1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(21) а о о 3 Для первой и второй краевых задач формула (21) имеет вид Интегрируя тождества (23) и (24) по переменной 1 на промежутке 10, Т1 и пользуясь тождеством о (М, 0) = О, получим соответственно т г )' роа(М, Т)с(т= — 2 ~ ~)а(Чо)аа(тй — 2 ~ ~ до'(М, Т)йта0 (25) а о а о ) роа(М, Т)бт=— т т г =.— 2 ) ) )а(то)аг1та(1 — 2) ~ до'а)1г1т — 2 ~ ~ й т' па а(аа(1. (26) а о а з а о Так как правые части в формулах (25) и (26) неположительны, а левые части неотрнцательны, то ( ро- (~И, Т) а(т = — О. 'о Отсюда следует, что о (М, Т) =: 0 для произвольного Т ) О.
Теорема доказана, 3 а м е ч а н и е. Требование непрерывности решения в замкнутой области В существенно, так как прн невыполнении его единственности иет. Действительно, если мы прибавим к решению, например, первой краевой задачи функцшо й (М, 1), тождественно равную С (С = сопз1) внутри области В и равную нулю на ее границе, то получим решение той же краевой задачи при любом значении С. Конечно, зто замечание относится и к краевым задачам для уравнений гиперболического типа.
В ряде случаев теорему единственности решения краевой задачи для уравнений параболического типа можно доказать в более слабых предположениях. Это можно сделать, пользуясь, например, принципом максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности. Ему посвящен следующий параграф. й 4. Принцип максимума и минимума для решений уравнения теплопроводности 1. Пусть т) — произвольная конечная область, ограниченная поверхностью В, и Т вЂ” произвольное фиксированное положительное число. Рассмотрим замкнутую область Вг = (М ~ д, 0 ~ .= 1 ~ Т) . Это цилиндр с основанием 0 и образующими, параллельными оси 1.
Когда 0 — двумерная (плоская) область, Вг изображена на рис. 20. Для одномерной области 0 (отрезок 10, 11) В, — прямоугольник (О " х =- 1, 0 =:- 1 =-- Т). Для решения уравнения теплопроводности 011У (/с~тгг) =- Риь (2 ) в котором й = й (М) > 0 и р ==- р (М) > О, справедлива Теорема о максимуме и минимуме. Всякое решение и (М, () уравнения (27), непрерывное в замкнутой облаопи Вг, принимает наибольшее и наименьшее значения или на нижней границе области Вг (при (: — 0), или на боковой поверхности (М~ 5, О<( Т).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и (М, () — решение уравнения (27). Если и (М, () == сопз1, теорема очевидна. Поэтому будем полагать, что и (М, () Ф сопзй Для определенности будем доказывать теорему для наибольшего значения *). Пусть ир — наибольшее значение ег решеыия и (М, () на границе Г области В, Г =-- (М В,О<(<Т)+(МелО, в ... 1 - - 0,', а иг — наибольшее значение р '"' его в области В,. Требуется доказать, что ир = из. Очевидно, что из --- ир. Предположим, что ив > ир, Рассмотрим вспомогательную функцию о (М, 1) =: и (М, г) + сс (Т вЂ” г), где число гх > 0 и и < (из — ир'р((2Т).
Функция о (М, () непрерывна в области В,. Следовательно, она достигает в Вг наибольшего значения в некоторой точке (М„т,) т Вг. Очевидно, о (М„(г) ) из, так как о (М, () ) » и (М, () всюду в Вт. Точка (М„тг) не может лежать на границе Г. Действительно, для любой точки М в Б и 1 = 0 о (М, 0) = — и (М, 0)+аТ(иг ) — (из — ггг) < ив 1 и для любой точки М ~ 5 и 0 < ( < Т 1 о (М, 1) < иг -( я(Т вЂ” г) < ггг -) гтТ (ит' г а (ив иг) с из ° Таким образом, для любой точки (М, () е= Г функция о (М, 1) < ив, в то время как о (М„гг) ~ из.
Итак, точка (М„гт) принадлежит либо открытой области Вт, либо является внутренней точкой верхнего основания цилиндра Вг. В обоих случаях в ней функция и (М, () должна удовлетворять уравнению (27). Однако, поскольку зго =-Чи и зго (аг=м, =- О, а Ло 1агг лг, < О, й=-и *) Доказательство теоремы для наямснынего значения сводятся к рассматриваемому случаю заменой и (й(, 0 на — и (й(, О. 1БО то Йч (/. Ъш) ьи .и, == Йч ((г то) !и .ли = — ((тк, С"о) - (г Ло)! и=м, -= О. и.и С другой стороны, ис (Мо 1 ) = ою (Мн ~») + а > О, ибо ос (М,, ~,) ~ О, Таким образом, во внутренней точке (Мм 1,) области Вг функция и (М, г) не удовлетворяет уравнению (27), что противоречит условию теоремы.
Следовательно, нельзя полагать иа > иг, и поэтому иь — — - иг. Теорема доказана. Ее часто называют принципом .чаксимума и минимума. 2. Эта теорема является выражением того физически очевидного факта, что тепло (или диффундирующее вещество) перемещается лишь от мест с большей температурой (концентрацней) к местам с меньшей температурой, т. е. «растекается». С заданием начальной температуры (концентрации вещества) на границе г =-= 0 области Вг с момента ( -= 0 начнется процесс «растекания» тепла (вещества) во внутренние точки области.
