1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В момент времени 1 = 0 конец провода был заземлен через сосредоточенное сопротивление Ра. Найти напряжение и ток в проводе при 1 > О. 8. Концы струны х = 0 и х = 1 закреплены жестко. Начальное отклонение и (х, 0) =- А Мп — х (О < х : 1), а начальная скорость равна нулю.
Построить 1 профиль струны для моментов времени 1а = — й (й = 1, 2, 4). 2а 9. Решить задачу о колебании бесконечной струны под действием сосредоточенной поперечной силы Р (1)(для 1 > 0), если точка приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью па из положения х = О, причем па ( а. 1О. Конец х = 0 полубесконечного провода с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой на единипу длины в момент времени 1 = 0 присоединяется к источнику э. д. с, Е = 1(1).
Найти напряжение и (х, 1) в этом проводе. ?О 11. Конденсатор емкости Со, заряженный до потенциала У, разряжается в момент времени 1 = О на бесконечный провод с параметрами (7., С). Найти ток в проводе. 12. В газе, находящемся в состоянии покоя, создано в момент времени 1.= = О уплотнение Зо, локализованное в обьеме, ограниченном заданной поверхностью о. Найти уплотнение 3 (а4, 1) как функцию площади о? части поверхности сферы Зм, которая заключена внутри а. 13. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами вида иыихх + 2атзик? + а„иы + Ьтих + Ьзи? Р си = О имеют решения в виде произвольных бегущих волн 1(к — аг), где а = сопз1? (Нет дисперсии.) 14.
Какие уравнения задачи 13 имеют решения в виде произвольных бегущих волн с затуханием е и 1 (к — Ш)? Глава )У МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (метод разделения переменных) Одним из наиболее широко применяемых в математической физике методов является метод Фурье. Типичными задачами, к решению которых применяется этот метод, являются краевые задачи в ограниченных областях для уравнений гиперболического и параболического типа. Существо метода, состоящего в представлении искомого решения в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций, связанных с рассматриваемой задачей, лучше всего можно понять на простейших из них — на однородных краевых задачах.
А(ы будем рассматривать параллельно краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типа. Вопросы существования решения задач, рассматриваемых в этой главе, мы, как правило, не будем рассматривать. Вопросы единственности их решений рассматриваются в гл. ьгП(. 5 1. Предварительн ые пон ят и я Если каждой функции Г из множества Н, поставлена в соответствие функция гр из множества Н„то говорят, что на множестве Н, определен оператор Т со значениями из множества Н„и пишут ф = Т1 или ор = Т (7" 1. Например, оператор к Т1 в 1 7 ($) Л$, 0 ( х мр а, о определен на всех функциях, интегрируемых на отрезке 10, а1, и функции гр (х) =- Т1 непрерывны на отрезке (О, а1.
Пусть оператор Т определен на множестве Н, и Т1 ~ Нв для всякой функции 1 из Н,. Будем полагать, что множества Н, и Н, принадлежат некоторому множеству (пространству) Н, для любых 7! двух элементов которого ф, и ф, определено понятие скалярного произведения (ф„ф,), обладающее свойствами *): 1) (ф фв) = (ф ф)' 2) (ф, + ф„фв) = (фм фв) + (ф„ф,); 3) (Лфъ фе) = Л (ф» ф,), где Л вЂ” произвольное число; 4) (ф, ф) > О, причем (ф, ф) =- 0 только для ф = О. Пространство Н предполагается линейным, т.
е. таким, что: а) если ф, ~ Н н фе ~в Н, то фт+ фе ~в Н; б) если ф еа Н и Л вЂ” число, то Лф тв Н. Оператор Т*, определенный на множестве Н„со значениями из множества Н, называется сопряженным оператору Т, если для всяких 1 я Н, и ф ~ Н, справедливо равенство (ф, Т)) = (1, Т",) Если Т вЂ” Т", то оператор Т называется самосопряженным или эрмитповым. $ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции и собственные значения 1.
