1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, каждой тройке допустимых коэффициентов отвечает некоторое разбиение области Р на конечное число подобластей гладкости О;. В частности, если коэффициент я (М) непрерывен вместе с частными производными первого порядка в О (и о (М), р (М) непрерывны в О), то это «разбиение» состоит из одной области О.
Будем говорить, что при заданном допустимом коэффициенте й (М) и отвечающем ему разбиении области 0 на подобласти гладкости О; функция Ф (М) удовлетворяетусловиям Остроградского в области О, если 1) Ф (М) непрерывна в О; 2) в каждой подобласти гладкости О, функция Ф (М) имеет частные производные первого и второго порядков по координатам точки М, непрерывные в 0;; 3) на общих границах 5;; (5!, ~ О) прилегающих друг к другу подобластей гладкости 0; и От выполняются соотношения где производная берется по нормали к поверхности 5!;, й! и и;— значения й (М) в областях О, и О; соответственно.
Для функции Ф (М), удовлетворяющей при заданном допустимом коэффициенте й (М) условиям Остроградского в области О, очевидно, справедлива формула Остроградского ~ д!ч(/гЧФ) дт — ~ й — до. о Я Обозначим через А класс функций Ф (М), которые удовлетворяют условиям Остроградского в области О и однородным краевым условиям !!у! „+7«Ф) =6 д«в (6) на границе 5. Очевидно, для каждой области О, каждого допустимого коэффициента и (М) и заданного краевого условия вида (6) су!цествует свой класс А. Для задач вида (6) — (6) с допустимыми коэффициентами к (М), у (М), р (М) справедливы следующие теоремы, 9! Т е о р е м а ! . Существует бесконечное множество собственных значений ()„), и = 1, 2, ..., и отвечающих им собственньсх функций (Ф„(М)) краевой задачи (5) — (6), принадлежащих классу А. Т е о р е м а 2. Непрерывное в замкнутой области В: — (М гмО, г ~ 0) решение задачи (1) — (3), при всяком фиксированном значении г ~ О принадлежащее классу А, представляется рядом (7) (соответственно (7,)).
Соответствующие изменения в формулировках ряда других утверждений очевидны, 6 4. Некоторые свойства совокупности собственных функций Здесь мы рассмотрим некоторые свойства совокупности собственных функций (Ф„). О п р е д е л е н и е. Система попарно ортогональных в области О (с весом р) функций (Ф„) называется полной в О, если для всякой функции г (М), интегрируемой с квадратом в О, выполняется равенство (42) где Сь — коэффициенты Фурье функции г' (М) по функциям системы (Фа). Достаточный признак полноты системы (Ф„).
Если для всякой непрерывной в О функции Р (М) и для любого и ) О существует линейная комбинация Яе = а,Ф, + + а„Ф„, для которой ) р (Р— Я„)'йс < к, то система (Ф„) полна в О. о Мы приведем лишь схему доказательства этого признака. Зафиксируем е ) О. Для всякой функции 1(М), интегрируемой с квадратом в О, найдется такая непрерывная в О функция ~р (М), что ~ р (1 — ~р)з йт < е/4 *). Для функции у (М) и для выбрано ного е по условию найдется такая линейная комбинация 5„= = а,Ф, + + а„Ф„, для которой ~ р(Ф вЂ” З.) й~«-,.
о Оценим интеграл л 2 (р (~ — Г с,е,) ь, ') Это утверждение требует доказательства, на котором мы не будем оста- навливаться. Заметим лишь, что для одномерного и двумерного случаев такая функция ~р Оп) строится просто (см. Т о л с т о а Г. П. Ряды Фурье. — Мх Физматгиз, 1960). 92 в котором ~ С Фе — частичная сумма ряда Фурье функции а=! / (М).
Очевидно, а з,т о н ) Р ( / — ~ СаФа) йт = ) р/з йт — 2 У, Са ~ Р1Фь йт + а'.аз Са ((Фа (( . о о а=! о Мы при этом воспользовались ортогональностью функций Ф,. Поэтому л / е 'т 2 О< ~Р/~йт ~Сад((Фа(('=~р~~ — ~С,Фа) йт< о а=! о е=! <з ) Р(1 — В.)'«' < 1 Р(1 — ч + Р— В.)'дт < < 2 ) Р(! — гг)'йт+ 2 ) Р(чз — 5в)'йт <2 4 + 2 4 е. О О Мы при этом воспользовались хорошо известным неравенством (А + В)' < 2А' + 2В'.
Таким образом, О < ~Р/ от —,)' Са~((Фа((~ч- з, о а-! откуда и следует условие полноты: ) р/ йт= ~~~ С~а((Фа(~. и е=! Ряды Фурье по полным системам функций (Ф„( обладают следующим замечательным свойством. Т е о р е м а 1. Если система попарно ортоональньп в области 0 функций (Ф„( полна в /1, то ряд Фурье для всякой функции 1(М), интегрируемой с квадратом в О, можно почленно *) См, Ф и х т е н г о л ь ц Г.
