1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(Р) д' 1/ Х„[Ф. [[г [Ф„[[ = ! о(Р) Ф„(Р) с/тр, а для уравнения параболического типа — в виде ряди (7,). Число ЦФ„[[ называется нормой функции Ф„(М). Длн доказательства этой теоремы нам понадобится следующая Л е м м а. Оператор Ь [Ф ! = 8[э (й т7Ф) — дФ является само- сопряженным на функциях класса А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Скалярное произведение функций Ф, и Фг определим как интеграл (Ф,, Фг) = ~ Ф,Ф,с/т. о Используя известную формулу векторного анализа р б[ч (Е) = = д[ч (рЕ) — (Е, др) для р = Ф„Е= ягрФ„скалярное произведение (Ф„ /. [Фг !) можно записать в виде (Ф,, /.
[Фг1) =- ~Ф,/ [Ф,[йт = о =- ! д[ч(/сФс ч'Фг)дт — ~ я(т7Фг, чФг) с!т — ~дФ,Фгдс. о о о Первый интеграл правой части согласно формуле Остроградского дФг равен ! /сФ, — с/о, поэтому дв (Ф,, / [Фг[)- — — — ~, /г(ГФь ~'Фг)с/т — ! дФгФгдт 1- ! /сФ, д' гсЬ. (8) о о Эту формулу часто называют первой формулой Грина. Аналогично получим (Ф,„ /. [Ф, 1) = — ~ /г (юг И)г) с/т — ~ с/Фгфа с/т + ~ йФ, — „.
' сЬ, (8,) о о Я Если мы имеем дело с первой нли второй красной задачей, то ! /сФ, дв сЬ= ! /сФг дв сЬ=(1, так как Ф, [з =- Ф, [з — — О, дФг с дФг дФг ! дФг ( или соответственно — ~ = — ( = О. В этих случаях пз (8) дп [з дсг р и (8,) справедливость равенства (Ф„ /. [Фг!) = (Ф„ /. [Ф,!) следует непосредственно. В случае третьей краевой задачи нз 76 краевых условий находим — ~ = — — Ф, и — ~ = — — Ф, дФ1 ! 7» дФ» ! т» дл !з т, дп ~з 71 Подставляя эти значения производных по нормали в формулы (8) и (8,), получаем требуемое равенство. 3 а м е ч а н и е.
Из формулы (8) (или (8,)) следует, что для функций Ф из класса А (Ф, Ь (Ф )) ~ О. Доказательство теоремы 2. Пусть и(М, Г)— искомое решение. Поскольку оно при всяком Г ) 0 принадлежит классу А, по теореме Стеклова его можно представить в виде ряда Фурье и(М, Г) = ~ Ч' (Г) Ф„'(М), (9) где Ч'„(Г) = Ф, ! р(Р) и(Р, Г) Ф„(Р)йтп.
(10) о Используя уравнение (5) для Ф„(М), последнюю формулу можно преобразовать к виду — 1 à — (и, Е (Ф„!) Ч'„(Г) =,, )~ иГ !Ф„! Г(т = о или, согласно лемме, Ч"„(Г) =,, ~ Ф„(Р)Ь!и) Г(т. о Используя уравнение (1), получаем '!'» (Г) = Ф !» ~ р Ф»ии Г(т 7 1Ф» !» о с в 1 или Ч'„(Г) =,„, ) рФ„и, Г(т), откуда, сравнивая получено ный результат с формулой (!0), имеем Ч'„(Г) = — Ч'"„ГХ,.„т. е. Ч';, + Х»Ч'»ге О (или Ч"; + Х„Ч"» га 0). Таким образом, функция Ч"„(Г) является решением уравнения Ч'" + Х„ЧГ = 0 и, следовательно, может быть записана в виде Ч"„(Г)=С„сову'7,„!+0„з!пу ~.„Г (илн Ч'„(Г)=С„е х '), где С„= Ч'„(0), В„у'7~„= Ч"~, (0). Используя формулу (10), находим С„=Ч'„(0) = —,) р(Р) и(Р, 0) Ф„(Р) йт = 1Ф ~!а о , ) р (Р) <р (Р) Ф„(Р) Г(т, о В„= " = ~ р(Р)Гг,(Р)Ф„(Р)Г(т, !' х»!Ф, ! ч, т,д.
