1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 25
Текст из файла (страница 25)
'гсп Теорема доказана. Для доказательства устойчивости решения задачи Коши к малым изменениям неоднородности в уравнении, очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми начальными значениями. Т е о р е м а 2. Каковы бы ни бегли по,газки,пельнзге числа е и Т, сугцсствуеггг вгакое 6 .= 6 (е, Т), тпо сели в задачах Коши аеи,, 1- 1г (х, 1) - иг. и (х, 0) -:= 0 (62) и аео,,„.
-,'- г, (х, 1) -- г,, о (х, 0) =- 0 (63) функции )г (х, 1) и )ч (х, 1) при всех значениях х и 0 ( 1 < Т удовлетворяют неравенсгпву (х, 1) — гг(х, 1)! (6(е, (6-'1) гпо для решений зтих задач и (х, 1) и о (х, 1) выполняется неравенство !и(х, 1) — о(х, 1)!<е при всех значениях х и 0 ~ 1 ~ Т. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя формулу (54) для решения задач (62) и (63), а также неравенство (64), для 0 ~ 1 к Т получим ! и(х, 1) — о(х, 1)! ~ < ) ) б (х — Ф 1- т) !6 ($, т) — Р й, т) ! грейт и 1 с 6 ~ ~ б (х — $, 1 — т) 4 г(т 6 ~ 1 г(т ~ 6 Т. бе Положив 6 = е(Т, для всех значений х и для 0 < 1 < Т будем иметь ! и (х, 1) — и (х, 1) ! ~ е.
Теорема доказана. Мы здесь воспользовались равенством Ю 1 6 (х — 1, 1 — г) г(5 = 1, справедливым прп любгык значениях .с < 1. Оно устанавливается непосредственным вычислением путем замены переменной интег- рирования 6 =- х 1- гг '1 4а' (1-- т), г 'г1 3 а и е ч а и и е. В трехмерном случае для доказательства соответствуюц(их теорем надо использовать равенство Ц~ 6(х — 3, у — т), г — 1; () 4г(г)г(1=), справедливость которого устанавливается непосредственным вычислением с использованием замены переменных С= х+а)г'4из(, Ч =- у+ рг' 4игП Ь = г+ у )гЯ4аЧ.
Все остальные выкладки и оценки остаются прежними, ЗДДДс) и 1. Начальный ток и начальное напряжение в полубссконечном однородном проводе 0 ., х < со равны нулю. Сзмонндукция единицы длины провода пренебрежимо ыала. С момента Г.= 0 к концу провода прило'кена постоянная з.
л. с. Ез. Найти напряжение в проводе. 2. Найти распределение температуры з неограниченном пространстве, вызванное тем, что в начальный момент à — — 0 на сферической поверхности радиуса гз выделилось мгновенно Я равномерно распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного сфсрпческого источника тепла.) 3. Найти концентрацию диффундирующего вещества з неограниченном пространстве, начальная концентрация которога равна и )г з = из = сопзг для О ( г < Я и и (~ з = О для г) ч, 4.
Решить задачу 3 для полупространстза г) О, предполагая, что г, < й, (О, О, г,) — координаты центра сферы, в которой начальная концентрация равна из. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость г = 0 непроницаема для диффунди. рующего вещества; б) на плоскости г 0 поддерживается концентрация, равная нулю. Ь, Найти температуру палубесконечного стержни 0 ~~а < оо с теплоизо. лированными концам и боковой поверхностью, обусловлейную действием тепло.
вых источников плотности () (1) нв отрезке (а, Ф) (О < а < у), начиная с мо. мента 1* гз, б. С помощью функции источника, найденной и задача 2, решить краевую аадачу аз (игг (- иг) + 7 (г, 1) иг, О < г, ( < оо, 2 и (г, 0) ф(г), (и) < оо, гз аз+уз+ гг, 7. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, вызванное тем, что в начальный момент Г * 0 на каждой единице длины бесконеч ной цилиндрической поверхности радиуса гз выделилось Я равномерно распре. деленных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.) й. С помощью функции источника, найденной в задаче 7, решить нраевую задачу 1 з (игг+ иг)+((г, Г)=иь О<г, Г<оо Г и (г, 0) = гр (г), ( и ) < оо, гз = г' + у'.
9. Построить функцию влияния мгновеннога точечного источника на бесконечной прямой для уравнения азиз, — йи =- ип Глава уг'г' МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Метод функций Грина, описанный в гл. у[, применяется к ре. шению весьма широкого круга линейных задач. В настоящей главе мы рассмотрим применение его к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа.
Простейшим и наиболее часто встречающимся в приложениях уравнением этого типа является уравнение Лапласа Ьи = О. Его решения — гармонические функции — обладают рядом специфических свойств, которые понадобятся нам при изучении свойств функций Грина. Поэтому мы рассмотрим прежде всего некоторые свойства гармонических функций. $ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармонических функций Все результаты, к которым мы придем в этой главе, будут по- лучены из небольшого числа формул и соотношений. Выводом этих формул мы и займемся прежде всего. 1.
