1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Эта теорема указывает также на один из возможных путей построения решения задачи Коши в случаях, когда начальные функции ч! (х) и ф (х) не обладают соответствующими производными (см. рис. 8). 3. Обратимся снова к задаче Коши (13) — (14). Мы будем полагать, что начальные функции гс (х) и ф (х) не равны нулю лишь па конечных отрезках, непрерывны всюду, а функция ~р (х) имеет производную первого порядка. Эти функции можно равно- 5! мерно аппроксимировать диффсренцируемыми функциями !а (х) и фа (х) так, что !р„ (х) <р(х) (и — оо), ф„ (х) ф (х) (и — оо), причем !р„(х) имеют первую н вторую производные, а ф„(х)— первую производную. Если в качестве начальных функций в задаче Коши взять функции ф„(х) и ф„(х), то онн определят единственное решение задачи и„(х, 1).

Оценим разность решений и„+ь (х, 1) — и„(х, 1). В силу равномерной сходимости последовательностей (ф„(х)) и (ф„(х)( для произвольных е > 0 и 1, > 0 найдется такое У, что для любых п > М и любых целых положительных я будут выполняться неравенства (<г„(х) — сра.а (х) (< — и (фа+ь (х) — ф!! (х) (( 1 + 1! а а )+! для всех — оо < х < оо. Тогда по доказанной теореме для всех 1 ( 1! и — оо < х < оо будут также выполняться неравенства (иа,д (х, 1) — и„(х, 1) ((е для любых и > Л' и любых целых положительных я.

Но это означает, что последовательность решений (и„(х, 1)( равномерно сходится в указанной области изменения переменных х, 1 к некоторой функции и (х, 1). Эта функция называется обобщенныл! ре!иениееа задачи Коши (!3) — (14). Прн этом и (х, 1) =1'пп и„(х, 1) = ааю к-';а! 1 — — 1пп(ср„(х — а1) — 'фа(х ,'— а1)1-!з —,1!ш )! ф„(е)дг, ! а п к — а! или кфа! ф (х — а!) + ар (к+ аб 1 2а к — а! Эта функция и (х, 1) и ее производная и, (х, 1) принимают заданные значения ф (х) и ф (х). Таким образом, в рассмотренном случае формула Даламбера также дает решение (обобщенное)) задачи Коши. Рассмотренную задачу можно решить и иначе, если воспользоваться обобщенными функциями и их свертками (см. Дополнение, п.

!). 4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям неоднородности в уравнении. Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми начальными данными. Такое решение представляется формулой (29), Т е о р е м а 2. Лусть и (х, 1) и о (х, 1) суть решения задач Коши: и: а'икк+1,(х, 1) = и„, и(х, 0)=-0, — ",! =О, (зо) ш аоо„„+ )г(х, 1) =ос,, о(х, 0) — О, — ~ — О. (31) для тех же значений х и й Д о к а з а т е л ь с т в о. Пользуясь формулой (29) для решения задач (30) и (31) и неравенством (32), находим (и(х, 1) — о(х, 1)( » С «Еагг — г) < — ) ~ !Рг($, т) — рг(Я, т)~Айт < о к — асс — г) с «+а (г — г) 1 6 бгг Кто < 2 6) ~ габт = — й ~ 2гг(с — т)йт= о к — агг — г) о Если 6 =- 2е!Т-', то / и (х, () — о (х, () ) < е.

Теорема доказана. й 8. Решение краевых задач на полупрямой 1. Обратимся к рассмотрению краевых задач на полупрямой. Предварительно докажем две леммы. Л е м м а 1. Если в задаче Коши (13) — (14) начальные функции гр (х) и ф (х) нечетны относительно х=-. О, то решение этой задачи и (х, () равнонулю при х =- 0: и (О, () == О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая в формуле Даламбера, дающей решение задачи Коши (13) — (14), х == О, получаем аг <р ( — аг) + <р (аг) 1 Поскольку <р (х) — нечетная функция, то <р ( — а1) = — гр (а(). Поэтому цг ( — а() + Ч) (а() = О.