М. Основы математического анализа, т. 11, изд. 5-е, гл. ХХЧ!Н. — Мл Наука, 1968. 93 Поскольку ) р/Фа йт = Са((Ф„((', то о ~Р ~/ —,)' СаФе~ йт = ~ Р/~йт— о !, а-! / о Известно, что квадратичное отклонение будет минимальным, если в качестве 5„ а ~ С,'1(Ф,((', «=! бз = )Р(/ — Я)'йт о а взять ~~~ СаФа *). а-! интегрировать независимо от того, сходится он или расходится, т. е. для любой области 0' с:. 0 справедливо равенство ) 1(М) йт = ~~'„С„~ Ф„(М) Лт.
о л=-! о' 6,= ) Гйт— о. Доказательство. Оценим разность и — ~ Сь) Фа!(т: ь=-! о ь !!.! = !1 !! — ь с,э.)ь « о, «1 ! — г,'с.е. е. о' А=-! О а — 1СлФа й . ь=! 1' — ~) СаФа с(т=~ р'р 1 — ~ С„Ф„= < о о а=! л 2 (р(~ — ~~1;СьФ, до о П = 1/ ) р) йт — ~~„аСа)Фа)~ о а=! о Последний интеграл ограничен, а разность л ~ ру с(т — ~„Са) Фа) о ь=! при и — оо стремится к нулю по условию полноты. Следовательно, 6„- О при и — .
оо, ч. т. д. Т е о р е м а 2. Система собственных функций краевой задачи (5) — (6) полна. Д о к а з а т е л ь с т в о Возьмем произвольную непрерывную в 0 функцию 1 (М). Тогда, каково бы ни было число е ) 0 в классе А (см. ~ 1) найдется такая функция д (М) *), что зР(~ ь) 4' (43) ') См. Толстов Г. П. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1960.
Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравенством Коши — Буняковского: Функция и (М) представляется рядом Фурье по собственным функциям задачи (5) — (6), д (М) = — ~ СеФы равномерно сходя2=1 щимся в О. Следовательно, для всякого е, ) 0 найдется такое 12' (е,), что д — ~~ С2Фь (е, для и) 111(е!). (44) Е=! Л ' 2 Покажем, что ~ р à — ~~~, СдФ2 ( е(т (е, Тогда согласно о достаточному признаку полноты системы (Ф„) будет полной, Очевидно, Л 12 / л 1,2 а р 7 — ~'~ С1,Ф21 Жт = ) р ~ à — я' + й! — ~~СдФ21 е(т ( о о 2=! Л !г ~ 2 ~ р (7 — и)' еЬ + 2 ~ р х — ~ СЛФл ~ дт. о Используя неравенства (43) и (44), получим Л г ~ р (à — ~~„С2Ф2 е(т( — + 2ег1) р!(т <а, О ! 2=-1 о если взять е, ( =, где В = ) рот.
1' е 2 р' В Эта теорема вместе с предыдущей позволяет интегрировать почленно ряды Фурье по собственным функциям краевой задачи (5) — (6) для всякой функции, интегрируемой с квадратом, не заботясь не только о равномерной сходимости этих рядов, но даже вообще об их сходимости в каждой точке. й 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье Знание системы собственных функций (Фл) и соответству- ющих им собственных значений ()е„) позволяет решать и неодно- родные краевые задачи.
Рассмотрим некоторые из них. 1. Пусть требуется найти решение задачи У [и) + ! (М, 1) = оим (соответственно ри,), и (М, 0) = О, иг (М, 0) = О, (у.—,„+уг ) =О, (45) (46) (47) непрерывное в замкнутой области В = (М ~ 0; 1» 0) и принадлежащее классу А при всяком фиксированном значении 1 ) О. Так как искомое решение и (М, 1) принадлежит классу А, согласно теореме Стеклова оно может быть представлено в виде ряда Фурье по собственным функциям [Ф„] соответствующей однородной задачи (5) †(6): и(М, Г) = ~, Ч'„(Г)Ф„(М), (48) где Ч'„(Г) = — „) ри(Р, Г) Ф„(Р)бт. [! Фо [!' о (49) Выражая рФ„под знаком интегра,па (49) из уравнения (5), полу- чим — ! Г ГГ [и, Ф„! Ч"„(Г) = [, „~! иУ. [Ф„! Вт = и 8 [Ф„, и! — ! [[Ф [[2 1,![Ф [[ч ) о [ ! о соответственно Ч'„(Г) = ~ е 1™ ~![„(0) с[0) о Подставляя полученные функции Ч"„(Г) в формулу (48), получим искомое решение в виде ряда Фурье по собственным функциям.
