1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 13
Текст из файла (страница 13)
') 1, и 1е имеют прежний смысл. й 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений й[и, о)= — + и —, ди до дх дх ' где д д, д С В вЂ” = А — '-  — — = — = й = й (х, у, и, о) . дх дх ' ду ' А В Из пары операторов й1 [и и! = А1и + В1иу ' Схо„+ Рхо 11, [и, о! = Ахи„+ В,и„+ С,о„+ Рнер можно получить пару других операторов: ди до ди , до ~1 [и о! '! )21 ~2 [и о! + 122 дх, дх,' ' дхн ' дт,' где С, + Л1С2 В1 + Л102 д — — (А1 + Л1А2) дх + (В1+ Л,В2) 11 (1=1, 2), д ду ' — = (А, +Л,А,) д +(В,+Л,В,) —, д д д 3 арсенио в.я.
Понятие характеристик без всякого изменения в определениях и в формулах переносится и на квазилинейные системы (см. Ц 1 — 3). Так, характеристическое направление оператора Н [и ! = = А (х, у, и) и„+ В (х, у, и) ио определяется вектором 1 = = (А)У, В)М), зависящим от самой функции и. Дифференциальное- уравнение характеристик для оператора Н имеет вид е)х ду дх А А (х, у, и) В (х, у, и) ду В ' Очевидно, чтобы определить характеристики, надо фиксировать функцию и (х, у). Таким образом, для каждой функции и (х, у) будут свои ха))актвристики.
Поэтому говорят о характеристиках на данной функции и (х, у). Для оператора Ь[и, о! = Н,[и! .(- Н,[о! =Аих + Вин+ Сох + Роу, где А, В, С, Р— функции от х, у, и, о такие, что )с е е)х характеристиками будут линии, определяемые уравнением А ду — Оператор Ь [и, о! приводится к характеристическому В виду а Л; определяются нз уравнения А,+ЛА, В,+ЛВх С,+ЛС, В,+и~, Очевидно, Лг = Л,(х, у, и, и). Классификация проводится совсем аналогично. Дифференциальные уравнения характеристик для пары операторов ()тг йт) имеют внд л, +)нл, в, +)нв, (1= 1, 2). Отметим еще раз, что на каждой паре функций (и, и) характеристики свои. й 15. Образование разрывов в решении Понятие характеристик для квазнлинейных уравнений н систем позволяет обнаружить существенно новые явления (например, образование разрывов), присущие процессам, описываемым квазнлинейными уравнениями (системами), а также дает эффективный метод приближенного (численного) решения систем квазнлннейных уравнений.
П р н м е р 3. Рассмотрим уравнение иг + них = 0 (51) дх Дифференциальное уравнение характеристик имеет внд — = и. Следова- дг тельно, в левой части уравнения (5!) дифференцирование производится вдоль ди характернстнк, т. е. уравнение (51) можно написать в виде — = О.
Следова- дт тельно, вдоль каждой характеристики и (х, Г) = сопы. Отсюда н нэ уравнения дх характеристик — = н следует, что характеристики суть прямые. Ж Рассмотрим задачу Коши для уравнения (51) с начальным значением и (х, О) = ф (х). Если ф (х) имеет внд, указанный на рнс. 13, то на участке (О, х,) хг т д х х / Рнс.
13. Рнс. 14. характеристики будут расходящимися (угловые коэффициенты нх растут с ростом х), а на участке (хы ха) онн будут сходящимися (нх угловые коэффициенты убывают с ростом х) н, следовательно, пересекутся (рнс. 14). Но так как каждая характеристика несет свое постоннное эначенне функции и (х, Г), то в точке пересечения характеристик (хэ, Гэ) мы будем иметь два значения: Очевидно, ди ду — н — в (хэ, Га) будут равны оо. Таким образом, в момент Га производная и„ дх дг обращается в оо — наступает градиентная катастрофа (в качестве гэ надо брать наименьшее значение Г, при котором произойдет пересечение характеристик). Аналогичная ситуация может иметь место и для систем квззилииейных уравнений.