77 Предположив существование решения задачи (1) — (3), мы пришли к заключению, что опо представляется рядом (7), следовательно, оно единственно *). Для уравнения гиперболического типа функции и„(М, 1) можно записать в виде и„= В„з1п (р' Л„1 + 0„) Ф„(М), где В„= у С,', + Р,'„О„= агс1д — '. 0ь Движения, описываемые такими функциями, называются собственными колебаниями, а также стоячими волнами; и„(М, 1) — основной тон, а и, (М, 1), иэ (М, 1), ... — обертоны.
Числа р' Ло рсЛэ, ... называются «остоталш собственныт колебаний (основного тона и обертонов). Частоты собственных колебаний не зависят от начальных условий. Физически это означает, что частоты собственных колебаний ие зависят от способа возбуждения их. Они характеризуя>т свойства самой колеблющейся системы п определяются материальными константами системы (например, скоростью звука в среде), геометрическими факторами (формой, размерами) и режимом на границе.
Собственная функция В„Ф„(М) дает профиль амплитуды стоячсй волны. й 3. Основные свойства собственных функций и собственных значений 1. Обратимся к рассмотрению следующих свойств собственных функций и собственных значений. С в о й с т в о 1. Если Ф есть собственная функция, отвечающая собственному значению Л, то и СФ (С вЂ” константа) есть собственная функция, отвечающая тому же собственному значению. С в о й с т в о 2. Если Ф, и Ф, — собственные функции, отвечающие собственному значеншо Л, то и любая линейная комбинация С,Ф, + С,Ф, есть собственная функция, отвечающая тому же Л.
Справедливость этих утверждений очевидна. С в о й с т в о 3. Собственные функции Ф, и Ф„отвечающие Различным собственным значениям Л, и Л, (Л, -1:= Л,), ортогональны в области Р с весом р (М), т. е. ~ р(Р)Ф,(Р)Фэ(Р) йт = О. о Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению собственных функций и собственных значений имеем тождества 1 (Ф,) + Л,рФ, == О, Е (Фэ! + Л,рФ, == О. *) Мы прм этом опирались нэ теорему рээложпмостп. Умножим первое из них на Ф„второе на Ф, и результаты вычтем один из другого.
Интегрируя тождество Ф,1 [Ф,) — Ф,1. (Ф,) = ()., — ).,) рФ,Ф, по области О, получим (Фг 1(Фз)) — (Фт 1 (Фа)) =-()с. — Хт) ~рФзФгс)т. о В силу самосопряженности оператора 1 ") левая часть этого равенства равна нулю. Следовательно, и ~ рФ,Фгс)т = О, ибо Хт+ Хг, ч. т. д. о Если собственному значению Х отвечают г линейно независимых собственных функций Ф,, Ф„..., Ф„то эти функции не обязаны быть попарно ортогональными. Однако мы можем заменить их другими собственными функциями Ф„Ф„..., Ф„являютцимися их линейными комбиницнями и притом попарно ортогональными. Действительно, полагаем Ф, = Ф„. Если ~ рФ,Ф.,с(т = О, о то полагаем Ф,=Ф,; если же ~ рФ,Ф, Лт ~ О, то полагаем о Г Ф, == Ф, + В,Ф,. Константу В, находим из условия ) рФ,Ф, с( т = о = О, т.
