1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

й 4. Теорема Гильберта — Шмидта Теперь мы докажем одну из фундаментальных теорем теории линейных интегральных уравнений, имеющую многочисленные приложения, — те о р ем у р а з л о ж и мост и. е) См. М н х л н н С. Г. Лекции по лннейным интегральным уранненням. — Мл Фнзматгна, !959. 206 Теорема Гильберта — Шмидта. Если функция [(х) может быть представлена в форме ь р (х) = ) К (х, з) й (з) сЬ, (6) а где й (з) кусочно-непрерывна на [а, о[, то она представляется рядом Фурье по собственным функциям ядра К (х, в), т. е. Р(х) = ~ р,гРр(х), где ра =- ~ р (х) гр (х) йх, а и зпгот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [а, [)[. Для доказательства нам понадобится Лемма 2.

Для того чтобы непрерь(оная функция Я (х) была орпгогональной ядру К (х, з), т. е. ь ~ К(х, в) Я(з) сЬ = О, (8) а необходимо и достаточно, чгпобы она была ортогональной каждой собственной функции ядра, т. е. ь ~ Я (х) (рр (х) йх = О (р = 1, 2,...). (9) а Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х од и м о с т ь. ь ь ь Я(х) грр(х) йх= Хр) ) К(х, з) (рр(з) Я(х) г[зс[» а а а ь [ь =-~[а()[[а(.*)а()а )а= о.

а а так как внутренний интеграл равен нулю. Д о с т а т о ч н о с т ь. Рассмотрим вспомогательный интеграл ьь Уг ~ ~ К4 (х в) (а (х) (а (ь) йв йх ° а а Он равен нулю, так как, используя разложение (3) для и = 4 и равенства (9), получим ьь ,рг =О г~г ~" ( ) тр(1 я(х)я(з)йздх=— аа р=) ь ь 4 ) гр (х)г( )йх [ (р (з)гч(з)йз — О р,) а р=) а 2ог ь Поскольку К, (х, з) == ) К, (х, !) К, ((, з) <((, то а ь ь(ь о-г,-11(1«<*.

~<<<<< г<ю~д< <ц< <а н = а а а ь!Гь 1 Г" =1«!к<*, оэ<ю~~)х «, <а«м])а= а а а — Я х.<*, < а «* ~ а ~а Следовательно, Кз (х, <) Я (х) <(х = О. а (10) ( ~ К.,(х, () Я(х) Я(!) <(хЖ= О. а Заменяя в этом равенстве К, (х, () интегралом ~ К (х, з) х й ~~ К (з, () <(з и производя преобразования, аналогичные произведенным выше, получим ь ~ К (х, $) Я (х) <(х = О. а Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е.

Коэффициенты Фурье !р функции 1(х) равны 6,0<, где Ь вЂ” коэффициенты Фурье функции !< (з). Действительйо, ь Ь ь ~ !(х)ч (х) г!х= ~ <г» (х) ~ К(х, з) 6(з) сХз<(х.-- Ф а з а ь ь й (з) ~ К (х, з) а<р (х) <(» ~Ь = ~ Й (з) ~~ ~Ь вЂ” — „< поэтому вместо ряда (7) можно рассматривать ряд <() =„~ -~~-ч (х) Р=< 208 Мы при этом воспользовались симметричностью ядра К, (х, з). Умножая тождество (10) на Я (() и интегрируя результат (по !) пе отрезку (а, Ь ), получим Следовательно с,с(х) =- ~~~ — "срр(х) — ) (х) == О. Р р=-! Теорема доказана. 5 5. Разложение решения неоднородного уравнения Пусть в уравнении (16) Ю ь О с! ! с-! ~ ср,с*!.=-с()с-с) к (*, !(сс!.с ! ~ср,! !)с, р=! а р=-! или ~~ Срсрр (х) = ) К (х, Б) Г (Я) сЬ + )с ~~ Ср ) К (х, Я) с1!р (3) с(5.