Если, в частности, Г'(ГИ, Г) = Г'(Г) 6 (!И, ГИо), то ~() 1и) (, ) () ° ~() о Выражая Ь [и! из уравнения (45), получим — 1 Г 1 Ч"„(Г) =,, ! ричГФ„Г[т+ „, ) ГФ„Г[т. (50) о о Первое слагаемое в правой части формулы (50) равно — Ч',",Й„. Второе слагаемое представляет известную функцию, обозначим ее через )„(Г)й„. Таким образом, Ч".(Г)га . "+ —" Следовательно, Ч'„(Г) есть решение уравнения Ч""„+ Х„Ч'„= Г"„(Г) (соответственно Ч';, + Х„Ч"„= Г„) с дополнительными условиями Ч'о(0) =[! В ч ) Ри(Р, 0) Фп(Р)Г(т= О, о '1'„' (0) =,, ) ри, (Р, 0) Ф„(Р) Г(т = О. о Решение такой задачи имеет вид ! Ч'„(Г) = ! ) з!пу ~„(à — 0)7„(0) !ГО о о (г) '~" (м") < згп ~~')„„(1 О) ) (О) (О р"у „)) пг„))г г < --. - -. р.ю= '„""„'1.-'н-"пе>г ). о Если требуется решить задачу В (и)+ ) (М, () = рии (ри), ди и(гИ, 0) = ео(М), иг(М, 0) =ерг(М); <уг д„+ уги) =-О, то будем искать решение в виде суммы двух функций и(М, г)=о(М, г)+в(М, (), являющихся решениями следующих" задач: о: ~ (о1 = рои (Рог) о(М О) (М) ,,(М) = ~,(М); <у, †,„ и уг ),=О' в ь (в) + ) (М, ге) = Рвгг (Рвг) в(М 0)=в,(М, 0)=0; <,тг д + угв) Каждую из этих задач мы уже умеем решать.
2. Пусть требуется найти решение задачи В (и1+ ((М, г) = рии (соответственно ри,), (5!) (7г а„+уги) =р(М г)' (52) и (М, 0) = Чг (М), и,(М, 0) =- огг (М), (53) непрерывное в замкнутой области В = )М ея О; г = 0). Мы рассмотрим следующий способ решения этой задачи. Среди функций о (М, (), непрерывных в замкнутой области В и имеющих в этой области непрерывные частные производные первого и второго порядков, возьмем какую-нибудь функцию о, (М, (), которая удовлетворяет заданным краевым условиям (52). Будем искать функцию и (гИ, () в виде суммы и = о, (М, 0 + + в (М, г), где для функции в (М, ~), непрерывной в области В, задача ставится следующим образом: ь (в1+ )г (М, () = рви (соответственно рв,), в(гИ, 0)=гр(М), вг(М, 0)= — грг(М); (уг — +у,в) =-О, Йр где ~ (М, 0 =)(М,О+ ~ (о! — рои, ф(М) = чг(М) — о,(М, О), фг(гИ) = грг(М) — огг(М, О).
4 ярееенг в.я. Эту задачу мы уже рассмотрели в п. 1. Функцию о, (М, 1) подбирают или же находят методом Дюамеля (см. гл. Ъ'). П р и м е р 6. Требуется решить задачу а'а„х = исс и (х, 0) = срс (х), и, (х, 0) = сра (х), и (О, 1) = рс (1), и (1, 1) = рз (1). (э) В качестве функции ос(х, 1), удовлетворяющей краевым услониям (з), берем функцию ь) 1 — х х ос (х, 1) =- — пс (1) + — рз (1). Решение и (х, 1) ищем в виде суммы и (х, 1) = ос (х, 1) + ю (х, 1). Функции ю (х, 1), очевидно, будет решением следусощей задачи: х — ! х азы + Рс (1) — — р (1) = ю х — 1 х ю (х, О) =-: р,(х) + р, (О) — †, р, (О) = ф,(х), х — 1 х ю (х, 0) =- срз (х) + — р! (0) — — рз (0) = Чсз (х), ю (О, 1) = ш (1, 1) = О.
Функцию се (х, 1) ищем также в виде суммы ю )1 (х, 1) + Сс (х, 1), где )1 (х, 1) есть решение однородной краевой задачи а )сх. = )ссс й (х, 0) = срс (х), )1с (х, 0) = фа (х); )1 (О, 1) = Я (1, 1) = 0 и имеет ьнд (см, пример !) )1(х, 1) .=- !) (Сясоз а р'"ьь1+ 0аз!па 1/ья 1) Мп — х, с пзпс 2 с на — — Си= —, ) ф (й)з!п — ', $аз, сз > о 2 1, . ни 11н — -- — ) фз (я) 5!п — ь аз-, ана,) о а 0 (х, 1) есть решение следующей задачи: аз0- +1(х, 0= Ясс, 0 (х, 0) = Ос (х, 0) = 0; Я (О, 1) = Я (1, 1) = О, х — 1 „ х где ) (х, 1) .= рс'(1) — — р" ,(1). Согласно и.
! решение имеет вид па сс (х, 1) = ~~~~~ срь (1) 5!п — к. ') Мы пРедполагаем, что фУнкции Рс (1) н Р, (1) дважды ДиффеРенЦиРУемы. 98 Функции Ч'ч (1) вычисляются по формулам Ф„(1) = — ' Г Мп )'З,„(1 — Е) 7„(6) бЕ, где 2 пп 2 !в (6) == — ~ ! (5, В) юп — В)1$ = — (т( — 1)" Ра (6) — Р) (6)]. О 3 а м е ч а н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
