1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обратимся к неоднородному уравнению. Решение задачи Коши азиях + ~ (х, !) = «е, (5! ) и (х, О) = <р (х) (52) !25 о ю =и< ) б(х — й, <)<$-~-иг) б(х — $, г)п'$, В е Производя замену переменной с< = (х — з)/)/4паб получим к/)Г4ак< Ю и(х, <)== ) е И<к — — ) е Ып=— — ик г из к !Укак< будем искать в виде суммы двух функций и (х, 1) = о (х, 1) + + и (х, 1), являющихся решениями следующих задач: ш а'о„, = оь и (х, 0) = <р (х); и: ави„„ + 1(х, 1) = и,, (51,) и(х, 0) =-О.
(53) Функция и (х, 1) дается формулой (39). Решение задачи (51т), (53) можно получить методом, описанным в гл. 11!, 2 6, п. 1. Зто решение равно интегралу и (х, 1) = ~ Щ (х, 1, т) с(т, о где Щ (х, 1, т) есть решение однородной задачи Коши авЩ„, = Щ~, Щ (~ т = 1" (х, т). Согласно 2 1 настоящей главы оно равно Щ (х, 1, т) = ~ 6 (х — з, 1 — т) 1($, т) Щ. Следовательно с ю и(х, 1)=)Г ~ 6(х — $, 1 — т))($, т)с$дт.
(54) — 6 (х — $, 1 — т) = ~ ($, т) 6 (х — $, 1 — т) сЦ с(т. иО Имея в виду замечание на стр. 118, естественно предположить, что температура, обусловленная действием всех таких источников (распределенных по всей прямой) в течение промежутка времени от 0 до (,тбудет равна и (х, 1) = ) ) 1($, т) 6 (х — $, 1 — т) с$ с(т, о — ю Если в частности, тепловой источник действует лишь в точке а„ но изменяется со временем, то функция 1(х, 1) в уравнении (51) будет иметь вид 1 (х, 1) = 1 (1) 6 (х — $е). т) См.
вывод уравнения теплопроводности (стр. 27). 12о о— Зту функцию можно также получить, если воспользоваться температурной интерпретацией функции Грина и уравнения (5!т). В этом уравнении ср) (х, 1) есть плотность тепловых источников в единицу времени е). Следовательно, на отрезке длины д$, содержащем точку $, за промежуток времени (т, т + с(т) выделится количество тепла Щ = ср) ($, т) с($ с(т.
Если это количество тепла считать выделившимся в точке в мгновенно в момент времени т, то температура, обусловленная действием этого источника, будет равна Тогда решение задачи (51,), (53) с такой неоднородностью будет иметь вид св(х, г)=) ) 5(5 — $ь)7'(т)6(х — $, 1 — т)Юйт= о— с = ~~(т) 6(х — ńà — т) йт. о Мы здесь воспользовались свойством б-функции. 3 а м е ч а н и е 3. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения с нулевыми начальными значениями а'и,,+1(х, 1).=ип и(х, 0) =-0 также можно записать в виде свертки (по двум переменным!) фундаментального решения 6 (х, 7) с функцией 7 (х, г): и(х, 1) =6(х, 7) в 7(х, 7) = ~ ~ 6(х — $, 1 — т) 7Д, т) а$йч. о— 3 а и е ч а н и е 4. Решение задачи (51,), (53) на полупрямой с краевым условием ш (О, 1) = 0 (или ш (О, 1) = 0) строится аналогично и дается формулой с ш(х, 1)=~~ )ф, т)6*(х, К 1 — т)йЕйт о о 5 4.
Решение задачи о распространении тепла в трехмерном (двумерном) пространстве Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для уравне- ния теплопроводности в двумерном и трехмерном пространствах. Рассмотрим сначала однородное уравнение аз Ли = иь (55) Функцией Грина 6 (М, М,; 1) задачи Коши для уравнения (55) называется такое его решение, которое: а) удовлетворяет начальному условию и (М, 0) = б (М, М,); (56) б) непрерывно всюду в замкнутой области 1:>~=( — со<.х, у, г(оо; 1)0), кроме точки (х„у„г„О), Здесь х, у, г и х„у„г, — координаты точек соответственно М и Мь, б (М, М,) есть б-функция с особенностью в точке М,.
Для нахождения 6 (М, М,; 1) докажем сначала лемму. 127 Л е м м а. Если в задаче Коши и' Лсс:= ссь и (М, О) =- ср (М) начальная функция ср (М) представляется в виде ср (М) = срс (х) цсз (у) срз (г), то решением задачи'будет функция и (М, 1) = и, (х, 1) и, (у, 1) и, (г, 1), где и, (х, 1), и, (у, 1), и, (г, 1) — решения соответствующих одно- мерных задач: а'и,„з = игн и, (х, О) = ср, (х) ит. д. Доказательство. В силу условий леммы азб (и,изи,) = изссзазис„, + и,и азиз„з + и,и,а'и „ = = изизим (- и,изи,с -1 и,и„им : — (исиоиз)с. Таким образом, и = и,и,и, удовлетворяет данному уравнению и, очевидно, также начальному условию. Заметим, далее, чтоб(М, М,) = 6 (х — х,) 6(у — у,) 6(г — г,). Поэтому, применяя доказанную лемму к задаче (55) — (55), полу- чим искомую функцию Грина в виде 6 (М, М,; 1) = 6 (х — х„с) 6 (у — у„() 6 (г — г„с), Используя формулы для одномерных функций Грина 6 (х— — х„с) и т.
