1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Значения параметра к, при которых уравнение (14) имеет нетривиальные решения (т. е. не равные тождественно нулю), называются собственными значениями (с. з.) уравнения (!4) (ядра К (х, э)), а соответствующие им решения ц~ (х) — собственными функциями (с. ф.) уравнения (ядра). Справедлива следующая Т е о р е м а 1. Если в уравнении (13) ) не равно собственному значению соответствующего однородного уравнения (!4), то уравнение (13) может ил~еть лишь единственное решение. Лок а за тел ьст во. Пусть ~,(х) и ц,(х) — два решения уравнения (!3).
Тогда справедливы тождества родная сислгема уравнений П ~~ ассхс= — (сс (с = 1, 2, ..., п) (!6) с'..-! ссмеесп единспыснное ресисние пра любых зна сепиях правых !састей Ь,. Матрица В, полученная из матрицы А =- (ас,) системы (16) путем присоединения к пей столбца элементов, стоящих в правых частях этой системы, называется распшренной матрицей системы (16) . Т е о р е и я Г.
Д гя того чтооы спстс,гсл (16) бьсла разреиссыса, необходимо и достапгочно, юпобы пинг расширенной матрицы В систелсы (!6) был равен рангу ллптрицы А этой сисспемы. 3. Как указывалось в 3 4, приолиженное решение уравнения (!3) можно получить, заменяя это уравнение соответствующей системой линейных алгебраических уравнений !! ср - Х 2; К„„срсйзс=) (си=-1, 2, ..., и) (17) с ..- ! и решая затем эту систему. Таким же путем известные теоремы о системах линейных алгебраических уравнений переносятся на интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Для интегральных уравнений эти теоремы называются теорелшлш Фредгольлга.
Ниже мы укажем одпп пз способов получения теорем Фредгольма, не вдаваясь в подробные доказательства. Функцию ср„(х), равную решению системы (17) в соответствующих узловых точках и линейную между ними, будем называть полигональной функцией, соответстсуюгцей решению системы (17). Справедлива Т е о р е м а 2. Полссгональнасс функция с!г„(х), соответствуюсцая решению системы (!7), равномерно стрелштся при п- ьо к рессинию интегрального уравнения (!3). Мы опускаем доказательство этой теоремы.
Теперь опишем способ получения теорем Фредгольма. Пусть Х не является собственным значением ядра К (х, в). Тогда однородное уравнение (!4) имеет лишь тривиальное решение. Поэтому, имея в виду теорему Л п. 2, можно утверждать, что соответствующая система алгебраических уравнений, которой заменяется интегральное уравнение (!4), т. е.
система Л ч„, ), 2. Кс„,цгсйвс — 0 (т=!, 2, ..., ), с-.! имеет не равный нулю определитель. Следовательно, система уравнений с1.! — )г Е Ксч,цРЯзс =)' (т = 1, 2, ..., п), — ! которой заменяется неоднородное интегральное уравнение (!3), с!к!ест сдппствснное решение. Сосгтветствующая этому решеншо !7» полнгональная функция ьр. (х) прп и — оо, по теореме 3, равномерно стремится к решеншо уравнения (13). Таким образом, справедлива 1-я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а. Для всякого Л, не равного собственному значению, уравнение (13) и,яеепг решение, и оно единственное.
3 а м е ч а н и е. Поскольку определители системы (17) и траиспоннрованной системы П ) 2л К„,Я,йзз=- ),„(т =- 1, 2, ..., и) г-. ! совпадают, то для всякого Л, нс равного с. з. ядра К (х, з), сопряженное интегральное уравнение 11 (х) — Л) К(в, х) ф(з) сЬ = )(х) Я также имеет единственное решение. Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда Л совпадает с одним из собственных значений. Справедлива 2-я т е о р е и а Ф р е д г о л ь м а. Если Л является собспьвенным значением ядра К (х, в), то как однородное интегральное уравнение (14), пгак п ь впряженное ему уравнение имеют конечное число линейно независимых ртиений.
