1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Из краевого условия на правом конце находим В зш и' Л! = О. Следовательно, з|п 'ггЛ! = О, откуда Р'Л1 = лп и Лл = лэпэ1!э (л = 1, 2, 3, ...). Таковы собственные значения. Соответствующие им собственные функции суть лл Ф„(х) =- з|п — х. 1 Для каждого Л„находим апл алл Ч~л (1) == Сл сов — 1+ 1)аз|и — 1. 1 1 Согласно теореме 2 (5 2) искомым решением задачи будет функция алл алл т , пл и (х, 1) = ~ (Сл соз — 1+ Вл 5|п — 1) з|п — х, ) л= — ! где 2 г лл 2 1 ., пл Сл == ~ <!' ($) Б!и — 5г|ь, 1)а — — — ) ЧЧ (С) 5|п — дад, 3 . ! " — алл ) ! э а нбо 2 |)Фа||э = — щпз — ~ ЛС =- —.
1 П р и и е р 2. Пусть требуется решить задачу а'ихх —— ил и (х, 0) = ~р (х), их (О, 1) = их (1, 1) = О. *) Напомним, что эту задачу мы решили в гл. !П методом характеристик. Тогда мы продолжали начальные значения ~р (х) и грт (х) нечетно относительно точки х = 0 на отрезок ( — 1, 0) и затем периодически па всю прямую. Затем к продолженным значениям применяли формулу Даламбера.
Читателю пред. лагается непосредственно показать, что решение, полученное методом характеристик, совпадает с решением, полученным методом разделения переменных. Как и в предыдущем примере, находим Ф" + ЛФ = О, Ф' (0) = Ф' (!) = О, Ч' + азЛЧ' = О. (13) Здесь мы имеем дело со второй краевой задачей и Ч == О. Следовательно, Л = 0 будет собственным знцчениелд, а Ф (х) = 1 — отвечающей ему собственной функцией. Остальные собственные аначения и собственные функции находим, как н в примере 1: Ф (х) = А соз Р Лх+ В з!п Р Лх.
Из условия Ф' (0) = 0 находим В = О. Следовательно, А --' 0 и Ф (х) =- = А соз Р Лх, Из условия Ф' (1) = 0 находим з!п 'гГЛ1 = О, следовательно, Р' Л( = пл и Л„= пдл'1Р (л = 1, 2, 3, ...). Таким образом, пе 4лд леле О, — — , — — собственные значения, Гз д Га д Гд л 2л лл 1, соз — ' х, соз — х, ..., соз — х, ... — собственные функции. Для каждого Лл находим соответствующие функции Ч'„(!): Ч'г(!)==Спе " (а=О, 1, 2, Искомым решением задачи будет, согласно теореме 2 (6 2), фувкция чл и(х, !)= у С е и соз — х, л л=о ГДЕ (14д) (15д) (1бд) ! ! ! Г 2 Г лл Се=- — [ грЯ)д($, Са= — [ др(~)соз — $Щ (л=1, 2, 3,, .), о о ла ]Ф ]д=.1, [)Фл1а=-~ созе — $д(5= — (л= 1, 2, ...).
1 ' " 2 о П р и м е р 3. Решить задачу о температуре однородного стержня длины 1, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно постоянные температуры ид и ид. Начальная температура произвольная. Математическая постановка задачи: а'ихх = ид, (14) их (О, !) — йд [и (О, !) — ид] =- О, (15) их (1, !) + 5 [и (1, !) — - и ] = О, (! 6) л (х, 0) == Ч'(х).
(17 ) Ищем решение в виде и (х, !) = о (х) + ю (х, !), где о (х) — решение урав- нения (14), удовлетворяющее краевым условиям (15) и (16), т. е. о" = О, о'(0) — Ьд [о (0) — ид] = О, о' (1) + й, [о (1) — и,] = О. Для функции и (х, !) задача ставится следующим образом: аде„=иы (14д] юх (О, !) — йдю (О, !) = О, (!5а) юх (1, !] + 5, (1, !) = О, (Рб ) ш (х, 0) = дрд (х) = др (х) — о (х).
