1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 5
Текст из файла (страница 5)
С другой стороны, ее проекция на ось у равна и иФ Т~Ь,'- ~ Т~Ь= ~Т(х,, у)йу — ~Т(х,, у)ду= л,'в, в,'л, и = ~ [Т(», у) — Т(хм у)[ф = — О, (6) а на ось х Л Тг[з [- ~ ТсЬ= ~[Т(х, у,) -- Т(л., у,)[ду= О. (7) л,л, в,в, Х~ Ввиду произвольности промежутков (х„х,) и (у,, уа) из (6) и (7) следует, что Т (х„у) = Т (х„у) и Т (х, у,) -= Т (х, у.), ч. т. д.
Пусть 5 — участок мембраны в момент времени й ограниченный контуром С. Обозначим через 5, и С, проекции 5 и С на плоскость Д д, (х, у) (рис. 4). 'Уг Сосчитаем величину вертикальной составляющей Р„силы натяжения, л, л, действующей па С. Для этого расУ~ смотрим элемент Л на С и точку М х ', на нем. Г1усть Тм — вектор натяжения в точке М, перпендикулярный й. Через Тм проведем плоскость, перпендикулярную плоскости (х, у). Эта плоскость пересечет плоскость (х, у) по нормали а к С, в точке М, (рис. 4). На рис.
5 изображен профиль 1. сечения поверхности 5. Очевидно, ди Т„= Т з[п а = Т и. = Т = Т вЂ” . Жа ди ди ~л '+(, (,ди1 Следовательно, Є— ~Т„й — ) Т вЂ” Л вЂ” ) Т вЂ” —, с с с, где р — угол между элементами й1 и й,. Поскольку 6 =-- у 1 (см. стр. 2!), то соз [1 ) соз у= =1. Поэтому Р„:== иа [ и~~ :=Т~ — И,.
с, иэ Применяя к этому интегралу формулу Остроградского, получаем Р„= Т ~ ) (и,, 4 и„„) дх йр= Т ~ ~ Лис(хдд. 5, 5, Теперь нетрудно получить уравнение малых поперечных колебаний мембраны. Рис. 4. Обозначим через ) (х, у, ().плотность равнодействующей внешних сил, действующих на мембрану в точке М (х, у) в момент времени г вдоль оси и, а через р (х, у) — поверхностную плотность мембраны. Применяя второй закон Ньютона к участку 5, мембраны (за время Л1 — Ц вЂ” г,), получаем искомое уравнение в интегральной форме: )) (и,(х, р, 1с) — и,(х, р, 1,))Х 7„' к Р (х, у) йх с(у == ~ ~ ~ Т Ли йх с(и йт ла, Р~ ~ ~ )(х, у, т) йхйрйт.
Рис. 5 с, в, Предполагая существование и непрерывность соответствующих производных, легко получить дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний мембраны: ТЛи ~-)(х, у, г)= — рии. опо уравнение, очевидно, гиперболического типа, Если р =-= сопз(, то его можно написать в виде а'Ли+ в(х, у, 1) — = инп (8) где а- =- Т!1Ь г (х, у, () = 1(х, у, 1)!р.
Уравнение (8) называется двумерных~ волновым уравнением. $4. Уравнения гидродинамики и акустики Ц оидв, . где и — единичный вектор внутренней нормали к 5. По формуле Остроградского получим Ц ои ~(в = — Ш 'др ~)т, где т7о — градиент р. При отсутствии внешних сил уравнение движения можно написать в виде Ш Й" =- 1))" "' о о Из него в силу произвольности О получаем уравнение в форме Эйлера: объема 0 движения (9) р — „, +~у=О. дв дв Здесь — — ускорение частицы, равное Ж дв , дв , дв , дв — — о1 — - ое — ';- ое —. д~ ' дх еду ' ' дг' Если внутри тл нет источников (стоков), то изменение времени количества жидкости, заключенной внутри потоку жидкости через границу 5, т. е.