В силу нечетности функции )р (х) <с интеграл ) ф(г) йг также равен нулю. Поэтому и (О, () <я О. — ас Л е м м а 2. Если в задаче Коши (13) — (! 4) начальные функции р (х) и гр (х) четны относительно х = О, то производная и„(х, () решения эпгой задачи равна нулю при х = — 0: и„(0, () гя О. зз Тогда, каковы бы ни были положительные числа е и Т, существует такое б ) О, зависящее от е и Т, б = б (е, Т), что иэ неравенства ~ ~г (х, 1) —,са (х, () ( < 6 (е, Т) (32) для всех значений х и для 0 -.с 1 ~ Т следует неравенство ! и (х, () — о (х, г) / < е Доказагельстьо этой леммы проводится аналогично '). 2. Рассмотрим однородную краевую задачу тр(х), х О, — зр( — х), х; О.

ср(х), хзь О, — ср( — х), х<0, Тогда функция х хаС ср, (х — ат) + срт (х , 'аС) + ! 2 аа х — ас и будет решением краевой задачи. Действительно, она удовлетворяет однородному волновому уравнению, поскольку является суперпозицией прямых и обратных волн. Краевому условию она удовлетворяет в силу леммы П Проверим начальные условия: к и (х, 0) =- ~'( ) + ~П ) + — ~ ф,(г) с(г = ср,(х) = ср (л) к для х"--0 — аср~ (х) Ь аср, (х) и, (х, 0) = —, + — (ифс (х) -и ифт (х) ) = зрт (х) — Ч.

(х) для х) О. Таким образом, начальные условия также удовлетворяются. Краевая задача а'ихх = ии, (34) и (х, 0) = ср (х), и, (х, 0) = ф (х) для 0 < х < со, их (О, () ='- 0 решается аналопшно, но при этом начальные функции Чз (х), ф (х) продолжаются четссым образом на отрицательную часть прямой. ') Использовать почетность производной ср' (х). аеих„.=- и,„ и(х, 0) =ср(х), и,(х, О) --зр(х) для 0 ~х <оо, (33) и(0, с)-=0.

Полагаем ср (0) =- ф (0) = О, Для ее решенйя нельзя непосредственно воспользоваться формулой Даламбера, так как входящая в эту формулу разность х — ас может быть и отрицательной, а для отрицательных значений аргу. мента начальные функции ср (х) и ф (х), согласно (33), пе определены. Мы будем действовать следую:цим образом. Продолжим функции ср (х) н зр (х) нечетным образом на отрицательную часть оси х и обозначим через срт (х) и зрз (х) продолженные таким способом функции: 3.

Методом характеристик можно также построить решения однородных краевых задач на конечном отрезке с краевыми условиями первого и второго типа. Для определенности рассмотрим первую краевую задачу а-их = сси и (х, 0) = ср (х), и, (х, 0) =- ф (х), 0 < х < 1, и (О, !) ==- О, и (1, !) =- О, ! ~ О. (35) Для построения решения продолжим начальные функции ср (х) и тр (х) на всю прямую нечетным образом относительно точек х == 0 и х = !. Обозначим через ср, (х) и фе (х) продолженные таким способом функции ').

Тогда функция кн ас ср, (х — а1! + кз !х+ аС) ! 2 2а х — аС и будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта функция удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные условия проверяются непосредственно, как в задаче на полупрямой. 9 9. Отражение волн на закрепленных и иа свободных концах Решение краевых задач (33) и (34) можно написать в форме (15); и (х, 1) =- Ф (х -- а1) -1- Р (х + а!).

Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль характеристики х — а! = с, отклонение, обусловленное прямой волной, постоянно: Ф (х — а!) =: Ф (с,). Вдоль характеристики х + а! = се отклонение, обусловленное обратной волной, постоянно: Г (х+ а!) =- =:= Г (сз). Таким образом, возмущения распространяются по характеристикам. Для нахождения величины отклонения и (х,, 1„) в фиксированной точке (х„, 1„) областси В == (х > О, 1 > О) через точку Г=., Га) х, хг (х„, 1„) плоскости (х, !) проведем две характеристики х — а!- Рссс.