Эта теорема следует из того, что однородная система алгсбраческих уравнений, соответствующая уравненшо (14), имеет, согласно теореме Б, конечное число линейно независимых решений. 3-я т е о р е м а Ф р е д г о л ь м а. П усть Л является собственным значением ядра К (х, з). Тогда, для п1ого чтобы уравнение (13) ил|ело решение, необходимо и достпточно, чтобы функция 1'(х) в правой чисгпн уравнения (!3) была ортогональной всем собственным функциям сопрпжгнного однородного уравнения, соответствуюи1ии эталону гобспюенному значению. Необходимость условия доказывается просто.
Действительно, если р (х) есть решение уравнения (13), то справедливо тождество ь к (х) — Л ~ К (х, з) гр (з) сЬ:-1 (х). а Умножаем это тождество на собственную функцию ф (х) сопряженного уравнения и результат интегрируем (по х) по отрезку (а, Ы. Г1олучим ь ь ь ь 1 1 (х) й (х) йх = ) гс (х) ф (х) с(х — Л ~ ф (х) ~ К (х, в) гь (з) сЬ йх. а а О а Поскольку ь ь ь ь Л ~ ф (х) ~ К (х, з) ~р (з) йз йх = ~ гс (з) Л ) К (х, з) ф (х) йх сЬ а а Х ~ гт (х, з) ф (х) йх гв гр (з), п ~ 1(х) ф (х) йт =- ~ г, (х) г! (Х) г(х — ~ ер (з) гр (з) г(з —.= О, и т.
д. Доказательство достаточности более громоздко. Вго можно провести, например, сначала для соответствующей системы алгебраических уравнений, а потом предельным переходом в полигональных функциях распространить результат и на интегральное уравнение. Мы не будем останавливаться на этом доказательстве *). Пусть собственному значению )с отвечает г линейно независимых собственных функций. Тогда, очевидно, справедлива Т е о р е м а 3. Если в уравнении (13) Л совппдпет с одним из собспгвенных значений и вьгполняется условие существования решения урпвнения (!3) (т. е.
! (х) ортогональнп соответствующим собственным функциям сопряженного урпвнения), то решением уравнения (13) будет всякая функция ер(х) =- Тв(х)+ Е С,ци(х) где ср, (х) — решение уравнения (! 3), тр (х) — собственные функции ядра К (х, з), отвечпюгцие собственному знпчению ), Св — произвольные постоянные.
3 а м е ч а н и е. В З 4 было показано, что неоднородное уравнение Вольтерра имеет единственное решение при любых значениях параметра )с. Следовательно, согласно теоремам Фредгольма, уравнение Вольтерра не имеет собственных значений. Глава Х СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ПОТЕНЦИАЛЫ В ряде случаев краевые задачи илп задачи Коши для дифференциальных уравнений можно свести к задачам нахождения решений соответствующих интегральных уравнений. Возможность такой редукции нередко используется для нахождения приближенного численного решения задачи на электронных вычислительных машинах (ЭВМ).
В частности, такая редукция возможна для задачи нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи. в) См., например, 11е т р о а с к и й И. Г. С1екцпи по теории иитетралг.- имк уравнений, иад. 3-е, — йк Натка, 1В65 Идея сведения краевых задач к интегральным уравнениям состоит в том, что решение краевых задач ищется в виде некоторых интегралов специального вида, например потенциалов с неизвестными плотностями распределения масс, зарядов и пр. В этой главе мы рассмотрим простейшие свойства потенциалов и применение их к решению краевых задач.
