1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 17
Текст из файла (страница 17)
д. Если минимум того же функционала искать в классе функций А», принадлежащих А и ортогональных с весом р в области с] собственным функциям Ф„Фа, ..., Фе ы то этот минимум будет й-м по величине собственным значением Х,, а функция, на которой он достигается, — соответствующей ему собственной функцией Фь Доказательство этого предложения проводится аналогично.
3 а м е ч а н и е. Свойства 1 — 6 справедливы для собственных значений и собственных функций любого линейного эрмитова оператора. Доказательства их остаются прежними, так как при их проведении мы пользовались лишь свойством самосопряжснности оператора Е. В дальнейшем будем предполагать, что функция й (М) непрерывна вместе с частными производными первого порядка в О. С в о й с т в о 7. С ростом [е (М) (д (М)) собственные значения не убывают. Точнее, если lг, (М) р; йе (М) в К то Ц" ~Це'. Проведем доказательство для ач. Для любой функции Ф ~ А Рг [Ф, Ф] На [Ф, Ф1 ]Ф[' ]Ф]' где ]с, и )се — функционалы ]с, соответствующие функциям я, (М) и /ге (М). Следовательно, йг [Ф Ф] ° Ре [Ф, Ф] пп у,<п = [п[ '.„= ]п[ .,', = Х~ ФсА ~ ФЕА Для случая о, (М) ) с[а (М) доказательство почти дословно повторяется.
С в о й с т в о 8. С ростом р (М) собственные значения не возрастают. Точнее, если р, (М) ~ ре (М) в О, то Ц" ~ Х[,". Проведем доказательство для Х,. Для всякой функции Ф из А выполняется неравенство й[Ф, Ф] й [Ф, Ф] [~Ф[а [Ф[2 ') По основной лемме вариаиионного исчислении. 86 где []Ф[[р, и ][Ф[[, — нормы функции Ф с весами р, и р,. Тогда )„= 1п[ ~[~ ~] 1п[ ~[~ ~] =лГ' Фел [[ш[[р, Фел [[оз[[р, ч. т. д. Из свойств 7 и 8 следует, что в одномерном случае собственные значения )„с ростом п растут, как и'.
Действительно, рассмотрим наряду с уравнением — [й (х) Ф' (х)] — о (х) Ф (х) + Хр (х) Ф (х) = 0 (2?) уравнения lг,Ф" + (Хр, — д,) Ф = 0 й,Ф" + (),р, — о,) Ф = О, (28) (29) Поскольку уравнения (28) и (29) имеют постоянные коэффициенты, то собственные значения задач (28), (30) и (29) — (30) легко находятся; они равны лри' чр ~а= р й2+ Л вЂ” р р| яавр л;,= — й,+ р2~ ор По свойствам 7 и 8 собственные значения Л„задачи (27) — (30) заключены между Х„' и Х;;, т, е. )~л ~"в ~ й~.
Отсюда и следует справедливость высказанного утверждения. С в о й с т в о 9. С уменьшением основной области 0 собственные значения аер- Ю вой краевой задачи не убывают, т. е. если Р'с:0", то Х„'==1;;. .Р' Мы проведем доказательство этого свойства лишь для Х,. Каждой из областей Р' и Р" соответствуют свои классы функций А', А". Пусть некоторая функция Ф' принадлежит классу А'. Она равна нулю (в силу краевого условия на границе области Р') на той части 2,' границы области Р', которая содержится на Р" (рис.
17). Функция Ф", равная Ф' в области 0' и нулю в области Р" — Р' (заштрихованная часть), очевидно, принадлежит классу А". а? где й„дм р, — максимальные значения функций й (х), д (х), р (х) на отрезке [О, (!, йо до р, — их минимальные значения (или зцр и 1п(). Для определенности рассмотрим первую краевую задачу, т. е.
будем искать решения уравнений (27), (28) и (29),. удовлетворяюгцие краевым условиям Ф(0) =Ф(() =О. Если мы проделаем такую операцию с каждой функцией класса А', то получим новый класс функций А', содержащийся в А". Для всякой функции Ф и А' имеем Ри[Ф, Ф! = — ~ ФВ[Ф1йт = — ~ ФВ[Ф1йт=Я'[Ф Ф1 о" о ~ рФа йт = ~ рФзйт, о" о ибо эта функция тождественно равна нулю в В" — ьэ'. Поэтому Х[ = !п[ [ ' 1 = 1п[ [ ' 1 ) 1п[ ФрА [Ф[1 фсА, 1Ф[з ФрА" 1Ф[з Здесь [,Ф[[, н [[Ф[[з суть нормы функции Ф в областях 0' и аз", ч. т. д.
3. О п р е д е л е н и е, Собственное значение Х будем называть г-кратным, если число всех линейно независимых собственных функций, которые ему соответствуют, равно г. О п р е д е л е н и е. Собственное значение г будем называть простым, если любые две собственные функции, соответствующие этому ), линейно зависимы. С в о й с т в о 10. Все собственныезначенияодномерной краееой задачи (б) — (6) простые. Доказательство. Пусть Ф,(х) и Ф,(х) — собственные функции, отвечающие одному и тому же собственному значению ). Тогда обеэти функции являются решениями одного и того же уравнения — [[гФ'[ — аФ + )ьрФ = 0 и' и удовлетворяют одним и тем же краевым условиям на левом конце: у1Ф1 (0) — узФ~ (0) = О, у~Фа(0) — узФз(0) = О.