(17,) Функция о (х) описывает стационарный режим, а ю (х, !) — отклонение от него. Решаем сначала задачу для о (х). Общее решение уравнения (14,) имеет вид о (х) = С,х+ Сз. Постоянные С, и Сз определяем из краевых условий (!5,), (16,): С, — й, (Сз — и,) = О, С, + йз [Ст(+ Сз — и,) = О, откуда й,й,(и, — и,) С,=„„„„,, С,=и,ф — „ Таким образом, стационарный режвм найден. Задачу для ш (х, С) решаем методом разделенна переменных. Среди функций вида Ф (х) Ч' (С) вщем решении уравне- ния (14,), удовлетворяющие лишь краевым условиям (!5,), (16,). Подставляя функцию Ф (х) Ч' (С) в уравнение (!4з) и в краевые условия (15з), (16а), получим Ф" +ЛФ = О, (18) Ф' (О) — й,ф (0) = О, (19) Ф (1) + й,Ф (П = О, (20) Ч" + азЛЧ' = О. (21) В силу свойства 5 задача (18) — (20) имеет лишь положительные собственные значения.
Поэтому общее решение уравнения (18) можно написать в виде Ф (х) = А соз )/ Лх+ В з!п 1/ Лх. Из краевого условия (19) находим В)/Л = йхА. Следовательно, Ф(х) = — ()/Л соз 1/ Л х+ йс з)п 1/Л х). й, (22) множитель В/йх отнесем за счет функции ч' (с). подставляя функцию (22) в соот- ношение (20), получим уравнение для определения собственных значений: где р = 1/Л!. Пусть р,, рз, ", рп, "— положительные корни этого уравнения. Тогда собствевиыми значениями будут числа Л„= рзПс, Собственные функции будут иметь вид Фп (х) = соз х 1 йсз!п х рп !сп Рп Они ортогональны на отрезке [О, !1 с весом р = 1. Обратимся к уравнению (21).
Его общее решение при Л = Лп имеет вид — а*с. с '1'и (С) = Спе Тогда — ее Хп С ш(х, С) = ~ Спе "Фп(х). п=! Коэффициенты С„находим из начального условия, пользуясь ортогональностью собственных функций Фп (х): С„=-, [ Чсс(Х) ! — соз — 8 (-й, ч)п — $) с)О, 1 Г / рп !сп рп -[Ф„!!з3 1,! ! - ' ! о с [ Фп [р =- ~ 1 — соз — $ + й, Мп — $ ) с)6. / !сп !сп . )сп о 83 э 2— Т а ихх = им ' ~а = — 1, ро и (х, 0) = а (х), и, (х, 0) = <рт(х); гр (0) = О, и (О, 1) = О, Тих (1, 1) = т,иы (1, 1).
В классе функций Ф (х) Ч' (1) ищем решения, удовлетворяющие лишь краевым условиям. Разделяя переменные, находим Ч"" + аэЛЧг = О, Ф'+ЛФ=О, Ф (0) = О. (23) (24) (25) Краевое условие на правом конце запишется в виде ТФ' (1) Ч' (1) — тэФ (1) Ч'" (1) = О. Заменяя в нем Ч'ч (1) из уравнения (23) на Ч' (1) и деля обе части равенства на Ч" (1), получим Ф (1)+ХЛФ(1) =О, (26) где Х = а'тэ(Т. Решения уравнения (24), удовлетворяющие условию (26), имеют вид Ф (х) = = з!п )ТХх. Из условия (26) находим уравнение для определения собственных значений Ла ) 0; (й р = (1(йр), р = ~"Х1. Им соответствуют собственные функции Ф„(х) = з!п — х.