П р и м е р 4. Рассмотрим систему уравнений (52) и~ + (ии + ()о) и„= О, ог + (ао+ йи) э„=- О, в которой и и (3 — постоянные, м > р. Дифференциальные уравнения характеристик имеют аид: дх — = аи 3- (3э — 1-е семейство, д) дх — = ао л- ()и — 2-е семейство. Ж Следовательно, систему (52) можно записать в виде ди до — =О, — =О, дт, ' дге д д д д д д где — = — + (аи + (3э) —, — =- — +(аэ+()и) — . Таким обра- дт, д) дх ' дтз д) дх зом, вдоль каждой характеристики 1-го семейства и = сопа1, вдоль каждой характеристики 2-го семейства о = сопя(, Задача Коши для этой системы. Будемискатьрешениесистемы (52), удовлетворяющее начальным условиям и (х, 0) = ~рт (х), о (х, 0) = Чз (х).
Пусть гр, (х) и грз (х) имеют вид, изображенный на рис. 15. г(х Таким образом, рт (х) > О, уа (х) = сопя( ч. О. Очевидно, Й р=-о = ау, (х) + )Зара (х) > О. Следовательно, начальное возмущение функции и будет распространяться вправо по постоянному фону э = — иа. Таким образом, Рис. 15. для любого 1 > 0 на каждой характеристике 1-го семейства выполняется соотношение дх — = аи — био. д) Поскольку вдоль каждой характеристики 1-го семейства и = сопя(, то угловой коэффициент каждой характеристики 1-го семейства будет вдоль всей втой характеристики постоянным, Следовательно, каждая характеристика 1-го семейства есть прямая.
На участке (ха, хт) характеристики расходятся, а на участке (хю х,) — сходятся. Следовательно, последние пересекаются. Пусть (х„', Г„) — низшая точка пересечения. В точке (хэ, Гэ) производные и„ и иг равны оо, т. е. происходит градиентная катастрофа. С этого момента в решении образуется разрыв. 67 $ !6. Одномерные плоские аднабатические течения газа К рассмотренной системе (52) сводится система уравнений газодинамики для плоского одномерного движения политропного газа о, + оох + — рх = О, 1 Р (53) ах р!+ орх+ рох = О, р = — рт.
т (Это адиабатнческое движение.) Полагая — = а'р~ ' =со, получим др' др о!+сох+ ! сох=О, с!+осх+ 2 сох=О. (54) 2 т — 1 Приводя эту систему к характеристической форме, получим до 2 дс до 2 дс + — =О, — — — — =О, дтх т — 1 дт1 ' дти т — 1 дтх где И д д д д д — = — + (о + с) —, — = — + (о — с) — . дтх д! дх ' дтх д! дх ' Следовательно, вдоль каждой характеристики (-го семейства 2 о + — с = сопз(, т — ! а вдоль каждой характеристики 2-го семейства 2 о — — с = сопзй т — 1 2 2 Полагая г= о+ с, а=о — — с, из системы (54) т — 1 ' т — 1 получим эквивалентную ей систему в ннвариантах: г! + (аг + рз) г, =- О, з! + (аз + 5г) зх =- О, 1 т — 1 — — — Это н есть система 2 4 2 †! где а= — +— 2 4 вида (52).
Если начальные профили г из суть <2, (х) н !Г, (х), тон решении г наступит разрыв в момент (о. Следовательно, и о = 0,5 (г + зо) будет разрывной. Образование разрыва можно интерпретировать иначе. Формула о = 0,5 (г + з,) показывает, что точки г-волны с ббльшими значениями г будут двигаться быстрее, чем точки с меньшими значениями г. Следовательно, при движении г-волны передний фронт становится круче, а задний — положе. В некоторый момент времени (о произойдет опрокидывание волны.
