1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если краевые условия имеют вид а,их (О, !) — ())и (О, !) = ))) (!), п,их (1, !) + Раи (1, !) = Р, (!), то в качестве функции и, (х, !) (удовлетворяющей этим краевым условиям) можно взять функцию и, (х, !) = 1)хара (!) — С (х — !)' р, (1), где С = 1/(2а)! + Р)!О), Р = 1/(2аа1+ Ра!О).
3 а м е ч а н и е 2. Иногда легко найти функцию и) (х, !), удовлетворяющую не только заданным неоднородным краевым условиям, но также и заданному уравнению. П р и м е р 7. Требуется решить задачу а ихх = иья $ (54) (55) и (х, 0) = Ф) (х), и! (х, 0) = Фа (х); и(0, 1) =О, и(1, 1) =- Ав!п юг ( — 1тьни), ~ а (56) Иа краевых условий (56) находим, что Р(0)=0, Р(!)=А. (58) Решение вадачи (57) — (58), очевидно, имеет вид О) 5)П вЂ” х Р (х1 = А— О) 51п — 1 а Следовательно а1п — х а о) (х, 1) = А а)п ыи а)п— а Решение задачи (54) — (56) будем искать в виде и (х, 1) = ва (х, 1) + ш (х, 1), Среди функций вида Р (х) а(п ы1 нетрудно найти решение уравнения (54) о! (х, 1), удовлетворяющее краевым условиям (56). Действительно, подставляя такую функцию в уравнение (54) и деля обе части равенства на а!п ы1, получим уравнение для Р (х): агРв -1- ыаР = О.
(57) где ш (х, 1) является решением следукнцей задачи: шм. ш(0, !) О, ш(1, !) 0; з!п — х а ш (х, 0) = ф, (х), шг (х, 0) = <Рз (х) — Аю = фа (х) . мп — ! а Это однородная краевая задача, которая решается методом разделения переменных. 9 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа Метод Фурье можно применять также и при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа. Мы проиллюстрируем это в настоящем параграфе на двух примерах. Во второй части книги приводятся другие примеры, требующие использования специальных функций. П р и м е р 8. Найти функцию и (г, <р), гармоническую в круге Оя радиуса )1, непрерывную в замкнутой области Т!л и принимающую на границе втой области (г = Й) заданные значения 1(~р), т.
е. Ли = О, (59) и(л ф) = У (ф). (60) В силу однозначности искомого решения и (г, гр) оно должно быть периоди. ческнм по ф с периодом 2л, т. е. и (г, гр+ 2л) = — и (г, ф). (61) Из непрерывности решения в замкнутой области !)л следует его ограниченность в Уя.
Среди функций вида Ф (г) Т (ф) ищем ограниченные в 0я и периодические по ф (с периодом 2л) решения уравнения (59).!Записывая лапласиан в полярных координатах д 1 — — ( )ь — и .=О (59г) г га и разделяя переменные, получим г — (гФ') — ЛФ = О, и дг (62) (63) Из условия (61) находим Ч' (ф+ 2л) ш Ч' (<р). (64) При Л < 0 уравнение (63) не имеет решений, удовлетворяющих условию (64). Следовательно, Л дл О.
Для Л ~ 0 находим Ч' Ор) = А зш $ГЬр+ В соз )' Лф. Из условия (64) находим, что ггЛ2л = 2лп. Отсюда Л„па, где и — произвольное целое неотрицательное число. Таким образом, собственные значения задачи (63) — (64) суть Лп из (и = О, 1, 2, ...), 100 а им соответствующие собственные функции суть 1,31пф,созф,...,з!пиф, сизиф,... 3 а и е ч а н и е. При )о = 0 общим решением уравнения (65) будет Ч' (ф) = Ао'р+ Во. Лишь при Ао = 0 оно будет удонлетворять условию (6З). Таким образом, Х 0 соответствует собственная функция Ч'о (ф): — 1.
Обратимся к уравнению (62). При )г = из имеем гоФ'+ гФ' — изФ = О. Общее решение этого уравнения имеет вид Фп (г) =. Спг + — (л ) 0), л г'и (65) п Фо (г) = Со + ))о !п — (и =- О) ° 1 (66) г (68) зл зл 1 Г ! Ао= — ~ 7(5)г)~, А,= — ( ((Цсози~и~, 2 о о зл 1 Ва =. — л ( 7 (~) з!п и~ г(~ (и = — 1, 2, ... ). п)г" з э 3 а и е ч а н и е !.
Ряд (67) с коэффициентами, вычисляемыми по форму- лам (69), нетрудно просуммировать. Однако мы не будем здесь этого делать, так как в гл. ЧП задача (59) — (61) будет решена другим методом, позволяющим получить результат в конечном виде. 3 ам е ч а н и е 2. Решение краевой задачи (59) †(61) для внешности круга представляется рядом и (г, ф) = р л — (Ап соз лф + Вп з1п лф), %'ч ! л л=з коэффициенты которого определяются из условия (60). Для кольцевой области, обРазованной двУмЯ концентРическими окРУжностЯми РадиУсов Яд и )(з, Решение представляется рядом о и = р (Спг + — ( (Ап сов иф+ Вп з!п пор) + Ао+ Во1п г, л о)по и ( л ! 101 В силу ограниченности искомого решения в формулах (65) и (66) надо поло- жить 1)п = 0 (л лл О, 1, ...).
