1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 27
Текст из файла (страница 27)
д4 ! ° д1т (й) й Р Отсюда ф (Р) = !!(4пР). Таким образом, функция Грина б (М, Р) имеет вид б(М, Р) = — +о(М, Р) (23) и, следовательно, имеет в точке Р особенность вида 1/(4лгмй). Для плоскости С (М, Р) имеет вид б(М, Р) = —,1и ( — )' ,п(М, Р). (24) й!ы не будем повторять соответствующие выкладки. Функция о (М, Р) определяется как решение задачи да х ( а д(1/гмй) ! Лп = О, (Иго ', сгз — ) — — — — + йт дй)а ~~мр - ди ) 4л ' В Она единственна для первой (и третьей) краевой задачи (см.
стр. !37). Для внешних краевых задач функция Грина определяется аналогично. Она также обладает свойством симметрии и для й (и!--- == Ли + дп имеет те же особенности. ы! 11:! определения функции Грина как решения ураш1енпя Лб -- Ь (И, Р) и формул (23) и (24) следует, ~!го (25) для трехмерного пространства и Л (1и — 1 — -2пб(М, Р) г„,г (25) для двумерного пространства.
4. Пользуясь формулой (23), нетрудно дать физическую интерпретацию функций Грина для оператора Ли. Мы это сделаем для первой краевой задачи. Пусть поверхность 5, ограничивающая область 1Э, сделана из проводника и заземлена. Поместим в точке Р внутри т) электрический заряд величины 1!(4п). Этот заряд индуцирует некоторое распределение зарядов на поверхности 5. Потенциал электростатического поля в области Т1 будет равен сумме: 1) потенциала поля, созданного точечным зарядом; он равен 1,'(4пгмр), и 2) потенциала поля, созданного индуцированными зарядами; он равен и (М, Р). Эта сумма и равна б (М, Р).
Таким образом, б (М, Р) можно интерпретировать как потенпиал поля, созданного точечным зарядом, помещенным внутри заземленной замкнутой проводящей поверхности. При такой цнтерпретацпн свойство симметрии функции Грина выражает принпип взаимности точки заряда и точки наблюдения. 3 а м е ч а н и е. Определенная таким образом функция Грина не всегда существует, Так, функция Грина второй внутренней краевой задачи для оператора Лапласа Е. [и! .= Ли не существует, поскольку не существует соответствующей функции 1 и ( И) (б.—.
— + и), гармонической в В, непрерывной в Т! 4пг )' вместе с частными производными первого порядка и удовлетворяющей условию ди 1 1 д / 1 — ~ = — Т(М) = — — — ( — ), дл !э 4лдл(г ибо не выполняется необходимое условие ~ гас(п == О. В этом случаефункцпю Грина можно определить как решение краевой за- дачи Лб = — 6(М, Р), 142 где 5„— площадь поверхности 5. Такая функция существует и определяется с точностью до аддптпвной постоянной. Пользуясь формулой (19), находим решение и (Р) второй краевой задачи (14) — (15): и (Р) = ~ й(М) 6(М, Р) (р (М) !Ьзг —. ~ 6(Л1, Р) ) (И) с(т ~ с!а, пли а(Р) .— — ~ /г(М) 6 (гИ, где С = соп51 Р) <р (гИ)г(оьг — 1' 6(М, Р)1(М)!(т„) С, и С =--- — ~ й(гИ) ) !Ь,„~ .
5 ) $ 3. Построение функций Грина. Интеграл Пуассона 6(М, Р) = — !п — — — 1п— 2л г„е 2л г где точка Р, симметрична точке Р относительно прямой !. П р и м е р 2. Построить функцию Грина первой краевой задачи для прямого угла Р на плоскости, ограниченного прямолинейными лу ымн 1, и 1,. !Ю 1. Одним из методов построения функций Грина является м е т о д о т р а ж е н н я. ))4ы поясним его ца примерах.
П р и м е р 1. Построить функцию Грина первой краевой задачи дтя полу- пространства, ограниченного плоскостью О (без ограничения общности сс можно считать совпадающей с координатной плоскостью г = О). Пусть Р— особаи точка функции Грина. Поскольку 0(М, Р)=- рс, 1 4лгмг задача сводится к отысканию функции и, гармонической в рассматриваемом полупространстве (например, г) О) и равнои — 1!(4лг„г,) на его границе. Такой функцией, очевидно, является функция о = — 11(4лг и ), где Рт — точка, сим- метри ~ная точке Р относительно плоскости Я. Действительно, функция — 11(4лгд ) гармонична в полупространстве г)0 и равна 1((4лг р) в точках М ~ (), ибо для таких точен г г .