д., получим 6(М, Мо 1)= ) ехр ~ ! 'сз Г (х — хо)о Ф (У вЂ” Уо)'+ (з — зо)з) =() / 4 оС 1/ 4пан с' 4аоС для трехмерного пространства и аналогично (М М С) ( ) Екр ~ ( о) + (У Уо) для двумерного пространства. Эти решения называют также фундаментальными решениями уравнения теплопроводности а' Ли = ис. По причинам, о которых мы говорили в 2 1 (стр. 118), эти функции называют также функциями влияния мгновенного точечного теплового источника. Если в точке М, в начальный момент'с = = 0 мгновенно выделится количество тепла, равное Я, то температура в произвольной точке М пространства, обусловленная действием этого источника, равна (для С ) О) — 6 (М, М,; с).
0 ср Легко построить решение задачи Коши для однородного уравнения азии = и,, и(х, у, г, О) =- ср (х, у, г). Решением будет функция и(х, у, г, 1)= ) <р(5, ть ~)6(х, у, г, с, ть Г„С)с(эй)Щ. (57) )2з Решением задачи а'-Ли + 7 (х, у, г, 1) — и,, и (х, Го г, 0) -- 0 будет фушоцпя сч и (х, р, г, 1) = (1 ) ) ) 7 Я, тй ч, т) х О Х 6(х, у, г, ~, гь ~; 1 — т) г%Й)е(1;т(т. (58) Решение задачи Коши для неоднгродного уравнения азби+) (М,() = иь и (М, 0) --. ~р (М) равно сумме функций (57) и (58).
Доказательства последних утверждений проводятся почти дословно так же, как это делалось для одномерного случая. Поэтому мы их не будем приводить. 3 а и е ч а н и е. Решение задачи Коши ааби =- ио и (,Ч, 0) =- ~р (х, у, г) можно также записать в виде свертки (по трем переменным!) фундаментального решения 6(х, Го г; 1) = ( ) ехр ~ — ~ +Р, ' с начальной функцией ~р (х, у, г): и(х, у, г, 1)=6(х, у, г; 1) е ар(х, у, г)= =.: ) )) 6(х.— $, у пн г — '; )) н(е, т), С) е(Яй) г(г Мы проиллюстрировали применение метода функций Грина к решению задач в бесконечном пространстве или в полупространстве. Как указывалось в э 1, этот метод можно применять также н к решению краевых задач в ограниченных (по пространственным переменным) областях.
Так, если определить функцию Грина первой краевой задачи как решение задачи а и,, -- ио и (О, 1) — — 0 -:= и (У, 1), и (х, 0) — - б (х — ха), непрерывное всюду в области Ос -= — (О < х < У; ( ~ 01, кроме точки (х„О) (обозначпм это решение через 6 (х, х„; 1)) *), то *) Решая эту задачу методом разделения переменных, находам — 2 % Э лп лп лап1 О (х, хы 1) = — р з)н — х з1н — х, Мп— ч =-1 129 З засечен н.я решение задачи псп,, = пс, п (О, 1) —.— и (/, 1) — О, и (.к', О) с1 (х) можно записать в виде сс(х, 1)=~ ср(Ц)6(х, 5; Е)с$.
о Аналогично обстоит дело в случаях второй и третьей краевых задач. Однако этот метод не характерен для ограниченных областей и обычно не применяется. $ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым изменениям исходных данных Пользуясь формулами (38) и (57), (54) и (58), нетрудно показать устойчивость решения задачи Коши для простейшего уравнения параболического типа к малым изменениям исходных данных: начальных значений ср (х), ср (М) и неоднородностей в уравнениях (плотностей источников) с (х, г), 7 (м, 1). Мы докажем соответствующие теоремы для одномерного случая.
Для двумерного и трехмерного случаев они формулируются и доказываются совершенно аналогично. Т е о р е и а 1. Еглп в задача.к Коссссс и" п,, — пс, п (х, О) - ср, (х'), — ьо < х < асс, (59) и аео,,„ =- ос, о (.к, 0) =-- ср, (х), — оь < х < оь, (60) для начальных значений срс (х) и ср, (х) выполняется неравенство / срс (х) — ср, (х)1 < а (61) ссрссс всех значениях х, то для Ассиений засох задач и (х, 1) и о (х, 1) выполняеспся неравенсспво ,сс(х, 1) — о(х, 1)~ <е прп всех значениях х и 1 ) О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Используя формулу (38) для решения задач (59) и (60), а также неравенство (6!), получим / о (х, с') -- сс (х, 1) ) < ! О(» — ь, Г)1срс(Б) — срк(Б)~дй <е ~ 6(» — Б, с) "Б=-е, так как ~ сс (х —. з, г) дя === 1. Справедливость последнего равенства устанавливается непосредственным вычислением интеграла. Производя в пем замену сзо переменной гпггег)гпровггггня но форму.че ч -= х + а ~' 4гге(, получим с$ =-- гс4аг1г(а и Ю ~ гг(х — $, 1) Щ= = ~ е — ' г(а= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