Пусть функции и (М) и о (М) обладают следующими свой- ствами: 1) непрерывны вместе с частными производными первого по- рядка всюду в замкнутой области Е>, ограниченной поверхностью 5, кроме, может быть, конечного числа точек; 2) интегрируемы вместе с частными производными первого порядка в области 0; 3) имеют интегрируемые в области 0 частные производные вто* рого порядка, Тогда, как известно, )т [и, о] — )И.[и] в(т о = ) й (чи, до) г(т+ ~ дио г(т — ) йо -~„- г(т в), (!) о о 3 Здесь 1. [и] зз г[[т (Ари) — г)и. Вычитая гт [и, о] из гт [о, и], получим вторую формулу Грина: ) [оЬ [и] — иЬ [о][ о[т ) й (о-~„- — и — „) г(а.
(2) о в Для одномерного случая вторая формула Грина имеет вид 1 ~ [пй [и] — ий [и]] о[х= А(о — „— и — „" ) ~ . о в) См. формулу (а) гл. )Ч. Сл е д с т в и е. Пусть Ь [и]: — г[[ч (йуи). Если для пганлго оператора 0 [и] в формуле (2) положить л: — 1, а в качестве и (М) взять решение уравнения Е [и] = ) (М), непрерывное вместе с частными производными первого порядка в области 0 =- 0 + 5, то получим ) ~ д "и )1(М)с[' (4) Для двусвязной области 0', ограниченной двумя концентрическими сферами 5я и 5л,(И, < Р) с центром в точке М„ формула (2) запишется в виде ~ [лЕ, [и] — и)- [о]] саг .=- о. — ]г й (л —"-- и — ига ) уо — ~ Й (и — '" — и — ') Ьт (5) за зя Минус перед интегралом по 5л, появился потому, что на поверхд д ности 5я выполняется равенство — = — —.
дь дг 3 а м е ч а н и е. При произвольных функциях гр (М) и ] (М) (даже непрерывных) вторая краевая задача может не иметь ре. щения. Действительно, пусть Ь [и] = г[[ч (й тги). Тогда для решения второй краевой задачи и (М), непрерывного вместе с частными производными первого порядка в О]= 0 + 5, должно ди выполняться соотношение (4). Поскольку — ~ = ~р (М), то полудь [в чим ~~(М) й )Г я й-сЬ [ГЬр(М) йт, (8) Таким образом, функции 7 (М) и ~р (М) должны быть связаны со* отношением ) 7'(М)Ит ° ) тир(М) ав.
(7) В частности, если 7 (М) - О, то функция в (Ч) должна удовлетво. рить условию ~Ь( Ь=б, (8) Легко понять физический смысл соотношений (7) и (8), если и (М) интерпретировать как стационарную температуру, а й (М)— как коэффициент теплопроводности. Тогда соотношение (7) выражает следую ций очевидный факт: для того чтобы существовало стационарное решение, неооходимо, чтооы количество тепла, образующееся в ооласти 0 за промежуток времени Лг от действия внутреццпх нгточциков, было равно суммарному потоку тепла, 134 уходящего через грапнну области 5 за тот же промежуток времени. 2. Функция и (М) называется гарлсонической в области Р, сслн она непрерывна в Р н в каждой точке области Р удовлетворяет уравнению Лапласа йсс =: О.
Пусть гмр есть расстояние между точками М н Р. Непосредственной проверкой убеждаемся, что в трехмерном пространстве ! функция и (М) =-, а в двумерном — функция и (М) =- мр ('1 == )п ( — ! являются гармоническими всюду, кроме точек М, ( 'мс / совпадающих с Р (госр — 0). В т-мерном пространстве (т» 3) функция и (М) =- г' р"' является гармонической всюду, кроме точки М, совпадающей с Р. ! 1 Функции 1п ( — ), —, „, называются также фундасмр смс смр ментальными решениями уравнения Лапласа. 11рименяя формулу (4) к гармоническим в области Р функциям (непрерывным вместе с их частными производными первого порядка в Р + 5), получим (9) Теорема о среднем значении. Значениев центре сИ„шаровой области Ря функции и (М), гармонической в Ря и непрерывной вместе с частными производными первого порядка в Ря — — Ря + 5я, Равно сРеднемУ аРифметическомУ ее значений на сфере 5я, т.
е. и(Мо) 4 ~* ) и(М)йо. (! 0) зс! Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (5), полагая в ней Г. (и ! гз Ли (й (М) = — 1), .о'= (гм,м=( (х хо) +(у уо) +(г го))~ 'м„м в качестве и (М) возьмем функцию, гармоническую в шаровой области Ря, ограниченной поверхностью 5я, и непрерывную вместе с и„., иср и, в Ря + 5я. При этих условиях интеграл по Р' (Р' ~ Р„,) равен нулю. Интегралы по 5я и по 5я, от произведи дения о — в силу соотношения (9) также равны нулю (функция и дс равна на этих поверхностях соответственно 1!Й н !,Яс, я: — 1). Таким образом, будем иметь ~ сс —,' ( — ) с!о — ~ и —,' ( — ') с)о ==.О. зя я с! 135 Вычисляя производные и применяя к последнему интегралу теорему о среднем значении интеграла, получим — ~ и (М) да == —, 4лйзг и (М'), М' ~э 5я, . 1 ви Устремляя теперь Рз к нулю, получим формулу (1О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