Очевидно, в силу отмеченного выше факта, при этом температура во внутренних точках не может стать выше температуры на границе ( =- О. То же можно смазать и о случае, когда задается температура на границе («И ~ 5, 0 ( ~ ( Т). 3. С л е д с т в и е 1. Если решения уравнения Йч (Iг~ги) + ( (~И, Г) =- ои, (28) и, (М, г) и и«(М, Г), непрерывные в ооласти В:: («И ~в 7), г = О), на границе области Г =- 1М 'э 5, ( > О) + (М ~п Ъ, ~ =- О) удовлетворяют неравенству и, (М, Г) ( и«(М, Г), то и всюду Е В выполняется неравенство и, (М, Г) ~ и«(М, Г). Действительно, функция и (М, () = и., (М, Π— и, (:И, () является решением уравнения (27), непрерывна в В и на Г положительна, Следовательно, для любого Т > 0 наибольшее и наименьшее значения функции и («И, г) в области В, положительны.
Поэтому всюду в области Вг и («И, 1) > О. Ввиду произвольности числа Т неравенство и (М, г) > 0 справедливо всюду в области В. С л е д с т в и е 2 (теорема о непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от краевых и начальных значений). Если в краевых задачах Йч (йуи) + 7' (М, () = оио и ~в — ф, (М, (), и («И, 0) ==- <Г,(.И) Йх (Ах7и) Р ((гИ, () ..= рпи и /в =:= »Р«(М, г), и (М, 0) = «р, (сИ) для функций цп, «Г», »Р„ф«выполняются неравенства 1 ц (М) — Г («И)! ~ ' 6 Арсе««к Б.я. ш! во всех п|ачках области Т1, ограниченной поверхностью Я, и ! ф, (М, 1) — ф, (М, 1) ! < е для всех М ег 5 и 1:.
О, то для непрерывных в области В решений и, (М, 1) и и, (М, 1) этих задач вьсполняепгся всюду в В неравенство 1и,(М, 1) — и,(М, 1)(< е. Это непосредственно вытекает из следствия 1. 4. Очевидно, из принципа максимума и минимума следует единственность решения первой краевой задачи для уравнения (28), непрерывного в области В. $5. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности 1. Здесь мы будем рассматривать простейшее уравнение теплопроводности (одномерное или многомерное с числом измерений по пространственным переменным т) а'Ли+)(М, 1) =ио (29) Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и, Решение задачи Коши для уравнения (29) с начальными значениями и (М, 0) =- ч~ (М), непрерывное и ограниченнсе в замкнутый области В~:— == ( — оо < х„х„..., х„, < оо; 1) О), единственно.
Здесь (х,, х,, ..., х ) — координаты точки М пространства т измерений. Проведем подробное доказательство для одномерного случая. Пусть и, (х, 1) и и, (х, 1) — два решения задачи. По условию теоремы существует такое число й1, что ! и, (х, 1) ) < М и ) и, (х, 1) ) < <с Ж всюду в области В' =- ( — оо < х < оо; 1=» О). Рассмотрим функцию о (х, 1) =- и, (х, 1) — и, (х, 1).
Эта функция является решением задачи Коши а'о, =- оы (30) о (х, 0) = О, (31) непрерывным в В', и ! о (х, 1) ! < 2У всюду в В'. Введем в рассмотрение область Вл: — (/х/ < Р; 1 ~ О) и вспомогательную функцию ш = — ~ ( — + аэ1) . Очевидно, ш (х, 1) является решением уравнения (30), непре- рывным в области Вя. Кроме того, на границах области Вя вы- полняется неравенство ) о (х, 1) ! < ш (х, 1).
Действительно, ) о(х, 0) ) = О < — „, хь =ш(х, 0), 2н' ~ и (~- (с, 1) ~ 2й1 < —, ( — + аЧ) = ш (~ В, 1). гва Таким образом, к функциям о (х, /) и мэ (х, /) в области Вл применимо следствие ! теоремы о максимуме и минимуме (ч 4), Согласно атому следствию ~ о (х, 1) ) ~ ш (х, 1) всюду в области Вл|. Рассмотрим теперь произвольную точку (х„ /,) области В'. При любом достаточно большом значении )с зта точка принадлежит области Вя. Следовательно, 4И /х', (о (хт, /,) ~ ~ ме 1 2 + ае/т ) .
Взяв произвольное число в ) О и достаточно большое Я, мы будем иметь е// / х( )о(тт, /т) ~ - — „-) —, ', ас/,) (е. Следовательно, о (х,, /,) = О. Ввиду произвольности точки (х,, (т) равенство о (х, /) = О, т. е, и, (х, /) = — ие (х, /), выполняется всюду в В'. Теорема доказана. 2. В случае пространства произвольного числа измерений лэ вместо Вр, надо взять области Вл = (М ~ Рл; / ) О), где Ря— шаровая (замкиутая) область радиуса /с с центром в начале ко- ординат. Вспомогательную функцию надо взять равной ш(М, /) = —, ( — +ае/), где и — расстояние точки М от начала координат.
Далее все рас. суждения в доказательстве повторяются почти дословно '). 3 а м е ч а н и е. Требование ограниченности решения в об. ласти ие является необходимым для единственности, В значительно более слабых ограничениях на рост решения теорема единствен ности была доказана А, Н. Тихоновым" ), й 6. Единственность решения краевых задач для уравнений аллиптнческого типа 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