О р=! О Применяя теорему Гильберта — Шмидта к функции ь ) К (х, з) 1(з) сЬ а ь и заменяя ) К (х, з) срр (з) с(з через сер (х)/Хр, получим а Ю ) С,~рр(х) = У 1" г (х)+Х~~~ С ~~, ! р=! р — — ! откуда С == —" + — ' С„, или С, =- всо ь Ч! (х) = Х ~ К (х, з) ср (з) сЬ + 1(х) а Х не равно ни одному из собственных значений. Тогда по 1-й теореме Фредгольма это уравнение имеет единственное решение, которое можно записать в виде ср (х) = 1(х) + ) д (х), (15) ь где д (х) =- ~ К (х, з) ср (з) ссз. а По теореме Гильберта — Шмидта функция д (х) может быть представлена рядом по собственным функциям ядра К (х, з)! д (х) = ~ С,ср, (х). р=-! Подставим в уравнение (14) вместо Ч! (х) ее выражение по формуле (15), получим ф 6.

Теорема Стеклова В 2 5 гл. Х было показано, что краевая задача Е [Ф) + ЛрФ вЂ” = —, [АФ'] — с)Ф + ЛрФ = О, (19) а,Ф' (а) — р,Ф (а) = — О, а,Ф' (Ь) + рьФ (Ь) =- О, (20) эквивалентна интегральному уравнению Ф(х)= Л ~ 0(х, з) р(з)Ф(э) с(з, а (21) 211 Таким образом, искомое решение уравнения (14) представляется следующим абсолютно и равномерно сходящимся рядом: ср (х) =- ) (х) + Л ~~ ' срр (х). (17) Если Л равно некоторому собственному значению Л„которому отвечают собственные функции ср„(х), ср„„(х), ..., ср,ь (х), то Л„= Лс..сс = .. ° = Лсм В этом случае, как видно из формул для определения коэффи- циентов Ср, должны выполняться равенства ... = [с+д =- О, или ь ) 7(х)ср,+с(х)с(х=О ((=О, 1, 2, „с)), а т. е.

функция )' (х) должна быть ортогональной всем собственным функциям ядра, соответствующим собственному значению Л,. При этом коэффициенты С„, С„+„..., С„„не определяются (остаются произвольными), и решение уравнения (14) может быть записано в виде ср (х) = — С,ср,(х) + С„сср,„с (х) + ... + С,+с ср„ь (х) -[- + Л, ~~) " ср„ (х) + р (х), (! 8) Р где 2," означает суммирование по всем значениям р, кроме р = = г, г + 1, ..., г + с). 3 а м е ч а н и е. Уравнение с несимметричным ядром вида ь ср (х) = Л ~ К (х, з) р (з)ср (з) с[э, а где р (з) — известная функция, р (з) ) 0 на [а, Ь[, и К (х, з)— симметричная функция, очевидно, приводится к уравнению с сим- метричным ядром относительно функции ср (х) = ср (х) ргр (х): ь ф (х) =- Л ) К (х, р) ргр (х) р (з) ф (з) с[ж а Ч'(х) = Х ) К,(х, з) Ч' (э) ав, а (22) где К, (х, э) = 6 (х, э) у' р (х) р(э), Ч' (х) = Ф (х) г р (х), а 0 (х, э) — функция Грина краевой задачи (19) — (20).

Следовательно, с. з. и с. ф. краевой задачи (19) †(20) совпадают с с. з. и с. ф. ядра К, (х, в). Это обстоятельство позволяет получить теорему Стеклова из теоремы Гильберта †Шмид. Действительно, пусть 1(х) есть функция класса А (см. гл. 1У, 2 2), тогда будет интегрируемой функцией и по 1-й теореме Гильберта (см. гл.

ЧН, ~ 3) ь 1 (х) = ) 6 (х, э) р (э) гЬ. а й 7. Классификация ядер Рассмотрим еще одно применение теоремы Гильберта— Шмидта. Среди симметричных ядер особый интерес представляют положительно определенные (соответственно отрицательно определенные) ядра.

Ядро К (х, э) называется положительно определенным (соответственно отрицательно определенныя)„если для всякой кусочно-непрерывной функции Й (х) интегральная форма ь ь 1 — — ~ ) К (х, э) й(х) й(э) аэь(х (23) 2 а положительна (соответственно отрицательна). Нетрудно показать, что неоэходимым и достаточнььм условием положительной (отрицательной) определенности ядра К (х, э) является условие, чтобы все его собственные значения Хр были положительными (отрицательными). 2!2 Следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта 1(х) может быть представлена абсолютно и равномерно сходящимся рядом Фурье по собственным функциям (Фр (х)) краевой задачи (19) — (20): (х) ~ СрФр (х) Таким образом, доказана теорема разложимости Стеклова для одномерного случая (гл.