Сведение краевых задач на собственные функции к интегральным уравнениям производится с помощью функций Грина. $ 1. Объемный потенциал 1. Потенциал и (М) электростатического поля, созданного точечным зарядом величины е, находящимся в точке Р, в произвольной точке М 3-мерного пространства равен и (М) =--— гмР где гмр — расстояние между точками М и Р. Если в точках ЄЄ..., Р„находятся заряды е„е„..., е„, то потенциал электросгатического поли, созданного этими зарядами, равен ел, еа, ев и(й1) =.= — р — ' '„-... + гми, 'мн, Г1усть в области О распределены заряды с плотностью р (Р). В малом объеме л(тн, содержащем точку Р, заключен заряд величины р (Р) атр, Г!отенпиал поля, созданного этим зарядом, приближенно равен и (Р) — е(тр.
гмп Потенциал поля, созданного зарядами, содержащимися в области О, равен п(М) = ~ 1 л(тр. (2) МР Интеграл (2) называется объемным лотенциалои. Для двумерного пространства (плоскости) объемный потенциал имеет внд и (М) = ) р(Р) 1и ( — 1 сЬр. р 1 гмн 7 2. Таким образом, объемный потенциал представляется несобственным интегралом. Рассмотрим несобственный интеграл более общего вида: и(М) = ~1(М, Р) л(тл, (4) и где 7" (М, Р) — непрерывная функция двух точек М и Р, М ~ Р, обращающаяся в бескднечность при М =- Р *).
') О несобственных интегралах и признаках их сходимости см., например, С м и р и о в Б, И. Курс высшей математиин. — Мл Наука, 1965. 179 Ьудеаг называть интеграл (4) равнолгсрно сходягцам.я в г>крегнгч носоги точка Л)0, если для любого е > О существует такое 6, что: !) для всякой области с>м„, содержащей точку >И0, с диаметром, меньшим 6, й (Р~„) < 6; и 2) для всех точек М, отстоящих от точки М, ва расстоянии, меньшем 6, ММ, < 6, выполняется неравенство ! ггч, 01~,~~.. ар~1, Это понятие лежит в основе доказательства ряда свойств потен- циалов, Основное свойство равномерно сходящегося несобствен- ного интеграла выражает Т е о р е м а. Несобственный интеграл, равномерно сходя- гцийся в окрестности точки Л4„, непрерывен в эпн>й точке. Доказательство.
Оценим разность (Л() гг (МО) = 111 (М) — и1 (МО) Е (гг2 (Л!) 212 (.ИО)) где и,(М)= ~ )(М, Р)йтр, ие(М)==- ~ )(Л4, Р)йтр. 0 0 ом, о--о, Поскольку интеграл (4) равномерно сходится в окрестности точки М,, то для произвольного е > О найдется такое 6, что для области Вхг„с д (Рм,) < 6 и для всех точек Л4, отстоящих от >И0 на расстоя- 0 0 нни, меньшем 6, будут выполняться неравенства !и,(64)/<ер3, !и,(>И,)!(е'3. (5) Так как М0 Ф 0 — Влг„то функция ие (Л4) непрерывна в точке М,. Следовательно, для того же е найдется такое 6,, что для всех точек М, отстоящих от точки >И, на расстоянии, меньшем 6,, выполняется неравенство ! иг (М) — иг (>И0) ! < ь",3.
(6) Пусть 62 =- ппп !6, 61). Тогда для всех точек М таких, что ММ, < < 6,, выполняются неравенства (5) н (6), а следовательно, и неравенство ! и (М) — (М0) !< Теорема доказана. Заметим, что из равномерной сходимости несобственного интеграла следует его сходимость в точке М,. 3. Рассмотрим простейшие свойства объемного потенциала с ограниченной плотностью р (Р), ! р (Р) ) ( А. С в о й с т в о !. Объемный потенциал определен и непрерывен всюдгд Если точка М, не принадлежит области О, интеграл и (М,) не является несобственным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки М, непрерывна в точке М,, то непрерывен в этой точке и интеграл и (М). гво Если М, и В, то, согласно теореме п. 2 и замечаншо в концс и. 2, достаточно доказать равномерную сходимость интеграла в окрестности точки М„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
