1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если обозначить через г(ш элемент телесного угла, под которым виден из точки М элемент площади с(о, то с(а = гас(ш. Поэтому й можно также записать в виде 1 ) 4 1з и(Р, г)йо "м (39) ~) Читател~о предлагается самостоятельно решить эту задачу. 57 Аналогично решается задача о распространении краевого режима второго типа: и„(0, 1) = м (1). Используя явление отражения, рассмотренное выше, легко решить задачу о распространении краевого режима первого или ' второго типа на конечном отрезке *). Методом характеристик можно было бы решить еще ряд задач, относящихся к одномерному неоднородному волновому уравнению. Однако рассмотренные задачи уже дают ясное представление о возможностях метода характеристик, поэтому мы ограничимся этими задачами.
где Ыхг — полный телесный угол (равный 4п) с вершиной в точке М, под которым видна поверхность сферы 5"„из точки М, Применяя к интегралу в формуле (38) теорему о среднем значении и устремляя затем г к нулю, получим й (О, () =.= и (М, (). (40) Таким образом, для нахождения функции и (М, () достаточно найти функцию и (г, 1). Чтобы поставить задачу для функции и (г, г), нам потребуется Л е м м а. Справедливо еоогпношение Ли = Л, (и).
[Здесь в левой части лапласнан Ли берется по координатам точки М, а в правой части, т. е, Л, (и), — - по переменной г. В дальнейшем мы будем опускать значок г у оператора Л. ) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Рм — область, ограниченная сферической поверхностью 5;,. По формуле Остроградского имеем ~ ~ ~ Ли йт =- ~ ~ — „~ йо = ~ ~ — Нп — — г' ~ ~ — й~ = г' — ~ ~ и е(ез.
вм вм ом вм "м Применяя к последнему интегралу формулу (39), получаем ~~~ Лийт= 4 пге— Г ом С другой стороны, Г ~~~ Лийт =- ) (~ ~ Ли йо ) е(р = ~ (4пр'Ли) йр. ог м е ( р м / о Следовательно, à —, дй ртЛийр=ге —. дг ' о Дифференцируя зто соотношение по г, получим — д Ли = — —., — (гей„) — Л (и). Лемма доказана. Предположим теперь, что решение задачи (36) — (37) существует. Тогда, применяя операцию усреднения по сфере 5'„к тождеству а'Ли зз ио и используя лемму, получаем аеЛй == иго или ае —., — (г и„) = йа, д дг или ае(гй„+ 2й„) = гйп.
58 Если ввести новую функцию о =-- ги, то последнее соотношение можно записать в виде а'ог,:= ого Таким образом, функция о (г, 1) удовлетворяет одномерному волновому уравнению. Применяя операцию усреднения к соотношениям (37»), получим й(г, 0) =-ф(г) — 4 ~~г)(Р) ', зхг й, (», 0) =-$ (г) = —, ) ) ф(Р) г1о. зм Пусть гс, (г) =. гф (г) и ф, (г) .=- »чг (г). Очевидно, что о (г, 0) -= ч, (г), ог (г, 0) =- ф, (г), о (О, 1) --= О. Таким образом, для о (г, 1) мы имеем следующую задачу на полу- бесконечной прямой: аао„= оа, и (г, 0) --.— ~р, (г), о, (г, 0):= ф„(г), о (О, 1) =- О. Для ее решения начальные функции Чь (г) и ф1 (г) надо, согласно 2 8, продолжить нечетным образом на полупрямую ( — оо, 0) и для продолженных функций гр, (г) и ф, (г) написать формулу Даламбера. При этом функции ф (г) и ф (г) будут продолжены четным образом (мы сохраним для продолженных функций прежние обозначения: ф (г) и ар (г)).
Решение задачи для о (г, 1) будет иметь вид г+аГ , (г+ аб+ яа (г — аг) 1 2 2а г-аг Следовательно, г+а~ ° ' г 2г 2аг г аг Если в этой формуле положить г О, то получим й (О, 1) О Для вычисления й (О, 1) применим правило Лопиталя (учиты вая также определение ф, и ф,): й(0, 1) =-~-(ф(а1)+ф( — а1)+а1ф'(а1) — а1ф'( — а1))+ + —,', (о1ф (о1) + о(ф ( — о1». Поскольку функции ф (г) и ф (г) четные, а функция ф' (г) нечетная, то й(0, 1) =ф(а1) +а(ф'(а1) +1ф(а1) = — ((ф(п1))+1ф(а1) (42) Если мы воспользуемся формулами (40) и (4!), то из соотноше- ния (42) получим формулу Пуассона для искомото решения задачи Оа Коши (36) — (37): Ы зм зм ас нс(М, с) = Щ(М, 1, т) с(т, или (сс, сс- —,' С'С' ц -с;с —,'~с ) с.. о ( а (с-т( м Во внешнем интеграле произведем замену переменной интегриро- вания а (с — т) = г, получим (' -+) 4ссР г О г Таким образом, из предположения о существовании решения задачи Коши для трехмерного пространства следует, что оно должно представляться формулой (43).