Пусть требуется найти функцию и (М, 1), удовлетворяющую для 1 ) 0 уравнению [ Рии Йч (И7и) — ди = ~ (1) $ рис в области О, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью 5, непрерывную в замкнутой области В: — ) М я 0; 1 ъ 0), где О = О + 5, и удов.петворяющую дополнительным условиям: краевому (у~ Ж +фи) (2) ') й' — гильбертово иростраиство.
и начальным и (М, 0) = ф (М), и~ (М, 0) =- ф, (М) (соответственно и (М, 0) = ф (М)). (3) Если ввести обозначение 1. [и] = б[ч (й фи) — ди, то уравнение (1) можно написать в виде ( рии, т'. [и] = ~ (1') ~ рие Это уравнение и краевое условие (2) — линейные и однородные. Следовательно, если и, и и, суть решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (2), то и функции и =- с,и, + с,и,„где с, н ст — константы, будут также решениями уравнения (!), удовлетворяющими условию (2).
Попытаемся с помощью суперпозицин всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих краевому условию (2)) удовлетворить и начальным условиям (3) *). Для этого будем искать нетривиальные *е) частные решения уравнения (1), удовлетворяющие краевому условию (2), в классе функций вида Ф (М) Ч' (1), где Ф (М) непрерывны в Б, Ч" (1) непрерывны в 0 ~ 1 ( оо. Подставляя функцию Ф (М) Ч' (1) в уравнение(1) и деля обе части уравнения на р(М)Ф(М) Ч" (1), получаем ( Ч" ' соответственно †). р )' Чтобы это равенство было тождественным (т.
е. чтобы функция Ф (М) Ч" (1) удовлетворяла уравнению (1) при всех (М, 1) ш В), необходимо и достаточно, чтобы обе дроби Ь (Ф)!(рФ) и Чг'УЧг были равны одной и той же константе: ь (Ф! ч'" рФ т' ' Таким образом, должны выполняться тождества Ч"" + ЛЧт =: — 0 (Ч"' + ЛЧ' ==- 0) и Ь (Ф! + ЛрФ =- О. Следовательно, в качестве функций Ч" (1) и Ф (М) надо брать нетривиальные решения уравнений Ч'" + ЛЧ' = 0 (соответственно Ч"' + Лт1г =- 0), 1. (Ф) + ЛрФ = О, (4) (5) причем функция Ф (М) должна удовлетворять краевому условию (Тт лн '- ТтФ) = О.
(6) Задачу (5) — (б) называют задачей Шпгурма — Диувилля. Она имеет нетривиальные решения не при всех значениях Л. О п р е д е л е н и е. Те значения Л, при которых задача (5) — (6) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями (с, з.) краевой задачи (5) — (6), а соответствующие им нетривиальные решения Ф (М) задачи (5) -(6) — собственными функциями (с. ф.) краевой задачи (5) — (6). 2. Для каждой краевой задачи (однородной или неоднородной), поставленной в области 1), ограниченной поверхностью (линией) В, определим класс А функций Ф (М). При рассмотрении краевой задачи первого типа к классу А отнесем все непрерывные в замкнутой области 0 функции Ф (М), обращааощиеся в нуль на поверхности (линии) Я. При рассмотрении 73 *) По аналогии с решением задачи Коши для обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения.
'') То есть ие равные тождественно нулю. краевой задачи второго или третьего типа к классу А отнесем все непрерывные в 0 вместе с частными производными первого порядка по координатам точки 7И функции Ф (М)„удовлетворяющие на границе В условиям: д໠— =О для краевой задачи второго типа дв ( дв» у, — + у,Ф) = О для краевой задачи третьего типа. Здесь коэффициенты у, (М) и у, (7И) те же самые, что и в краевом условии рассматриваемой задачи. В дальнейшем будем предполагать, что функции й (М), д (М), р (М) непрерывны в области е) и й (М) > О, д (М) ~ О, р (М) > О в )7.