Таким образом, ограниченными решениями уравнения (59х) вида Ф (г) Ч' (ф), удовлетворяющими условию (61), будут функции ип = гл (Ап соа иф+ Вп з!п иф). Решение задачи (59)- (61) представится в виде ряда и(г, ф) = ~ гп (Ап сов иф+ Вп з!п лф). (67) а=о, Коэффициенты Ап и Вп находим из условия (60): 2 ((р) = ~~ (Ал сох иф+ Вп з!п иф) )7", п=с пользуясь ортогональностью собственных функций на отрезке [0,2и) с весом рш1: Из условий (71) находим, что Ф (0) = — Ф (!) = О. Задача (73), (75) имеет лишь положительные собственные значения Лп = пэлэ/!а (л = 1, 2, ...). (75) цл Им етвечают собственные функции Фп (х) = з!п — х *).
Обратимся к урав! нению (74). При Л = Лп оно имеет общее решение вида Ч'и (у) =- Сп с)! )!пЛп у + /) и ай 'гг) и у. Следовательно, решения уравнения (70), удовлетворяющие лишь краевым условиям (7!), имеют вид ип (х, у) = Фп (х) Ч'и (у). Решение задачи (70) — '(72) представляется рядом и (х, У) . ) (Сп с)! ЬгЛп У+ Юп 3)! )ГЛп У) з!и — х, п ! коэффициенты которого определяем из краевых условий (72): лл /г(х) =- ~~) Спгбп — ' х и=.! пл лл х пп /! (х) = у (Сп с)! — Ь+ /рп ай — Ь) з!п — х, и ! ) и=! Отсюда ! 2 г лл Сп = — — ) /! (с) з!и — г !/~ о и) Читателю рекомендуется написать соответствующие формулы для определения этих коэффициентов. еа) См.
гл. 1Н, 3 3, пример 1. 102 коэффицненты которого (Аэ, Вэ, СпАп, СпВп, /)пАп и /)пВп) определяются из краевых условий *) и (Вы ф) = / (ф), и (Я, ф) = /а (ф) П р и и е р 9. Решить краевую задачу би = О, (70) и (О, у) и (!, у) = О, (71) и (х, 0) = /! (х), и (х, Ь) = /а (х) (72) в прямоугольной области (0< х < !; 0 «= у ( Ь). В классе функций вида Ф (х) Ч' (у) ищем решения уравнения (70), удовлетворяющие лишь однородным краевым условиям (71).
Подставляя такую функцию в уравнение (70) и разделяя переменные, получим Ф" Чм — + — =- О. Ф Ч' Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы Ф"/Ф = — Л, Ч"'/!У = Л, где Л вЂ” постоянное число. Таким образом, получаем уравнения для функций Ф (х) и Ч' (у): Ф" +ЛФ =О, (73) Ч'ч — ЛЧ' = О. (74) ял яч 2 г . пп Св сй — Ь + 0„эп — Ь.—. — ~ )э (Ь)з1п — Ьг)~. о В гл.
Х!Ч, ХУ! (Я 1, 3) приводятся другие примеры применения метода разделения переменных к уравнениям эллиптического типа, требующие использования специальных функций. ЗАДАЧИ 1. Решить задачу о колебании струны 0 ~ к е 1 с жестко аакреплениыми концами, если до момента Г = 0 она находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Рэ = сопэ1, приложенной в точке к = хэ струны перпендикулярно к невозмущепному положению струны, а в момент ! = 0 действие силы гэ мгновенно прекращается. 2.
Решить задачу о колебании струны с жестко закрепленными концами под действием импульса Р, сообщенного струне в момент времени 1 0 в точке х = хэ. 3. Стержень с жестко закрепленным концом (х = 0) находится в состояния равновесия под действием продольной силы Рэ = сопз1, приложенной к концу х = 1. В момент Г = 0 действие силы Рэ мгновенно прекращается. Решить задачу о продольных колебаниях этого стержня. 4. Один конец стержня (к = !) закреплен упруго, а другой (х 0) в на. чальный момент времени получает продольный импульс Р.
Решить задачу о колебании стержня. б. Найти температуру шара радиуса )1, на поверхности которого проис. ходит коивективный теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры. Начальная температура шара равна /(г). б. Решить задачу об остывании сферической оболочки йг~ г=-.)(э, на внутренней и внешней поверхностях которой происходит конвективный теплообмеи со средой нулевой температуры; и (г, 0) = ! (г), )тз ( г( )сэ. 7.
В замкнутом сферическом сосуде 0(г ( Я происходит диффузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость размножения пропорциональна концентрации. Найти размеры сосуда (критические размеры), при которых процесс будет иметь лавинный характер, если: а) на поверхности сосуда поддерживается концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непрони. цаемая; в) стенка сосуда полупроницаемая. 3. Найти собственные значения и собственные функции прямоугохьной мембраны с краевыми условиями первого (второго, третьего) типа. Показать в случае квадрата, что одному с. з. могут соответствовать две с. ф. 9.
Определить собственные значения и собственные функции прамоуголь. ного параллелепипеда при краевых условиях первого (второго, третьего) типа. 10. Найти собственные частоты акустических резонаторов '), имеющих форму: а) прямоугольного параллелепипеда; б) шара. 11. Решить задачу 1 гл. П. 12. Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0 ( х с 1, один конец которого закреплен жестко, а к другому с момента! = О приложена сила гэ = сопя!. 13. Решить задачу о температуре стержня 0 ( х ~ 1, концы которого под. держиваются при постоянной температуре (ит и и,), а на боковой поверхности его происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, тем. пература которой равна иэ = соиз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