Следовательно, оно адинссп- аеияо. 2. Теперь мы можем решить задачу Коши в трехмерном про- странстве для неоднородного волнового уравнения: а'Ли + ) (М, с) = ии, и (М, 0) = ср (М), ссс (М, 0) == ф (М). Разбиваем ее на две задачи: а) а'Ло --= осс, о (М, 0) = ср (М), ос (М, 0) = ф (М). Решение этой задачи представляется формулой Пуассона.
б) а'Лис + ) (М, с) = иссс, ис (М, 0) = О, исс (М, 0) = О. Очевидно, сс = о + ы. Задачу б) будем решать методом, описанным на стр. 48. А именно, сначала решаем вспомогательную задачу а'ЬЩ = Щсп Щ ') = О, Щс (с т = р (М, т). По формуле Пуассона Щ(М, с, т) ~1Ю Ц йР4 с(о, аа (с-тс м Тогда, как было показано на стр, 48, где г — расстояние от точки М до переменной точки интегрирования Р, г — -- гмн. Этот интеграл можно, очевидно, записать как интеграл по области е)ме', ограниченной сферой 5~;.
(44) пм м Если внешний возбуждающий фактор ~ (М, () отличен от нуля лишь в одной точке М„в которой он равен ~ ((), то в этом случае волновое уравнение можно написать в виде аеГь и + ) ()) 6 (М, М ) = ии, где б (М, М,) — б-функция с особенностью в точке М, (см. Дополнение). Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым начальным условиям (следовательно, обусловленное лишь действием точечного фактора ) ())), можно написать согласно формуле (44) в виде И спользуя основное свойство 6-функции *), получаем О, если а((гмм., и(М, ()= ) 1 У гмм,) (45) — — — — если а( ~ гмм .
4яа' гмм т и г' ' О е 3. Из формулы Пуассона можно также получить решение задачи Коши для однородного волнового уравнения в двумерном пространстве: а'Ьи = им, и (х, у, О) = ер (х, у), (46) и, (х, у, 0) = ф (х, у). В самом деле, если в формуле (43) функции ~р (р) и ф (р) не зависят от переменной г, то интегралы по поверхности сферы Бм м можно свести к интегралам по большому кругу этой сферы Я, лежащему в плоскости (х, у) (рис. 10). Интеграл по верхней поло- вине сферы 5Я равен м аС еегк зи вм *) Длн любой непрерывной функцнн <р (~И) Ч(Р)6(Р, Ме)ну=-~ где у — угол между нормалями к плоскости (х, д) и к сфере 5Я в точке Р. Очевидно, ( РР, ( р'(а))н — ) Р,М )н рн(а~)н — (х — $)н — (и — Ч)' *) соку == (МР) аг ат Поэтому ч'(Р) 1 (( ф(с, з))дсоч) а1 ) ) р'(пт)н (х в)н (р „))н ' нсРХ Б,", км Аналогично находим ф(Р) (( ф(С, з)) Лкпп .
"=И вЂ”,-;:,- ннжн ЯМ нС км аз Применяя аналогичное преобразование для второго интеграла Рис, 10. в формуле Пуассона, получим решение задачи Коши (46) в виде '") 1 о (( ф(С Ч)т)йпп ~~й пт ) ) )Гонг — (х — )а — (д — Ч)н 1 ('( ф(С, Ч)нфоп Влп ) 3 р пнр — (х — вн)а (и — Ч)н *м Теперь нетрудно решить задачу Коши в двумерном пространстве и для неоднородного уравнения.