Таким образом, искомой функцией Грина будет функция б (Л(, Р) =- 1 1 4л'агн 4л.агщ Такой способ построения функции Грина для полупространстваг ограниченного плоскостью, подсказывается приведенной в 2 2 физической интерпретацией функции Грина. В самом деле, если мы поместим в симметричных точках Р и Р, точечные заряды величины 1!(4п) и — !/(4л), то потенциал электростатического поля, созданного этими зарядами, будет функцией, гармонической всюду, кроме точек Р и Р,, и равен нулю на плоскости Я. Аналогично для полуплоскости, ограниченной прямой 1, функ- ция Грина имеет вид Пусть Р— особая точка функции Грина. Симметри щых сй границ точек будет две: Р, и Р, (рис, 18). Пусть Ра — точка, силхметричиахх точкам Р, и Ра опюсительио егоров угла, Тогда функцией Грина будет следующая функция.
1 1 ! 1 1 6 (М, Р) — —, )и — -- —,1и — —, 1и — +— отиосхпельно продолжения 1 )и эхр Действительно, здесь функция о равна 1 1 1 1 1 1 — — 1и — — —, !и — + — 1ц — — . 2л га,р 2ч г,хр. 2ч г,„, Оиа гарь~анкина в арамом угле ХУ (как функция точки М) и равна — )и— — ! ! 2л гмр на его сторонах. Последнее следует из того, что если М ев Хх, то г == г х, шр-- мр, Д! 1,,' то „.„= г",,",,' г, — — гхи Р П р и и е р 3. Построить функцию Грина г первой внутренней краевой задачи для круга 6 (М, Р) .— — !п — 1- о. 1 ! 2Л гщу Задача сводится к построению функции о, гармо,.— 1 ! наческой в круге и равной —,1п иа его 2л гмр 1 1 1 Р 6 (М, Р) — — 1и — -- — )и 2л гм р 2л Ргшр, (28) П р и м е р 4.
Решить первую внутреннюю краевую задачу для уравнения Лапласа йи = 0 в круге. Искомое решение дается формулой д6 и (Р) = — ~ чх (з) — дз, дл С полу |ающейся нз формулы (201 при Х' (М): О. В рассматриваемом случае функция !рнии 6 определяется формулой (28). !П границе. Пусть Р— особая точка функции Грина. Рис. 18. Обозначим через Р, точку, сил~метричную точке Р относительно границы области (окружиости С). (Точка Р, называется симметричной точке Р относительно окружности С, если обе эти точки лежат на одном дуче, выходящем из центра круга, и произведение их расстояний р, и р от центра равно квадрату радиуса, т. е. Рр, =- )сз ) Если точка М лежит иа окружности С, то, как видно из рис. 19, Р (27) С Х так как треуголыцхки 6МР, и 6МР но- в добны.
Поэтому функция ! Р и - -- —,)н — —— 2л рг, и будет искомой. Следовательно, функция Грина первой впутреиией краевой задачи для круга имеет вид Рис. 19. дО Вычислим дл 1 ! ! 1 — сов (л г ) — —, сов(п, г ), мР з|Р, ОМР, (см, рис 19) находим 2 2 Р 2йгэте дΠ— дΠ— — .=- — сов (л, г) дп дг Из треугольников ОМР и Рз 1- соэ (и, Г г) Рг+ л рз соэ (" не,) 2Р э|из поэтому 3 з з (С вл ( 2йг Е 2йгм,, Заменяя гагр по формуле (27), а р, по формуле о, = — Рэ!р, получим дО ! 1 йа — рэ С Из а ОР!г! находим г',, = Р'+ рэ — 2йр соэ (Π— ф), поэтому дб) ! Рз — ! дп )с 2Рл Рэ и рв — 2йрсов(0 — ф)' Подставляя это значение в формулу (29), получим интеграл Пуассона зп (Р— р) г(0)дв «(Р1= 2л З Р'-~- ре — 2йрсоз(0 — ф) ' о где р, ф — полярные координаты точки Р, Р, 0 — полярные координаты точки М на О.
(ЗО) 145 2. Функцн!о Грина первой краевой задачи для уравнения Лапласа на плоскости иногда можно построить с помощью конформных отображений. Пусть требуется построить функцию Грина краевой задачи б и '-.- 1 (М), М ~ В, (31) и)з =- Ч (М), (32) где 0 — односвязная ооласть, ограниченная кривой 5. Область О плоскости (х, у) можно конформно отобразить на единичный круг ) ю ~ !. Пусть функция ыг::=- Ч" (з, !) осуществляет это отображение и точка з = ! переходит при этом в центр круга ьу — О, т, е, Ч'((, !) .=- О, Тогда функцией Грина краевой задачи (31) —.(32) будет функ!(ия 6(М, Р) =- — 1и (33) в которой г = — х + |у, г = 5 + гт), х, у — координаты точки М, $, т) — координаты точки Р.