При этих условиях справедлива Т е о р е м а 1. Существует бесконечное (счетное) множество собственных значений )Х„), п = 1, 2, ..., и соответствующих им собственных функций )Ф„(М)) краевой задачи (5) — (6), принадлежащих классу А. Доказательство этой теоремы мы опускаем. 3 а м е ч а н и е 1. Если заранее ограничиться рассмотрением функций класса А, то вместо слов «собственные значения и собственные функции краевой задачи (5) — (6)» можно говорить: «собственные значения и собственные функции оператора Е». 3 а м е ч а н и е 2.
Указанные выше условия на коэффициенты й (М), д (М), р (М), у, (М) и у«(М) являются лишь достаточными для существования собственных значений и собственных функций. В дальнейшем будут рассмотрены примеры краевых задач, в которых некоторые из этих условий не выполнены. В этих случаях существование с. з. и с. ф. будет установлено фактическим нахождением их. 3.
Напомним, что рядом Фурье функции 7' (М) по ортогональной с весом р (М) > О системе функций )Ф«( И)) называется ряд ~~ с»Фв(,И), ».=! в котором коэффициенты с» вычисляются по формулам с» =, . ~ )'(Р) р(Р) Ф» (Р) дтр, )~Фь))' =- ~ о (Р) Ф» (Р) йтя. о о Собственные значения и собственные функции краевой задачи (5) — (6) обладают рядом свойств, нз которых мы сформулируем прежде всего следующее. Теорема разложимости (Стеклова). Всякая функция 7' (М) из класса А разлагается в ряд Фурье по собственным 74 функциям краевой задачи (Б) — (6), абсолютно и равномерно сходящийся в области О.
Доказательство этой теоремы мы опускаем *). 4. Вернемся к рассмотрению задачи (!) — (3). Ее решение можно построить методом Фурье. Его называют также методом разделения переменных. Сущность этого метода состоит в следующем. а) Ищем решения уравнения (1), удовлетворяющие только краевым условиям (3), среди функций вида и (М, !) = Ф (М) Ч' (!). Для функции Ф (тИ) получаем задачу Штурма — Лиувилля (5) — (6). б) Решаем задачу Штурма — Лиувилля. Пусть Ф, (М), Ф, (тИ), ..., Фо (М), ... суть собственные функции этой задачи, а Л„Л.„..., Л„, ... — отвечающие им собственные значения. в) Для каждого собственного значения Л„находим решение уравнения (4). Общее решение его имеет вид Чг„(1) = С„соз у Л„у+ !?„з1п у Л„! для уравнения (1) гиперболического типа и тР„(1) =С„е " ' для уравнения (1) параболического типа. г) Таким образом, частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими только краевым условиям (2), являются функции вида и„(М, !) = (Ся сов рсЛ„1+ О„з1п 1/ Л„1) Фа(тИ) для уравнения (1) гиперболического типа и и„(М, 1) = С„е "Ф„(М) для уравнения (1) параболического типа.
д) Возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям Ю и(М, 1)= ~; (С„сову'Л„(+Т?„з1пу'Л„г)Ф„(М) (7) л=.1 пли и(М, !)= ~ С„е '"Ф„(М). а=1 Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать коэффициенты С„ и 0„, чтобы эти суммы были решением задачи (1) — (3)? Положительный ответ дает Т е о р е м а 2. Непрерывное в замкнутой области В = =(М ~н ш Б, ( ) 0( решение задачи (1) — (3), принадлежащее соответствующему классу А при всяком фиксированном значении ( ) О, ') Для одномерного случая ага теорема будет доказана в гл. Х1. для уравнения гиперболического типа предсгпавляется в виде ряда (7), где С =, ~ р (Р) ср (Р) Ф~ (Р) с/тр, Π— !' р (Р) 'ЫУ) Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
