1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Доказательства всех этих свойств проводятся аналогично трехмерному случаю, поэтому мы не будем повторять их, $3. Потенциал двойного слоя 1. Пусть в точках Р, и Р, (рнс. 22) расположены заряды вели. чиною — е и е, Потенциал электростатического поля, созданного этим диполем, равен ги (М) е ( — — —,), ! ! 'мр, гмр,' или ви (М) = е)т — ( —,) ~ где Р' — некоторая точка отрезка Р,Р, Рнс. 22. и производная берется по направлению и отрезка от Р, к Р, (оси диполя), й — расстояние между точками Р, и Р,.
Величина ей = м называется моментом дипаля. Если мы будем сближать точки Р, и Р„сохраняя момент диполя м (увеличивая при этом величину зарядов е), то в пределе (при й- 0) получим точечный диполь, расположенный в точке Р, *) См. П е т р о в с к и й И. Г. Лекнии об уравненнкк с частными производными, изд 4-с. — М: Наука. !9брк С в о й с т в о 4. Если несусцая поверхность 5 ограничена, то потенциал просппога слоя стрелии!тся к нулю, когда тачка М стремиггзся к бесконечности.
В самом деле, очевидно, !и(М)( (~ 'мр Применяя к этому интегралу теорему о среднем значении, получим )и(гИ) ) ( — ~ (!Р)!аар — —— глт: 'лт. где Рв р: 5. Отсюда и следует свойство 4. С в о й с т в о 5. Нормальные производные потенциала просп!ого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверхности 5 са скачкалц равным 4ло (гИ).
На доказательстве этого свойства мы останавливаться не будем "). Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого слоя имеет вид потенциал которого равен ю(М) =- т — ( — ), где производная берется по координатам точки Р в направлении оси диполя. Г!усть 5 — двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если в некоторой точке Р этой поверхности выбрано положительное направление нормали пе к поверхности и точка Р движется по любой замкнутой кривой (лежащей на 5), причем направление нормали меняется при этом непрерывно, то при возвращении в исходную точку направление нормали совпадает с исходным.
На этой поверхности можно в каждой точке одно из направлений нормали принять за положительное, так что единичный вектор этого направления и будег непрерывным на поверхности. Мы будем предполагать, что такое положительное направление выбрано. 2. Если иа двусторонней поверхности 5йраспределены диполи с плотностью моментов т (Р) так, что оси их в каждой точке совпадают с положительным направлением нормали, то потенциал поля, созданкого этими дпполями, равен 1()до() (! 9) Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя. Такое название связано с тем, что к интегралу ()9) приводят также следующие рассуждения.
Пусть 5 — двусторонняя поверхность с фиксированным положительным направлением нормали, Вообразим теперь, что на положительном направлении нормали в каждой точке мы отложили отрезки длиною й. Геометриче. скос место концов этих отрезков образует поверхность 5„отстоящую от 5 на расстоянии 6. Пусть на поверхности 5 распределены отрицательные заряды с плотностью 1 — т (Р), а на поверхности 5, — положи- Л тельные заряды с той же плотностью (рис. 23).
Мы будем иметь «двойной слой> зарядов противоположных знаков, который можно рассматривать также как совокупность диполей, распределенных по поверхностям 5 и 5, с плотностью ! — т(Р). Потенциал поля, созданного диполем, «опирающимся» л д / 1 на элементы до поверхностей 5 н 5„равен т(Р) — ( — 1 до. ) Потенциал поля, созданного всеми диполями, равен Если мы устремим й к нулю, то получим ндвойной слой» на поверхности 5, потенциал которого вычисляется по формуле (10). Поверхность 5 будем называть несущей поверхностью.
Поскольку где ер — угол между положитсльным направлением нормали к поверхности 5 в точке Р и отрезком РМ, то потенциал двойного слоя можно также написать в виде ьу (М) = ~ и (Р) — 'Р '!оо. (20) Если мы обозначим через г(еомр телесный угол, под которым из точки М виден элемент поверхности дою то г'-ц, Йоип.— сон ус(о . Эта формула непосредственно следует из того, что по определению с(шмр есть площадь элемента единичной сферы с центром в точке М, высеченного конусом с вершиной в точке М, опирающимся на элемент поверхности е(ор (рис. 24); домр имеет положительный знак, если угол ер острый, и отрицательный, если угол ер тупой. Поэтому потенциал двойного слоя можно ббр также написать в виде р ес (М) =- ) ч (Р) йеомр.
(21) ио»и» ° вм В дальнейшем будем полагать, что функции ч (Р) и ) ч (Р) ) интегрируемы на 5, а 5 — кусочно. гладкая поверхность, 3, Из формулы (21) следует С в о й с т в о 1, Потенциал двойного слоя определен всюду, С в о й с т в о 2. В точках М, не лежащих на несущей поверх. ности 5, потенциал двойнога слоя является гармонической функ. цигй. Для доказательства воспользуемся формулой (20).