ЫП '=-~~ " о з Применяя к правой части формулу Остроградского, + а1ч (ро)1 е(т = О, о откуда следует уравнение неразрывности среды +-, '81~(ро) =О, др в единицу (д, равно получаем (19) Движение сплошной среды характеризуется вектором скорости ю (х, у, г, 1), давлением р (х, у, г, 1) и плотностью р (х, у, г, 1). В качестве такой среды мы будем рассматривать идеальную жидкость (газ). Рассмотрим некоторый объем жидкости Р, ограниченный поверхностью 5.
Давление, действующее на этот объем, равно Рассмотрим адиабатнческие движения газа, для которых справедливо соотношение р = ро (р1Р )7, (1 1) где у =- с 'с„, с, с, — удельные теплоемкости соответственно прн постоянном давлении и постоянном объеме; р,, р, — начальные значения давления и плотности. Нелинейные уравнения (9)— (11) образуют полную систему уравнений, описывающих адиабатические движения идеального газа. Они называются уравнениями газодинамики. Введем в рассмотрение уплотнение газа о: (Р Ро)'Ро Р Ро (1 + о). Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, в которых можно пренебречь вторыми (и более высокими) степенями уплотнения, скорости и градиентов скоростей и давлений, то уравнения (9) и (11) допускают существенные упрощения (линеаризацню).
Действительно, при указанных допущениях имеем 1 ! 1 1, о 1 — — =- — (1 — о + оо — ) = — (1 — о), Ро ! + в Ро ' Ро Р =Ро(! г о) = Ро(1 , 'уо) — Чр =, — (1 — о)ЧР =(1 — о) — "!!о (если р,= сопя(), Роу Р Ро Ро с! !ч (Рчй = Ро Йч !(! + <г) т!) = Ро сйч (т!) (если ро = сопз1). (~з) аоЛо = он. (15) Из соотношений (12), (13) и (14) находим аналогичные уравнения длярир: аойР = Рн, а'ЛР =- Р (15) Уравнения (15) и (16) называются уравнениями акустики. Они, очевидно, гиперболического типа. Такие уравнения называют также трехмерными волновыми уравнениями. Далее, из первого уравнения (14) находим т!(х, у, г, !) =— !, д, *, о! — ' !о о = !., о, , о! — о ! 1 г о) .
о 1,о Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и (10) члены более высокого порядка малости, получаем т!о+ а' ро = — 0 (а' = уро!Ро), о, + оВч (е) =- О. (14) Применим к первому уравнению (14) оператор б)ч, а ко второму— д — Результаты вычтем один из другого — получим д! ' Предположим, что в начальный момент (! = 0) поле скоростей имеет потенциал 1 (х, у, г), т. е. т!(~. з = — ~) (х, у, г). Тогда е (ц у, г, !) =- — т7 ) (х, у, г) + а' ~ог(о == — 1!и; следовао тельно, поле скоростей имеет потенциал и и для ! ) 0 и =) (х, у, з)+ а') ог(т.
о Дифференцируя это соотношение по 1, находим и, = а'о, ии = = а'оь Заменяя во втором уравнении (!4) о, и тг их выражениями через и, получаем а-'Ли =-- псо Таким образом, и потенциал поля скоростей удовлетворяет вол- новому уравнению. й 5. Уравнения для напряженности. электрического и магнитного полей в вакууме Напишем уравнения Максвелла в вакууме для области, в которой нет электрических зарядов: го1Е= — д, йтЕ=О, с1!чН=О, го1 Н= — —,, (18) — ! дН ! дЕ где Н вЂ” напряженность магнитного поля, Š— напряженность электрического поля. Применяя операцию го1 к первому уравнению, получим го1 го1 Е = — — го1 Н.
