1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Предположим, что нам известна функция Грина для любой фиксированной точки Р. Тогда решение задачи Коши (21) — (22) для однородного уравнения (р (М, 1) =-- О) имеет вид и (М, () = )Р ~ 6 (М, Р; () (р (Р) йтр, (23) где интегрирование по координатам точки Р производится по всему пространству.
Проверка справедливости этого утверждения сводится к прод верке законности производить операции 1. [ [ и — под знаком д~ интеграла в формуле (23). 1!3 В самом деле, А[и! = — )Р" ~ й[б! <р(Р) астр =- )Р . ~ рбпр(Р)г[тл =- рио и(М, О) == ~ ~б(М, Р; 0)ср(Р)дтя ——- ( 6 (М, Р) (р (Р) Игр = ф (М). 5. Если речь идет о нахождении решения задачи Коши для неоднородного уравнения Т.
[и ! + ) (М, () = — ои, с начальными условиями и (М, О) ==- ср (М), то, аналогично вышеописанному, решение следует искать в ниде суммы двух функций и = и + ш, являющихся решениями следующих задач: и: Ь [и! = оао и (М, О) = <р (М); и: Т. [ш! + ~ (М, Г) = рыо и (М, О) = О. Решение последней задачи сводится к решению однородной задачи Коши: если Щ (М, (; О) есть решение задачи Коши А [Щ! = РЩь Щ[ -о = (д) то ш (М, [) = ! Щ(М, (; О) г[0. э Проверка справедливости этого равенства производится совершенно так же, как и в случае краевой задачи.
Пусть нам известна функция Грина задачи Коши б (М, Р; [); тогда Щ(М, (; 0)=~ ~б(М, Р; (--0) ', игр ш(М, !) ! )( ! б(М, Р; ( — О) [~~' а' дт„дО. а Интегрирование по координатам точки Р производится по всему пространству. Таким образом, решение краевых задач и задачи Коши для уравнения Л [и! + [ (М, г) =- ри, сводится к нахождению соответствующих функций Грина. О.
Функция Грина краевой задачи может быть найдена методом разделения переменных, В самом деле, формальное при- [Н мененле метода разделения переменных к нахождению решения задачи (4) — (6) дает нам ряд б (М, Р 1) =- ~~ с»Ф (М) е л=! где )„— собственные значения, а Фл (М) — отвечающие им собственные функции оператора Е.
Коэффициенты ряда сл находим, пользуясь начальным условием для б и ортогональностью собственных функций: сл Ф е ~ 6 (М Р О) Р ( й) Ф» (М) с(тм 1 » ))Ф ))е о =,в е) б(М Р)Р(М)Ф»(М)дта!=' ))<в»а о, Таким образом, для краевых задач функция Грина представляется рядом Фурье по собственным функциям задачи Р, 1) '~т Фл (~) Фл(~) (Р) — ьл! )) Фл)й л=! Легко убедиться в том, что решение краевой задачи (1) †(3), полученное с помощью этой функции Грина по формуле (7), имеет такой же вид, как и решение этой задачи, полученное в 5 2 гл.
И методом Фурье *). Для некоторых уравнений параболического типа удается найти и функцию Грина задачи Коши. Это можно сделать, например, для простейшего уравнения теплопроводности а' с!и = и, в пространстве любого конечного числа измерений. Построению функции Грина для такого уравнения и решению задачи Коши посвящены последующие параграфы этой главы. $2. Построение функции Грина задачи Коши на прямой !. Функцией Грина 6 (х — $, () задачи Коши для простейшего уравнения теплопроводности на бесконечной прялюй называется решение задачи Коши ааил„ = и! (24) и (х, О) =- !р (х) .=- 6 (х — Ц), (25) непрерывное всюду в области В! гэ )- — оо л х( оо; 1~ О), кроме точки ($, О).
') Читателю рекомендуется доказать зто. 115 Построим эту функцию б (х — $, 1). Для этого решим сначала следующую специальную задачу Коши: а'и„„= иа, (26) (28) Отсюда 2 а/Ра> )(г)=С ~ Е Ы>14а >>(Хь 2аС ~ Е а Лу. Эта функция удовлетворяет первому из условий (29); из второго условия находим соотношение для определения С: аа 1 = 2аС ) е — "' ду = 2аС) 'и. Отсюда С = !/(2а 1.'и). Таким образом, решение задачи (26)— (27) имеет вид к/Уаа'~ и(х, 1) =71=) = = ~ е-а*ду. Его можно записать также в виде е к>УФ~'! и(х, 1) = = ~ е — а*>(у + — ~ е — а*с(у а = ри у.-„ а) Об антомодельных решениях см. С е д о и Л, И.
