1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 7
Текст из файла (страница 7)
За Зха о г(л ) '=' За г(х ' Положим Ы(За) =- Р. Тогда )) — коэффициент диффузии, а стационарном случае'. г(и 1=- —  —, г)х ' первое из уравнений дает закон Нернста, где второе — уравнение диффузии в одномерном дел )) — -!. о (() — с!) п =- О. г(хз (31) Член о (р — а) и представляет источники. ' Щ Заметим, что полученные уравнения справедливы и в авизотропном случае, когда о С< Ь, ио Ч' = а -(- Ьр. Если в рассмотренном приближении повторить весь вывод для пространственного нестационарного случая, то мы придем к системе уравнений, аналогичной (31); дл 1' = — — !!ага!) и, — = — )) ои+ о(() — а) и.
д! (32) $8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач ! . При решении задач физики или других областей науки математическими методами необходимо прежде всего дать'математическую постановку задачи, а именно: а) написать уравнение (или систему уравнений), которому удовлетворяет искомая функция (или система функций), описывающая исследуемое явление; б) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области ее определения. При решении каждой конкретной физической задачи математическими методами надо ставить вопрос не о решении соответствующего уравнения, а о решении математической задачи в ее полной постановке, вместе с соответствующими дополнительными условиями.
Обычно интересующие нас явления имеют однозначный характер, в то время как описывающие их уравнения имеют 32 множество решений. Поэтому при математической постановке задачи недостаточно написать уравнение (или систему), которому удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо также указать дополнительные условия, позволяющие выделить лишь одно интересующее нас решение, описывающее конкретное явление, процесс. Дополнительных условий должно быть «не слишком много», чтобы существовало решение, удовлетворяющее им.
Таким образом', дополнительные условия должны обеспечить существование и единственность решения, Характер дополнительных условий мы покажем на примерах задач, рассмотренных в предыдущих параграфах. Например, в случае колебаний струны или стержня (уравнения (3) и (5)) надо задать начальный профиль и (х, 0) =- ~р (х) и начальную скорость и, (х, 0) =- »р (х) точек струны (стержня).
Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют для любого волнового уравнения. Кроме того, надо записать режим на концах (краях) струны (стержня). Так, если задан закон движения концов (х = 0 и х = — () и(0, ()=р,((), и((, () =р»(С), то мы будем называть такие дополнительные условия краевыми (граничными) условиями первого типа. Если задан закон изменения силы, приложенной к концу струны (стержня) и действующей в направлении колебаний, то режим на концах можно записать следующим образом: Еи, /, «.= ), (Е), Еи, ,)„, = (» (~) или и„(0, () = — т» (1), и, ((, () = т, (1).
Это краевые условия второго типа. Пусть к концу стержня (х =- () прикреплена пружина, дей- ствующая вдоль оси х. Тогда сила натяжения Еи„на конце будет уравновешиваться силой действия пружины, равной аи. Крае- вой режим иа этом конце можно записать следующим образом: Еи„((, 1) =- — с»и ((, ~), где сс — коэффициент жесткости пружины, или и„((, ~) + Ьи ((, ~) = О. Если пружина в свою очередь движется по закону х = — ~) (1), то краевой режим запишется в виде и, (Е () + Ь (и ((, Е) — () (С) 1 = О.
2 Ар«~««« В.я. Это краевое условие третьего пгипа. На левом конце (х .—. 0) оно запишется в виде и„(0, () — й [и (О, г) — р (С) [ =- О. Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы краевых условий имеют следующий вид: и[в= [4(М, !) (первый тип), — ~ = ч (М, !) (второи тип), ( — +йи) ~ = — [[(М, !) (третий тип). (33) (34) (35) д!ч (в пи) — ди + ! (М, () =.—. ри„ (3?) где й, д, р — функции точки М, Все рассмотренные нами выше уравнения принадлежали к этому виду с д = О. Первая краевая задача.Найтифункциюи(М, (), удовлетворяющую в области В: — (М ~ О, ! > 0) уравнению (36) (соответственно (37)) и дополнительным условиям: 34 ди Здесь — — производная по внешней нормали к поверхности5.
дп Такие же краевые условия встречаются и в задачах, приводящих к уравнениям параболического типа. Так, если задается температура на поверхности тела, то имеем краевое условие перви ваго типа. Если задается плотность потока тепла — й — через дп поверхность тела 5, то имеем краевое условие второго типа. Если же на поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей ди температуру [) (М, !), по закону Ньютона — й — =- й [ и— дп — р [[в, то имеем краевое условие третьего типа. Встречаются и другие типы краевых условий. Некоторые нз них мы рассмотрим позднее.