е. из уравнения ) рФ~ с(т + В~ )' рФ1Фг с(т = О. о о Если Фз ортогональна функциям Ф, и Ф,, то полагаем Ф, = Ф,. Если Ф, ортогональна Ф„ но не ортогональна Ф„ то полагаем Фа = Ф, + ВзФ, и В, находим из условия рФз Фг г(т = ~ рФг с( с + Вз ) рФгФз с(т = О. о о о Если Ф, не ортогональна функциям Ф, и Ф„то полагаем Ф, = =- Ф, + В;гФ, + В„Ф,. Константы В„и Взз находим из условий ) рФтФа г(т = О и) рФ,Ф, с(т =- О, т. е. пз уравнений о о ~ рФ а(т + Взг ~ рФ~ Фг г(т+ Вм ~ рФ,Фз бт = О, о о о ) рФ1Фгс(т+ Взг ) оФга(т+ Вез ) рФгФзс(т= О о о о и т.
д. *) Собственные функции принадлежат классу А. Продолжая этот процесс ортогонализации, мы построим г собственных функций Ф„, Ф„..., Ф„отвечающих тому же собственному значению Л и уже попарно ортогональных. Предполагая в дальнейшем, что такой процесс ортогонализации проведен (если в нем была надобность), мы можем утверждать, что любые две линейно независимые собственные функг[ии краевой задачи (5) — (6) ортогональны в области ь с весом о. С в о й с т в о 4.
Все собственные значения задачи (5) — (6) вещественны ы. Действительно, предположим, что Л = а + (р ([з + О) является собственным значением, а Ф = Ф, + [Ф, — отвечающей ему собственной функцией. Тогда выполняется тождество Е [Ф, + (Ф, ] + (а + (р) р (Ф, + (Ф,) = О. Следовательно, Е [Ф, ] + арФ, — [3рФ, = =О, 1' (Е [Ф, ] + арФ, + [3рФ,! = — О. Вычитая почленно эти тождества, получим 1 [Ф, — Ю, ] + (а — 1[)) р (Ф, — (Ф,) = О.
Таким образом, Л = а — (р и Ф = Ф, — 1Ф, являются собственным значением и собственной функцией той же задачи. По свойству 3 ! р(Ф1+ [Фг)(Ф~ — (Фг)йт= О, или ! О(Ф1 ]-Фг) дт = О что невозможно. С в о й с т в о 5. Все собственные значения задачи (5) — (6) неотриг(отельны. Для доказательства умножаем тождество Е [Ф„[ + Л„оФ„ = 0 на Ф„и результат интегрируем по области О. Получим ~ Ф„Е [Ф„]дт-] Л„! рФс йт = О, откуда о о Поскольку — (Ф„, Е [Ф„[) ) 0 (см.
стр. 77), то Л„) О. 3 а м е ч а и и е. Для первой и третьей краевых задач все собственные значения п о л о ж и т е л ь и ы. Для второй краевой задачи с о (М) = 0 Л = 0 является собственным значением, а Ф э— з 1 — отвечающей ему собственной функцией. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода Фурье решения краевых задач и задач Штурма— Лиувилля. П р и м е р !. Пусть требуется найти решение задачи *) а'ихх = им, и (х, 0) = гр (х), и! (х, 0) = <рд (х)", и (О, 1) = и (1, 1) = О, непрерывное в замкнутой области В ==- (О еС х.-= 1; 1) 0). Заметим, что из условия непрерывности решения в замкнутой области В и краевых условий следует, что начальные значения решения у (х) должны удовлетворять соотношевиям ш (0) = у (1) = 0 (условия согласованности).
Р е ш е н и е. Среди функций вида Ф (х) Ч' (1) ищем такие решения уравнения (|1), которые удовлетворяют только краевым условиям задачи. Подставляя Ф (х) Ч' (1) в уравнение, получим Ф" з!ы Ф а'Ч' Следовательно, Ч'"+ аэЛЧ' = 0 и Ф" + ЛФ = О, . Ф (0) =- Ф (1) = О. (|2) Это — первая краевая задача. Все ее собственные значения положительны. Поэтому общее решение задачи (12) можно записать в виде Ф (х) = А соз Р' Лх+ В з|п РгЛх. Из краевого условия на левом конце находим А =- О. Следовательно, Ф (х) = В з|п РгЛх и В + О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