В самом деле, поскольку функция нг = Ч"(з, |) осуществляет копформное отображение области О, то она аналитическая в области 0 и 1)г (з, !) ~ О при з ~ 1, а — Ф О всюду в О, включая дг или 1 1 1, 1 1 — 1п, == —,, !п + — (п — —. 2п 1Ч <г <1! зл г«р ' 2ч 1Г(е <1! Поскольку Л (!и 1 1 =- -2лб(И, Р) 'дов / ! 1 и, (п 2л е 1Е(а, ,И <и 0 и Р ьи <! ! — гармоническая в облаем! 0 функция, то для 0 <1< ' —, (п; = — 6 (<И, Р).
1Ч (а, <!! !'= Поскольку при отображении и< = '1'(г, !) граница области О, т. е. кривая 3, переходит в границу круга ! и<) .== 1 *), то ) Ч' (г, 1) )з --- 1 и, следовательно, (2л !ж(а, <!! „= Это равенство вместе с формулой (35) и означает, что функция Грина задачи (31) — (32) определяется формулой (33). Непре- 1 ! рывность функции — !п), всюду в замкнутой области О, 2п )Ч'(а, <) ! кроме точки Л4 = Р, есть следствие непрерывности отображения щ -- Ч" (г, 1) в б и неравенства Ч" (г, () ~ О при г ~ (.
П р н и е р Б. Построить функцию Грина первой краевой задачи для урав- нения <ти = г (М) в полосе — со с. х с. со, О С у с, и плоскости (х, р!. ')Лаврентьев М, Л, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного перенснно<о. — М.: !(аска, 1973. 116 точку г =- 1. Следоьатсльно, г =- ! является нулем первого порядка функции Ч" (г, (). Поэтому справедливо представление Чг (г, !) =:= (г — () Г (г, (), (34) где Р (г, 1) — аналитическая в области 0 функция переменной г и Р(1, <)~0. ФУнкциЯ )п Р (ге 1) =1п(Р(г, ())+(агЯР также аналитическая в области О. Ее вещественная часть !п ! Р (г, 1) ! — гармоническая в области 0 функция. Слсдовательно, функция 1 — !и ! 2л (г (т, <1! также гармоническая в О. Пользуясь формулой (34), находим 1 1 1 ! ! ! — 1п = — 1и + — 1п 2п (Ч'(а, <)! 2п !з — <! 2л (Е(з, <!! Фзнкпия ю — ' ' = з)г(г, 1) х г и — е осуществляет конфорииое отображение атой полосы на круг ! иг ! < 1 и то ~ну х = 1 переводит в центр круга щ =- О.
Поскольку ! г' "-гг ! — ег""! з !'2(с!з (х — ~ь) — сов (у — Ч))нг, ! ~' — г~ ! =- ег" ' '1- )с2 (сй (х — Р) — соз (у 1. 000, то функ!гик 1 рина писст Виг[ 1 1 ! сй(х — 51 — соя!у Ь ч! О(Л!, Р) = —, 1п -- — 1и 2и ! Ч (х, /1! 4и сй (х — 61 — сок (у — Ч/ 3. Можно также указать способ построения функций Грина для одномерных задач вида — (/г (х) у'! — д (х) д = /' (л'), 0 < х < 1, (36) а,у' (0) — (5,у (0) -- О, азу' (/) + ~з// (1) О, (37) где /г (х) > О, д (х) ==- О, ад, а,, )1„()в = 0 и а'-,' + (з', ~- О, ().; + + сс' Ф О.
Мы зто сделаем для таких задач вида (36) — (37), в ко- торых г. - 0 не является собственным значением соответствугощс й задачи Штурма--Лиувплля, т, е, задачи 1, (у! .; Ху: — 0; а,у' (0) — (Згу (О) = О, ссау' (/) + рзу (/) =- О. (в) Сначала сформулируем О и р е д е л е н и е. Функцией Грини 6 (л, з) краевой зпдпчи 1. (//! в в „х !/г (х! у'! — у (х) у = — / (х) *), а,у' (0) — — (з,у (0) =:-. О, а,//' (1) + ()з// (1) = 0 называется решение краевой задачи !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