Ра Нетрудно непосредственно убедиться, что они не ортогональны друг другу с весом р (х) .: — !. Этот факт не противоречит общей теореме об ортогональности собственных функций, поскольку краевое условие (26) не является обычным краевым условием третьего типа: оно содержит явно (а не через собствевную функцию) собственное значение Х. Чтобы понять, какая ортогональность будет иметь место, заметим, что уравнение для и (х, 1) можно записать в следующем виде: Ти„„= [рэ+ те6(х — 1)) иы. Следовательно, уравнение для собственных функций можно написать в виде ТФ" + Хр (х) Ф = О, где р (х) = ре+ тэб (х — 1). Поэтому собственные функции Ф„(х) будут ортогональны с весом р (х).
Легко проверить это и непосредственными вычислениями. Далее действуем по обычной схеме. Находим Ч'и (1), тогда и(х, 1) = ~ (С„соз — 1+ 0аз!и — 1 ! э!п — х. "Рп ара Х Ра л=! 3 а м е ч а н и е. Описанный в этом примере способ построения решения путем выделения стационарного режима и последующего нахождения отклонения от него применяется к широкому классу задач со стационарными (т. е. не зависящими от времени) неоднородностями, содержащимися в уравнении илн в краевых условиях (или н в уравнении, и в краевых условиях). П р н м е р 4.
Решить задачу о поперечных колебаниях струны, один конец которой жестко закреплен, а другой свободен, если на свободном конце имеется сосредоточенная масса тэ и начальвое возбуждение произвольно. Математическая постановка задачи: Из начальных условий определяем коэффициенты Св н сов, пользуясь ортого- нальностью собственных функций с весом р = ро+ той (х — 1): с„= —.)]~о(вч.ае+ чо>ч.о>). 1 !Фв ~)а о ! Г)[ыь Мч.аа. ФЛ~.я). арв]Фв Р о [1 ср„[)~ =- р„) Фо Я) Ей + т Фа (1). о 2.
Вернемся к рассмотрению свойств собственных значений н собственных функций. Пусть ]с [Ф, Р] = — (Ф, Е [Р]). Заметим прежде всего, что так как для функций Ф класса А имеем ]с [Ф, Ф] ) О, то существует )с [Ф, Ф] ФсА ]и[ ~ ', — — )ь=-О. Свойство б (экстремальное свойство) выражает Т е о р е м а 3. Если р= ]п[ ',, достигается на не- )с [Ф, Ф] ФсА которой функции Ф иэ класса А, то Ф есть собственная функция, а и — отвечаюи(ее ей собственное значение задачи (5) — (6), При этом р будет, очевидно, наименьшим собственным значением. До к а з а т е л ь с т в о.
Для всякой функции Ф из класса А имеем ',, — и ~ 0; в частности, Х„= "', ) р. Сле]Ф [1а довательно, для Ф он А Чг [Ф] = =Я [Ф, Ф] — р [)Ф[[э ~ О, в то время как Чг [Ф [ = К [Ф, Ф] — р )[Ф[[з = О. Таким образом, функционал Ч'[Ф] достигает минимума на функции Ф. Зто равносильно тому, что функция гр (а) = Ч" [Ф + + со]'], где ]'<в А, достигает минимума прн а = О.
Но тогда ср' (0) = О. Подсчитаем эту производную: гр' (0) = — „„[ Р [Ф + сц, Ф + а)] — р ] Ф -+ а~ [)а [ „о = = — — „~~ (Ф+ а)) Е[Ф+а(]г]т+ р ) о(Ф+ а[)ойт1 (о О ]о =о = — ) [[Е[Ф]+ ФЛ Щ[ с[т — 2 р~ рФ) с(т = о о = — — 2 ) [ [Е [Ф! + )ьоФ [ йт. о зб а[и воспользовались здесь самосопряженностью оператора и на функциях класса А. Таким образом, для произвольной функции 1 нз А имеем ~ ) [1. [Ф]+ ррФ[ с[с =О. о Отсюда следует *), что в точках непрерывности функции 1. [Ф] выполняется тождество 7 [Ф] + ррФ = О, ч. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