Если М Ф 5, то интеграл (20) не является несобственйыл1 и поэтому а -а(! ° <»> — ! — )а)- д / 1 дл ~ гмг 1( )) ~ (( Н С в о й с т в о 3. Если поверхность 5 расположена в конечной области, то при стремлении точки наблюдения М к бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю. ') См., например, С м и р н о в В. И. Курс высшей математики, т. Н.— Мн Наука, 1967. 190 Для доказательства воспользуемся формулой (20).
Очевидно, 1 р (Р11дор (' )! ~ 2 2 'мр глш где Р* ~ 5. Отсюда и следует свойство 3. В последующем будем полагать, что поверхность 5 замкнутая и каждый луч, проведенный из любой точки М, пересекает ее не более й раз. В качестве положительного направления нормали возьмем внутреннюю нормаль к поверхности. Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя — потен- циал с постоянной плотностью моментов то. Для такого потен- циала гй(М) справедливы формулы 4птм если точка гИ расположена внутри 5, гв(М) = 2пмь если точка М расположена на 5, О, если точка гИ расположена вне 5. Для доказательства этого воспользуемся формулой (21). Пусть точка М расположена внутри 5.
Предположим сначала, что всякий луч, проведенный из точки М, пересекает поверхность 5 лишь в одной точке. Тогда интеграл ~ Ноомр равен полному телесному углу, под которым видна внутренняя сторона поверхности 5. Очевидно, этот угол равен 4п. Следовательно, в этом случае гй (М) =- 4пто Если часть лучей (или все), проведенных из точки М, пересе- кает поверхность 5 в конечном числе ((Й) точек, то телесные углы домр, под которыми видны элементы поверхности Иор, пересе- каемые лучами изнутри 5 (например, 0ар, лежащие на 5, и 5,, рис.
25), будут положительными, а телесные углы поомр, под которыми видны элементы поверхности Лир, пересекаемые лучами извне 5 (например, г(ар, лежащие на 5,, рис. 25), будут отрица- тельными, так как в этом случае угол ч между внутренней нор- малью и направлением отрезка РМ будет тупым и, следовательно, сов гг — отрицательным. В силу этого, очевидно, ~ домр+ ) Йомр —— О.
3, Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов 0оомр будет также равна 4л. Таким образом, и в этом случае гй (М) = — 4пто. Если точка М лежит вне поверхности 5, то телесные углы йомр, отвечающие элементам пар поверхности 5, (рис. 26), будут отрицательными, а телесные углы г(ымр, отвечающие элементам дпр поверхности 5, (рис. 25), будут положительными.
Поэтому 1 Й0огр = ~ г(о мр + ~ ~о~мр 3 3 з~ Таким образом, если точка М лежит вне 5, то и (М) =- О. Аналогично устанавливается, что й (~И) — - 2пто, если М е-- 5. 19! Теперь мы можем выяснить поведение потенциала двойного слоя в окрестности точки;И, лежащей на несущей поверхности. О в о й с т в о 4. Если плотность моментов и (Р) непрерывна на 5, опо потенциал двойного слоя ео (М) имеет разрыв первого рода в точках несущей поверхности 5 со скачком, равным 4пч (Ч): свои (Мо) — юи (Мо) =- 4пч (Мо), Мо 6 5 Здесь щ„(гИ,) — предел функции оо (2И) и точке оИо, когда точка М стремится к Мо изнутри поверхности; ю„ (Мо) -- предел функции ш (М) в точке М„, когда точка М стремится к М, снаружи.
Х, Ю Рис. 25. Рис. 26. Пусть оИ, — фиксированная точка поверхности 5. Рассмотрим вспомогательную функцию Л е м м' а. Функция го (М) непрерывна в точке М,. Д о к а з а.т е л ь с т в о. Обозначим через 5' часть поверхности 5, содержащуюся в некоторой 6-окрестности ела, точки Ч,, а через 5" — остальную часть 5. Тогда го (Л4) можно записать в виде го (М) = й, (гИ) -'- шо(М), где и,(Л4) = ~ (т(Р) — ч(.И,)) сйолп, гол(М) = ) (т(Р) — ч(Ио)) гйЬгт Функция гоо (оИ) непрерывна в точке гИо. Позтому для произвольного е > О величина ) ооо (М) — щ, (М,) ! будет меньше е~З, если ~ЙМо достаточно мало.
Далее, ~ Ф, (Л4) ! = 1 (т (Р) -- ч (М.) ) а ме ~ =- 1 ~ и (Р) — и (Л4,) Й аым, 1. 3' 3' !92 Пусть лучи, проведенные из точки М, пересекают поверхность 5 не более чем й раз. В силу непрерывности т (Р) в точке аИ, величина ~ т (Р)— — р (аИо)~ будет меньше е!(12йп), если б (радиус окрестности Р~м, точки М,) будет достаточно мал. Далее, ) 1а(оамр) (4пи. Следовательно, 1 ~,(М) ~ ~ 1 (Р) — (М,) !)а(оама.!( з ~ ~,(М,) 1( —. Поэтому ( иа (44) е' (Мо) ~ <. '( ша (аИ) ! + 1 ша (Мо) ! + 1 'е'а ('И) ша (Мо) 1 ( "ю если точка М достаточно близка к М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