Эти равенства можно рассматривать как систему линейных уравнений для у, и у,. Поскольку у1 + у3 Ф О, то определитель этой системы равен нулю. Но этот определитель есть определитель Вронского [р' (х) для решений Ф, (х) и Ф, (х) в точке х = О. Известно *), что определитель Вронского, составленный из решений одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения, либо тождественно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль.
Так как в нашем случае Ж' (0) = О, то У (х) ив з О. Отсюда и следует линейная зависимость решений Ф, (х) и Ф, (х). Заметим, что для многомерных краевых задач это утверждение неверно. ") См. С т е и а н о в В. В. Курс дифференциальных уравнений, гл. Ч.— Мд Физматгиз, 1959. П р и м е р 6. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной мембраны с закрепленными краями под действием начального возбуждения. Стороны квадрата направлены по осям координат. Математическая постановка задачи: ааби = иы, и = и (х, у, !), (31) и (О, у, Г) = и (1, у, Г) = О, (32) и (х, О, Г) = и (х, 1, !) = О, (33) и (х, у, 0) = ф (х, у), иг (х, у, 0) = гр, (х, у).
(34) В классе функций вида Ф (х, у) ч (г) ищем решения уравнения (31), удовлетворяющие лишь краевым условиям (32), (ЗЗ). Подставляя такую функцию в уравнение (3!) и в соотношении (32), (33) и разделяя переменные, получим следующую задачу Штурма — Лиувилля: бФ+ЛФ= О, (35) Ф (О, у) = Ф (1, у) = О, (36) Ф (х, 0) = Ф (х, 1) = О. (37) Эту задачу также можно решать методом разделения переменных.
Будем искать решения в классе функций вида Ф (х, у) = А (х) В (у). Подставляя такую функцию в уравнение (36) и разделяя переменные, получим А" В" — + — + Л = О. А В А" В' Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы — =- — р и — + +Л=р, т. е. Аз+ РА =О, (38) Ве+ (Л вЂ” р) В = 0 или Ве+ аВ = О, (39) Из условий (36), (37) находим А (0) = А (!) = О, (40) В (0) = В (!) = О. (41) Таким образом, мы имеем первые краевые задачи (38), (40) и (39), (41). Собственные значения р и Л вЂ” р должны быть положительными (по свойству 6).
Как и в примере 1, находим пела а !а ра —— — (и=1, 2,,), пп Аа(х) = яп — х, а также пела ие= — (й=!, 2,, ) !е пй Ва(у) = з!п — у. па Но аз = Л вЂ” рп Следовательно, Ла, а = сса+Ра, или Ла ь= (па ( йе) !а где й и и независимо друг от друга принимают значения 1, 2, ... Таким образом, мы нашли собственные значения задачи (36) — (37). Им соответствуют собственные функции ' пп , па Фп, «(х, у) = з!п — хз!п — у. ! ! 89 Собственные значения Л„» и Л» „, очевидно, совпадают, а отвечающие им собственные функкии пи .
я/» я/; па 6»» » = а!и х 5!п и я Ф» а '= 3!п х 3!п д и' линейно независимы. Например, Лт а = Л, т = 5 —, /а ю и 2п, 2я и Фт 2 = з!п — х з)п — р и Фа » = 5(п — х з!п — !/. / / "' / ' / Таким образом, в этой задаче собственные значения не являются простыми. Решение задачи (31) — (34) представляется рядом — пи и/а и(х, у, /) =- 7 7 (с„»сов о 1 л„»/+(/„»з!п а'г' л„» /)з!п — хмп — у, .у д в котором коэффициенты Сд, » и //„, » вычисляются по формулам / ! 4 Г Г . пп пя с., » = — ) ) т (а ч) !и — а !п — чиянч !а ) ) о о / 4 Г Г па и/г //, »= ) ) Гр,($, т!)Мп — $з1п — Чалой~. '/'оо 4. Метод Фурье применяется и для решения краевых задач (1) — (3), в которых коэффициент й (М) имеет точки разрыва в области О.
При определенных условиях, которые будут указаны ниже, остаются справедливыми все свойства собственных функций и собственных значений задач вида (5) — (6) с разрывным коэффициентом й (М). При доказательстве свойств с. з. и с. ф. мы опирались на первую формулу Грина, которая получается непосредственно из формулы векторного анализа Г((ч(р 'Е) = р»((уЕ+ (Чр, Е) и формулы Остроградского )' Йу(йЧФ)Г(т — ) /à — /(и. о 3 Если для задач вида (5) — (б) с разрывным коэффициентом /е (М) мы укажем условия, при которых справедлива формула Остроградского, то при этих условиях верна будет первая формула Грина н, следовательно, все рассмотренные нами свойства собственных функций и собственных значений.
При этом в доказательстве этих свойств ничего не изменится. Пусть д' — множество точек области В, ограниченной поверх.ностью 5, в которых функция /е (М), входящая в оператор Йу (/е т/Ф), разрывна. Будем полагать, что множество д' представляет собой совокупность точек конечного числа поверхностей (линий в двумерном случае) 5/, принадлежащих области »/, разбивающих область 0 на конечное число попарно не пересе- 90 кающихся подобластей О!, ограниченных поверхностями 5; и 5 и таких, что О=О,+О,+...+О„. Предполагаем также, что в каждой из подобластей О! коэффициент Й (М) непрерывен вместе с частными производными первого порядка по координатам точки М. Как и прежде, полагаем, что д (М) и р (М) непрерывны в О и для М~О й(М) )О, о(М)) О, р(М) )О. Такие коэффициенты й (М), о (М), р (М) будем называть допустимыми, а области О, — областями гладкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