Методы подобия и размерности и механике. — Мл Наука, 1972, 116 (О, х(0, и (х, 0) = >р (х) = т)(х) = [ (27) Будем искать автолаодельное решение этой задачи "), т. е. решение в классе функций вида ) (хй"), где число а называется показателем автомодельноети. Подставив функцию и = 7" (х/(м) в уравнение (26), получим оа „вЂ” аа к 2а 1 (г) 1 1 (г), ГДе Чтобы это равенство было тождественным относительно г, необходимо, чтобы а = 1>2. Уравнение для ~ (г) будет иметь вид 7" (г) + 2'„, Г (г) = О.
Из начальных условий (27) для и (х, 1) находим )( — оо) =О, )(+со) =1. (29) Таким образом, задача для 7 (г) поставлена. Интегрируя соотношение (28), получим 1и 7' (г) = —, + 1и С, или 7' (г) = Се — '*«"> . или (30) где Ф (г) == ) е е' ду — интеграл ошибок. Эта функция удовлетворяет уравнению (26) и имеет непрерывные в В, производные и„„„и и„т. Дифференцируя тождество еа'и,„= и, по переменной х, получим тождество ат(и ) = (и )1,' которое означает, что производная и„функции (30) является решением уравнения (26). Она удовлетворяет начальному условию и„.
(х, О) = т1' (х — в), где производная единичной функции понимается как производная обобщенной функции (см. Дополнение). Поскольку т)' (х) = 6 (х), то и„(х, О)' = 6 (х — $). Таким образом, производная и,йфункцин (30) является решением уравнения (26), удовлетворяющим начальному условию (27). Очевидно, она непрерывна всюду в замкнутой области Вм кроме точки Я; О). Согласно определению функции Грина 6 (х — $, 1) функция и„. совпадает с нею, т.
е. ~ (х $1) — е- (т-1)~/1Яа*т) )/4етл/ (31) Нередко функцию 1 Е-ы/14ан) 1/ 4лаЧ называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности (26) Если в условии (27) функция ~р (х) = иьт) (х — х,), то решением задачи (26) — (27) будет функция и (х 1) = — '[1 + Ф (=') ~ Если же и (х, О) = и, (т1 (х — х„) — т1 (х — х,)1, то и(х, 1)= 2' [Ф( ') — Ф( ')~.
(32) 117 Представим себе теперь, что на отрезке (х„х,! в начальный момент времени (1 = О) выделилось количество тепла Я, равномерно распределенное по отрезку. Это равносильно заданию начальной температуры и (х, О) = [т1 (х — х ) — т1 (х — х,)). Такому начальному значению соответствует, в силу (32), решение задачи Коши 0 ( Гс4аЧ ) ( )/4аг) ) 2ср кг 21 Если мы теперь будем стягивать отрезок [х,, х,) в точку х, и сохранять при этом количество тепла 6, то функция (ЗЗ) будет стремиться к пределу, равному СП а- (к — к2)*/(42*!) д )к — г() О ! ср дг ~ )4с4аг) ) 12=к ср )с 4ааг) Таким образом, функция 6 (х — с, () дает температуру в точках бесконечной прямой (например, бесконечного тонкого стержня) при г ) О, обусловленную мгновенным выделением в начальный момент времени (( = 0) в точке х = — с количества тепла Я = ср; поэтому вполне оправдано ее второе наименование как функции влияния мгновенного точечного теплового источника.
Если (4 ~ ср, то температура равна — 6 (х — $, (). ср 3 а м е ч а н и е. Если в точках с) и $2 в начальный момент времени мгновенно выделились количества тепла, равные соответственно 61 и Я„то температура на бесконечной прямой, обусловленная этими источниками, равна — '6 (х — $1, () 1'- — '6 (х — Вг, !), ср ср 2. Функцию Грина С (х — $, () можно также построить следующим способом. (Указывается лишь алгоритм построения, без его обоснования.) Допустим, что функция 6 (х, 1) является решением задачи Коши а'икк =- и(, Сс (Х, 0) =- б (Х) Тогда выполняются тождества а'Скк = 6,, 6 (х, 0) га б (х). Применяя к этим тождествам преобразование Фурье и вводя обозначение д (о), !) = )( 6 (х !) с "" с)х получим и( + аг(агу == О, (34) д((о, 0) =1, (35) так как преобразование Фурье от производной й-го порядка )(2)(х) функции )(х) равно произведению ()а))2 на преобразование Фурье функции ! (х) и преобразование Фурье дельта-функции б (х) равно 1.
)!8 Очевидно, решением задачи (34) — (35) является функция гг (о) 1) = е — амлг, Применяя к ней обратное преобразование Фурье, находим 6 (х, 1)~ 6(х, 1)== — ~ д(го, 1) егх г(го= е-хчг"'0 1 г 1 2л 1'4лахг Р Мы при этом воспользовались тем, что (О е — а-'ю-~-гах г(го 1 е-хча' Так как уравнение (26) инвариантно относительно преобразования сдвига, функция Грина с особенностью в точке х = с будет равна 6(х — Ч, 1) = — е4 и — М'ги"'гг, ! 1/.4лохГ $3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