— 1 д с д! (19) По известной формуле векторного анализа го1 го1 Е = Ч (йч Е) — ЛЕ. В нашем случае го1 го1 Е =- — ЛЕ, поскольку йч Е ьч О. Подставляя это значение в формулу (19) и используя последнее уравнение системы (18), получаем волновое уравнение для Е: сз ЛЕ = Еьи (20) Аналогично (путем применения оператора го1 к обеим частям последнего уравнения системы (18)) получается уравнение с'ЛН = Ни. й 6.
Уравнения теплопроводности и диффузии Выведем уравнение, описывающее распределение температуры в теле. Пусть и (Л4, 1) — температура тела в точке Л1 в л!омепт времени й При выводе уравнения будем пользоваться законом Фурье для плотности потока тепла св в направлении а в единицу времени: ди ю= — й —. ди ' Здесь й — коэффициент теплопроводностн. Он может быть функцией температуры, точки и времени: и = й (и, М, 7). Рассмотрим часть тела О, ограниченную поверхностью 5. Обозначим через 7 (М, 7) плотность источников тепла.
Подсчитаем баланс тепла для 0 за малое время Л(: Д, = — )) ) 7(М, 7) г1т Л7 — приход за счет источников; а ги Д.,= — — ~) Й вЂ” доЛ~ — расход за счет вы..одящего нз О потока; ди ди здесь производная — берется по направлению вненшей нордп мали к 5; Я., =- ~ ) ) грин(т Л( — изменение количества тепла в области о 0 за время Л(, где с — коэффициент теплоемкости, р — плотность вещества. Закон сохранения энергии требует, чтобы 1;7з = Яг — Я~ илн )) ) и д Но+ ~)) 7(М 7)йт 1)~сри1йт' Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, полу чаем 1~)м»и~и~-ни, п~г.-1~).~.,и, откуда, ввиду произвольности области О, следует искомое рраа манне теялопроводности,' б(ч (й трн) + 1 (М 1) ° сри,.
(21) Совершенно аналогично выводится уравнение диффузии, При этом надо пользоваться законом Нернста для потока вещества гс в направлении ьм ди гс = — 0 —. ди ' Здесь и = и (М, 7) — концентрация диффундирующего вещества (газа, жидкости), Р— коэффициент диффузии.
В формуле для Я, вместо ср надо написать коэффициент пористости с среды, в которой происходит диффузия. Уравнение диффузии имеет внд г(!ч (О р и) + 7 (М, 7) = си,. (22) По физическому смыслу й и 0 положительны. Поэтому уравНення (21) и (22) параболического тица, 27 Задачи об отыскании установившейся температуры ипи концентрации приводят, очевидно, к уравнениго эллиптического типа б!у (/г Чги) = — — ! (М), если г, с, р н ! (соответственно Р и с) не зависят от й $ 7. Кинетическое уравнение *) 1. Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом в кинетической теории газов. В ЗО-х годах, с возникновением задач нейтронной физики, кинетическое уравнение нашло приложение в вопросах прохождения нейтронов через вещество.
В настоящее время оно находит разнообразные применения в задачах, связанных с прохождением через вещество элементарных частиц и различных видов излучения (в последнем случае его называют уравнением переноса). Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса являются приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана. Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов в некотором веществе.
Это уравнение выводится при следующих предположениях: !) Внешние силы не действуют на рассматриваемые частицы (на нейтроны). Нейтроны не имеют электрического заряда, и поэтому, если даже вещество ионизовано, действие электромагнитного поля на нейтроны равно нулю. Если бы мы выводили кинетическое уравнение для электронов в плазме, то такое предположение было бы неверным.
2) Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются (концентрация нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе). 3) Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем химическими связями. При этом возможны следующие процессы: а) Рассеяние нейтронов на ядрах, Пусть с«« — вероятность рассеяния одного нейтрона на единице длины его пути в заданной среде (по-английски рассеяние— зсанеипй). б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть с«, — вероятность поглощения нейтрона на единице длины его пути (по-английски захват — сар1пге). в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате которого из осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром испускается в среднем ч нейтронов (запаздывающими нейтронами, которые вылетают из осколков через некоторое время после деления, будем пренебрегать).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