9. == ха — ас„и х -Р а1 =-- х, -с- а1„, пересекающие ось х соответственно в точках — х, и х, (рнс. 9). Отклонение и (хсь (,) в точке х, в момент времени ') Если функция ф (х) нечетна (четна) относительно двух точек: х = О и х =- 1, то она йериодична с периодом 2!. Действительно, по свойству нечетности функции ср(х) относительно х = 1 имеем тождество ср (1 — а) = †ср(1 + з). Полагая здесь з = — х + 1, получим ср( — х) =- †~р (х + 20. Так как ср ( — х) == : — — ср (х), то ~р (х+ 20 =- ф (х), Поэтому начальные функции ф (х) н ф (х) слелует продолжить нечетным образом на отрезок ( — 1, О), а затем периодически, с периодом 21, на всю прямую. 1, можно рассматривать формально как сумму отклонения, обусловленного обратной волной, пришедшей из точки (х,, 0), и отклонения, обусловленного прямой волной, пришедшей из точки ( — х,, 0).

Но точка ( — х,, 0) не принадлежит области В = (х ) О, г ъ 0) и начальные условия в задачах (33) и (34) не заданы в точке — х,. Однако нз краевого условия задачи (33) следует, что Ф ( — г): — — Е (г). Следовательно, Ф ( — х,) =- — Е (х,). Поэтому вместо прямой волны, идущей из точки — х,, можно рассматривать обратную волну, вышедшую в момент ( = 0 из симметричной точки х,.

Зта обратная волна за время (, дойдет до точки х = О. С момента ( = (, ее надо заменить прямой волной, вышедшей пз точки х =- 0 в момент г' = г', н несущей величину отклонения, равную — Ф ( — х,). Таким образом, при соблюдении красно~о условия и (О, 1) ==- 0 на конце х =- 0 происходит явление отражения с сохранением величины отклонения, но с изменением его знака на противоположный. Аналогичным образом устанавливается, что при соблюдении краевого условия и, (О, г) = — 0 на конце х = 0 происходит явление отражения с сохранением величины н знака отклонения.

$10. Решение задачи о распространении краевого режима на полупрямой Рассмотрим неоднородную краевую задачу на полупрямой пзи„,. =- ил, и(х, 0)=-гР(х), иг(х, 0) =4(х), х>0, и(0, () =-)г(Г),,( >О. Ее можно разбить на две задачи: 1) однородная краевая задача и'ох~ =- оп о(х, 0) =-<р(х), о,(х, 0) — --ф(х), х >О, о(0, г) =-0; 2) задача о распространении краевого режима пэш,* = пп, и (х, О) == О, ю, (х, О) = О, ш (О, () — -- р (Г), ( > О. Тогда и =- о Р ш. Задачу для о (х, г) мы уже умеем решать.

Займемся задачей о распространении краевого режима. Поскольку единственной причиной возникновения возмущений является краевой режим, будем искать решение в виде прямой волны ш(х, 1) =Ф(х — аг), Из начальных условий находим ш (х, 0) == Ф (х) =: 0 для х > О. Очевидно, условие ш, (т, 0) == г -аФ' (х): — 0 для .к > 0 также будет 56 выполнено. Из краевого условия находим Ф (--а1) == р (1), 1 > О. Таким образом, г О, г>0, Ф (г) = р ( — г,'а) г(0, или Ф (г) = Ч ( — гга) р ( — г!а), где Ч (в) — единичная функция, равная единице для $ > 0 и нулю для $ ( О.

Следовательно, ш (х, 1) =-т1 (1 — — ) Р(1 — — ). 9 11. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерного волновых уравнений. Формула Пуассона Ряд задач, относящихся к дву- и трехмерному волновым уравнениям, мы рассмотрели в предыдущих параграфах. Здесь мы также рассмотрим некоторые из таких задач. 1. Задача Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве: аеЛи = иа, (36) и (М, 0) ==. гр (М), и, (М, 0) =- тр (М). (37) Для ее решения введем в рассмотрение вспомогательную функцию й (г, 1) — усреднение искомого решения по сфере 5м' с центром в точке М и радиусом г: (38) Г злг где Р— переменная точка интегрирования.

Характеристики

Список файлов книги