Это и есть градиентная катастрофа. 68 й 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений методом характеристик Рассмотрим один класс гиперболических систем квазилинейных уравнений вида А,(и, о)и„+В,(и, о)и„+С,(и, о)о„+Р,(и, о)о„==О, А,(и, о)и„+В,(и, о)и„+С,(и, о)о,+Р,(и, о)ов — — О, в которых коэффициенты Ао Во Сь Р; не зависят от х, йс Эту систему можно привести к характеристической форме — +'Ф~ (и, о) — =- О, — -(- йг (и, о) — = О. (55) Рассмотрим на оси х дискретную последовательность точек.
Будем называть эти точки узловыми точками нулевого слоя. В каждой из этих точек известны значения функций и и о (начальные значения). По этим значениям можно определить в каждой точке нулевого слоя направления характеристик обоих семейств по формулам Дх Аг+ Х1А2 вв в,+хв, ' Через каждую узловую точку нулевого слоя проводим в найденных направлениях прямые до их пересечения с соседними прямыми. Точки пересечения будем называть узловыми точками первого слоя сетки (на рис. 16 они отмечены кружочками). Покажем, как можно определить значения функций и и о в узловых точках первого слоя.
Рис. !б. Рассмотрим произвольную точку первого слоя (на рпс. !6 она отмечена цифрой 3) и соответствующие точки (1 и 2) нулевого слоя. Пусть ио о; — значения функций и н о в точке 1(! = 1, 2, 3). Очевидно, система (55) эквивалентна системе йи + й, (и, о) до =- О (вдоль характеристик 1-го семейства), г(и + й, (и, о) с(о = О (вдоль характеристик 2-го семейства). Заменяя в этой системе дифференциалы приращениями: Йи = и, — и„, г(о = о, — о, — в первом уравнении, Фи = и, — и„ г(о = о, — о, — во втором уравнении, ь9 получим систему ггз + ~х (1Ч пх) пз = пь + мт (пы ох) пм пз + йа (иа пз) оз = из + йа (и„са) оа.
Из нее находим и, и и,. И так для произвольной точки первого слоя. Определив значения функций и и и во всех точках первого слоя, такой же процедурой определяем значения функций и и и в точках второго слоя. И так далее (рис. 16). ЗАДАЧИ 1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму ломаной с вершинами в точ- 3 ках с, — с, 2с.
Построить (начертить) профиль струны для моментов времени ' 2 — — й (й = 1, 2, 3). 2а 2. Решить задачу 1, если начальное отклонение отлично от нуля лишь на интервалах ( — 2с, — с) и (с, 2с) и имеет форму ломаной с вершинами в точках — 2с, — 1,бс, — с, с, 1,бс, 2с. 3. Бесконечной струне сообщена только ва отрезке — с < х < с поперечная начальная скорость оа = сопя(. Решить задачу о колебании этой струны. Пос строить профиль струны для моментов времени га == — й (й=- 1, 2, 3).
2а 4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на отрезке (с, Зс), имеющим форму ломаной с вершинами в точках с, 2с, Зс. Начертить профиль струны для с моментов времени га =- — й (й = 2, 4, 6). 2а 6. В начальный момент времени 1 = 0 полубесконечная струна с жестко закрепленным конном получает в точке х = ха поперечный удар, сообщающий струне импульс Р.
Решить задачу о колебании струны под действием этого импульса. 6. Бесконечный упругий стержень получен соединением в точке х = 0 двух полубесконечных однородных стержней с плотностями массы и модулями упругости ры Е,; Р„Е,. Пусть из области х ( 0 по стержню бежит волна ид (х, 1) —. 1' (1 — — ) . Найти отраженную и преломленную волны. Всегда ли они ат 1 существуют? Исследовать решение при Ез -ь 0 и при Еа -ь оо. 7. К концу х = — 0 полубесконечного провода линии без искажений (ОЕ = = СЯ) была приложена постоянная э. д, с, Еа в течение достаточно длительного промежутка времени, так что н проводе установилось стационарное распределение напряжения и силы тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
