1. 22.
Через проводник, имеющий форму плоской пластины толщины 1, пропускается, начиная с момента 1 = О, постоянный ток, выделяющий тепло с плотностью Я = сопз1. Найти температуру пластины при 1 > О, если на границах ее происходит отдача тепла в окружаюпгую среду по закону Ньютона. Температура среды равна ие = сопз(. Начальная температура пластины равна нулю. 23.
Начальная температура шара О ( г ( Я равна ие = сопз1, а на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру и, = сопя(. Найти температуру шара при 1 > О. 24. Поток тепла (за единицу времени) Я втекает через плоскую часть понерхности бруса полукруглого сечения и вытекает через остальную часть его поверхности. Найти стационарное распределение температуры по сечению бруса, считая, что втекающий и вытекающий потоки распределены с постоянными плотностями.
26. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины 1, закрепленного в сечении х = О. Решить задачу о крутильных колебаниях стержня, если в начальный момент 1= О стрелка была закручена на угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции стрелки относительно оси вращения равен 1е.
26. К струне О ( х ( 1 с жестко закрепленными концами с момента 1 = О приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью: а) Ф = = Феяп ю1; б) Ф = Фе соз ю1, где Фа = сопз(. Решить задачу о колебании струны. 27. Решить задачу о колебании струны О == х < 1 с жестко закрепленными концами под действием силы Е = Ее з!п ю1 (и Ез соз ю1), приложенной к точке хе с момента 1 = О, при отсутствии резонанса. 28. Найти температуру стержня О -= х ( 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если с момента 1 = О начи~ают действовать тепловые источники, распределенные по стержню с плотностью Ф (1) зш — х.
Начальная температура 1 равна нулю. Концы поддерживаются при нулевой температуре. 29. По стержню О ( х( 1, на боковой поверхности которого происходит конвектпвный теплообмен со средой нулевой температуры, движется печь со скоростью ое = сопз1. Поток тепла (в единицу времени) от печи к стержню равен 104 а = Ае, где Ь вЂ” коэффициент теплообмена, входящий в уравнение теплопро-лг водности для стержня иг = а'их„— йи. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю, а концы поддержива!отса прн нулевой температуре. 30. Решить задачу о продольных колебаниях стержня О ( х .. 1, если конец х = О стержня закреплен жестко, а к концу х = 1, начиная с момента 1 = О, приложена сила В = А ып ю( (и А сов ю1), А = сопз!.
3!. Решить задачу о температуре шара О < г ( В, если его начальная температура равна ие = сонэ(, а внутрь шара, начиная с момента 1 = О, через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности а = сопз!. 32. Стержень 0 == х ~ 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечн!ям сечением составлен из двух однородных стержней 0 ( х .
ха, ке ( х ( 1 с различными физическвми свойствами. Найти температуру в стержне, если его начальная температура равна 1(х), а ионны поддерживаются при нулевой температуре. 33. Найти температуру однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, в точке хе которого находится сосредоточенная теплоемкость Сэ. Начальная температура произвольна, а копны поддерживаются при нулевой температуре. 34.
Найти напряжение в проводе с пренебрежимо малымн самонндукцней и утечкой, если один конец его (х = О заземлен через сосредоточенную емкость Се, а к другому (х = 0) приложена постоянная э. д. с. Вю Начальный потенциал а начальный ток равны нулю. 33.
Найти решение первой внутренней краевой задачи в круге радиуса й для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) и (В, ~р) = А соз кЛ! б) и (В, ~р) = А + В з!п кЛ! в) и (г я = Ахйч г) и (Я, ~р) = — А з)пэ ф+ В соз' ф. 38. Решить вторую внутреннюю краевую задачу в круге радиуса г( для ура в. пения Лапласа с краевыми условиями. а) — = А; б) — ~ = Ах; в) — 1 =. А(хэ — у') ди ! ди ! ди дп )с ' дл )с '' дя с ди ! г) — ~ = А з!п ~р+ Вз!паф.
да )и Отметить неправильно поставленные задачи. 37. Решить первую внутреннюю краевую задачу в кольце В, ( г ( Яэ для уравнения Лапласа с граничными условиями и (, „= и,, и (, л =- иэ. Пользуясь решением задачи, найти емкость цилиндрического конденсатора, рассчитанную на единицу длины. 38. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической постоинной з — — зг для а ( г ( с и е .= за для с(г(Ь.
39. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса й, заря. женной до потенциала иэ и помещенной в неограняченную среду с диэлектри. ческой постоянной з, равной е = в, для В < г ( с и е = з, для г ) с. Рассмотреть частные случаи а) с = оо; б) е, = оо; в) зг =- вэ = з. 40. Найти решение внутренних краевых задач в кочьце В, < г < Вэ для уравнения би = А с краевыми условиями: ди ~ а) и(, л — — -и1, и(, Я вЂ” — иэ! 0) и(, Я и'' дп ="2. ди !г 4!.
Найти Решение кРаевой заДачи би = 1, и (г Я вЂ” — О, и ), Л = О в сферическом слое Й1 ( г ( Вэ. 42. Найти распределение потенциала электростатического поля и (х, у) внутри коробки прямоугольного сечения — а ( х < а, — Ь < у < Ь, две противоположные грани которой (х = -!-а) имеют потенциал )ге, а две другие заземлены. !05 Глава )с МЕТОД Д)ОАМЕЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ КРАЕВОГО РЕЖИМА Метод Дюамеля применяется к реснению задач о распространении краевого режима, т, е. задач вида с, [и) = р (М) ~ с и, и (М, 0) = ис (М, 0) = 0 (соответственно и (М, 0) = 0), (2) ди (1, 1)0, (и — „+Р ),=р(М.
))Ч()) Ч())=~ О О (3) н состоит в следующем. !) Сначала решаем задачу (1) — (3) со стационарной неоднородностью в краевом условии, т. е. с краевым условием вида (сс — „+ [1и) = т) ()) И(М, т) (стационарная неоднородность р (М, т) в краевом режиме включается с момента 1 = 0), где т -- фиксированное число. Пусть ис (М, 1, т) — решение этой задачи, непрерывное вместе с производными первого порядка и с производной ши в области (М ~ ~О; (~0)*). Тогда решением задачи (1) — (3) с краевыми и начальными уеловиями вида ( д ди а — + Рсс =з)(1 — т) р(сИ, т), сс[с, =и [~=,—— 0 дп (стационарная неоднородность [ь (М, т) включается с момента 1 = т) будет функция ш (М, ( — т, т) т) (1 — т). Заметим, что во внутренних точках М области 0 выполняются тождества ш (М, О, 1) = шс (М, О, () = О.
(4) 2) Решением задачи (1) — (3) с краевыми и начальными условиями вида сс [с, = ис [с, — — О, ( ди а — -'; — Ри1 р(М, т) [з) (1 — т) - — Ч (1 — - т — с(тП дп СЗ (стационарная неоднородность И (Л4, т) в краевом режиме действует лишь в течение промежутка времени от ( = т до 1 = т + + с(т) будет функция нс(М, с -- т, т) т)(с — т) -- ис(сИ, с — т — с(т, т) Ч (с -- т — с[т) = = — [нс (М, 1 — т, т) т) (с — т) ) с(т. д дс *) Рещение этой задачи надо трактовать как обобсценяую функцию, поскольку ч (с) Р (м, т) есть обобщенная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