Рассмотренные типы краевых условий являются линейными, поскольку искомая функция и ее производные входят в них линейно. Они называются однородными, если их правые части (р, м, [)) тождественно равны нулю, и неоднородными — в противном случае. Очевидно, такие же краевые условия встречаются и в задачах, приводящих к уравнению эллиптического типа. Физическое истолкование каждого из них не представляет никаких трудностей. Краевые условия определяются физической постановкой задачи и могут иметь разнообразный характер. В частности, онн могут быть и нелинейными. Теперь мы приведем постановку соответствующих трех типов краевых задач для уравнений вида д[ч (й пи) — ои + ) (М, () -=-- рии (36) а) начальным и (М, 0) == ср (М), и, (ЛХ, 0) = ф (ЛХ) для М 0 (соответственно и (М, 0) = гр (М)), б) краевым и(М, 1))з== р(М, 1) для 1>0.
Вторая (третья) краевая задача ставится аналогично с заменой краевого условия первого типа условием второго (третьего) типа. 3 а м е ч а н и е. Все рассмотренные типы краевых условий можно записать одним соотношением (М) д .) у (ЛЛ) и~ ==. Р (М, Х). Г1ри у, =- 0 получим краевое условие первого типа, при у, = 0— краевое условие второго типа, а прн у, ~ 0 и у, ~ 0 — условие третьего типа. Частным случаем этих задач является з а д а ч а о р а с- пространенпи краевого режима: Найти функцию и (М, г), удовлетворяющую в В уравнению (Эб) (соответственно (37)) и дополнительным условиям у,(М) — + уз(М) и) == р(М, () 1: О, и (М, 0) =- и, (М, 0) =- 0 (или и (М, 0) =-- 0). Лепсо представить себе задачи, в которых нас будут интере- совать значения искомой функции и (М, 1) в точках М, настолько удаленных от границы области 5, что влиянием граничного ре- жима на вти точки можно пренебречь. Это огГравдывает поста- новку следующей задачи, 3 а д а ч а К о ш и.
Найти функцию и (М, (), удовлетворя. ющую прн г ) 0 уравнению (Эб) (соответственно (37)) в любой точке М пространства, а также начальным условиям и(М, О) гр(М), и,(М, 0) ф(М) (соответственно и (М, 0) гр (М)), Более общая форма задачи Коши для уравнения ами, + 2атхи а+ амивв+ Р(х, у, и, их, и„) = О, где и = и (х, у), состоит в следующем. Пусть С вЂ” гладкая кривая н юх (х, у), ех (х, у) — заданные на ней функции. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (38) в некоторой об.
ласти, примыкающей к кривой С, удовлетворяющего условиям ди ~ и~ =юг(х, у), — ~ =гра(х, у). !с ' да ~с ди Здесь — — производная по нормали к крнвой С в точках этой кривой. да Лналогнчную постановку можно указать н для многомерного случая, когда функция и зависит более чем от двух переменных, Для уравнения эллиптического типа краевые задачи ставятся следующим образом: найти функцию и (М), удовлезворяющун> в области 0 уравнению Йч 1>«(М)>>я! -- >1 (Л1) и = --1 ( И), а на границе 5 — краевому условию (у> (М) —, -Р у«(М) и~ = Р (М).
Если у, = О, то имеем первую краевую задачу, если у«: — О— вторую, а при у, яз О и у«Ф Π— третью. 3 а м е ч а н и е. Замкнутая поверхность 5 ограничивает две области: внутреннюю ):> и внешнюю г>>. При постановке краевых задач надо оговаривать, для какой из двух областей (по координатам) требуется искать решение. В соответствии с этим различают внутренние и внешние краевые задачи. Это существенно прежде всего для уравнений эллиптического типа. В последующих главах мы будем рассматривать главным образом методы решения указанных классов задач.
Вопросы единственности решения этих задач рассматриваются в гл. ЧП1. 2. В задачах, описывающих реальные физические процессы, явления, связи, величины, образующие «исходные данные» («исходную информацию») — например, начальные и граничные значения искомого решения (или результатов заданных опера. ций над ним) и другие — обычно получаются путем измерений и потому являются приближенными. Обычно эти приближенные значения мало отличаются от точных значений соответствующих величин и погрешность имеет случайный характер. Возникает вопрос: как зти «малые» изменения исходных данных (например, начальных значений) будут сказываться на решении "г Если «малые» изменения исходных данных могут приводить к «большим» изменениям решения, то часто становится затруднительным (или даже невозможным) дать физическую интерпретацию такого решения, Для однозначной физической интерпретации решения задачи необходимо, очевидно, чтобы малым изменениям «исходных данных» задачи отвечали малые изменения решения.
Точнее, решение должно непрерывно зависеть (в заранее определенном смысле) от «исходных данных». Это свойство решения часто называют у с т о й ч и в о с т ь ю р еш е н и я к малым изменениям «исходных данных». Для каждой задачи математической физики, кроме существования и единственности ее решения, надо выяснить, обладает ли свойством устойчивости к «исходным данным» предлагаемый способ построения решения (точного или приближенного).
Вопросы устойчивости рассматриваются при изложении методов решения соответству>ощих задач. Эгп» шшросам посвящена также глава Х11, йб ЗАДАЧИ 1. Верхний конец упругого, однородного, вертикально подвешенного тяжелого стержня дллны ! жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости о„мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях этого стержня. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