Она сводится к только что рассмотренной задаче и к задаче Коши для неоднородного уравне- *) Здесь с, Ч вЂ” координаты точки Ро являющейся проекцией точки Р на плоскость (х, р), х, у — координаты точки наблюдения М. **) Описанный метод получения формулы (47) назыааетси методом спуска. Аналогичным путем нз формулы (47) можно получить формулу Даламбера. 62 ния с пулевыми начальными условиями. с)та последняя решается методом, описанным на стр. 48. Мы не будем повторять всех выкладок е), напишем лишь результат: ш(х, у, )) =- — „( „1„1 ' ' с(г. (48) ! (/ 1'1' )(о, а), т)Щс)ч 2пп) ) ) у аа () — т)а (х — в)а — (у — Ч)а о хан — т> м Из этой формулы читатель легко может получить решение, обусловленное действием точечного фактора ) (1). й 12.
физическая интерпретация формулы Пуассона Обратимся снова к формуле Пуассона. Пусть начальные функции ср (аИ) и тр (М) не равны нулю лишь в области О, ограниченной ' поверхностью 5 (рис. 11). Будем наблюдать за состоянием среды в фиксированной точке М. Для достаточно малых значений поверхность сферы 5'„' с центром в точке М не пересекает область О. Поэтому интегралы в правой части формулы Пуассона будут равны нулю; следовательно, для таких значений 1 имеем и (М, г) — — О (возмущения не дошли до точки М). Обозначим через с(, расстояние от точки М до ближайшей точки поверхности 5, а через с(а — расстояние от М до наиболее удаленной от нее точки поверхности 5. Для значений )ап (г„(а) (1, = с(а!а, 1, -= с(а)а) поверхность Ю а' аХ сферы 5;,' будет пересекать область Г Р.
Поэтому интегралы в формуле Пуассона будут отличными от нуля, ~У и, следовательно, для таких значе- 4 ний 1 имеем и (М, 1) г-. О. Для ) ) )а сфера 5ам' не будет пересе- Рнс. 11. кать область О, и, следовательно, и (М, 1) снова станет равной нулю. Если мы представим себе теперь, что пз каждой точки области О по всем направлениям распространяются возмущения со скоростью а (принцип Гюйгенса), то описанные выше изменения функции и (М, )) со временем физически можно интерпретировать следующим образом.
Для 1 < )а возмущения не дошли еще до точки М; в момент — передний фронт волны возмущений достигает точки уИ; в течение промежутка времени 1, ( 1 ~ 1, через точку М проходит волна (зона) возмущений;в момент1 = 1, через точку М проходит задний фронт волны возмущений, и с этого момента среда в точке М остается в покое. Пусть в двумерном случае начальные функции со (х, у) и ф (х, д) не равны нулю лишь в области О, ограниченной кривой 5 (рис. 12). Для 1 < )а круг Хама не содержит точек области О, поэтому ") Читателю рекомендуется провести все выкладки самостоятельно.
63 интегралы в формуле (47) равны нулю, следовательно, и и (х, у, 1) — — О. Для любых 1 ) 1, круг Хлс,' содержит область Р илп ее часть, и поэтому и (х, р, 1) —,= 0 для таких значений 1"). Таким образом, в двумерном случае есть передний фронт волны (он достигает точки М в момент времени 1 = (т), но нет заднего фронта. Принцип Ю Гюйгенса в этом случае не выполняется.
Это легко понять, если иметь в виду, что рассмотренная двумерная задача фактически представляет собою трехмерную задачу, в коРис. 1й. торой область ненулевых значений начальных функций ср (М) и тР (М) является бесконечным цилиндром, образующие которого параллельны оси г. Очевидно, сферическая поверхность Вемт прп любых значениях 1 ) (т будет пересекать этот цилиндр, и поэтому интегралы в формуле Пуассона не будут равными нулю для всех значений ( ) тт. $13.
Системы квазилинейных уравнений В Я 1 — !2 мы рассмотрели метод характеристик в применении к линейным уравнениям и системам. В последующих параграфах будет рассмотрено применение метода характеристик к широкому классу нелинейных уравнений и систем. Рассмотрим уравнение атттв„„+ 2атеш,„+ аееш„„+ д = О, гДе амо ахм а„, с( — фУнкЦии от х, У, 1в„шю Такой виД имеют многие уравнения математической физики с двумя независимыми переменными, Если положить и =- тв„о == итю то это уравнение будет эквивалентно системе аыи„-1- а,еи„- '; а,,о„+ а,ео„+ с( = О, и„— о„= — О. (49) Это система нелинейных уравнений. Она является частным видом системы А,ии + В,и„+ С,о„+ Р,о„= Е„ (50) Аеи„+ Внии + Сио„+ Репи = Ел, где Ао Вы Со Р;, Е; суть функции от (х, у, и, о). Системы вида (50) называются квазилинейным1и Система (49) является также квазилинейной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