Гч', 5 2). ь Действительно, функция ((х) = ) К (х, з) й (з) ![э по теореме а Гильберта — Шмидта представляется равномерно сходящимся на [а, Ь[ рядом: )(х)=)К(х, з)й(з)с[в= ~) Р !р (х). (24) а р=! Умножая обе части этого равенства на й (х) и интегрируя результат (по х) по отрезку [а, 51, получим ьь Ю У= ') ') К(х, з)й(з))т(х)с(здх= ~,~ — Р. (25) Р а р=1 Следовательно, если все с.

з. ). положительны (отрицательны), то и форма (23) положительна (отрицательна). Если форма (23) положительна для всякой кусочно-непрерывной функции Ь (х), то для 6 (х) = !р„(х) формула (25) дает ь ь 3' 1 К (х, 3) р. (8) р. (Х) дэ дх = л' а а Следовательно, )!„) О. Аналогично для отрицательной формы. Для положительно определенных (отрицательно определенных) ядер справедлива Т е о р е м а 5. Если ядро К (х, в) положительно (отрицательно) определенно и непрерывно по совокупности переменных х, з в квадрате а ~ х, э < 5, тосно представляется равномерносходяи(имея рядом ~х !гр (х) ч!р (а) х„ р=-! где грр и ).р — собственные функции и собственные значения этого яд,оа. Мы не будем проводить доказательство этой теоремы "). Следует отметить, что все теоремы и факты,.

относящиеся к уравнениям Фредгольма, описанные в этой главе и в 9 5 гл. [Х, справедливы также для произвольных самосопряженных операторов А и, в частности, для многомерного случая и притом для ядер вида К (Р, Я) = Н (Р, Я)![ РЯ ')и а < г(!2, где Н (Р, Я) — непрерывное ядро, 1 РО [ — расстояние между точками Р и Я, д — размерность пространства *).

«) См. П е т р о и с к и й И. Г. Лекции по теории интегральных уранненнй, иад. З.е. — Мл Наука, 196о. 213 5 8. СпекТр симметричных ядер, заданных на бесконечном промежутке П р и м е р !. Уравнение ф (х) =. ). ) 5!и (хэ) !р (3) аз о (26) имеет лишь два собственных значения: Л! = )/2)п, Ла = — )/2(п, и каждому из них соответствует бесконечное множество линейно независимых собственных функций. Для доказательства этого воспользуемся известными формулами: ч !' хГ/ п)2 Г э з(н (хэ) о — ах — ~ з!п (хз) е а' г(в = — ' ' о о где х ) О и а ) О. Складывая и вычитая эти фориулы, получим ~ з(п (хэ)~~ — е + а е 1г(з = ф 2 ~~ 2 е +ае+Ле~ 'У' з!п (хз) [ у — е 1 и — ат 3 У а'+ Р о — ~ ~/;ак— Таким образом, Лх = )/2!л и Л, = — )/2!л суть собственные значения уравнения (26), а 1 и — ах х а и — ах х ф,(х)= У вЂ” е + и ч!з(х)="У вЂ” е 2 а' р х' У 2 аа + хз при любом значении параметра а — отвечающие им собственные функции.

Функции грг (х) (равно как и функции гре (х)), отвечающие различным значениям параметра а, очевидно, линейно независимые. Следовательно, каждому из собствен- Мы рассмотрели интегральные уравнения с конечным промежутком (областью) интегрирования (а, б ). Для интегральных уравнений с бесконечным промежутком интегрирования изложенные выше результаты, вообще говоря, не имеют места. Так, для симметричных ядер, заданных в ограниченной области, были установлены следующие факты: 1) спектр такого ядра дискретный; 2) спектр невырожденного ядра бесконечный; 3) каждому собственному значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций. Для симметричных ядер, заданных на бесконечном промежутке, зти утверждения, вообще говоря, уже неверны, как показывают приводимые ниже примеры.

ных значений Л) и Л, отвечает бесконечное множество линейно независимых собственных функций. Теперь покажем, что уравнение (2б) не имеет других соб- ственных значений. Для этого в правую часть уравнения (26) подставляем )р (з), определяемое этим уравнением. Получим )р (х) = Л ~ 5)п (хз) ) зш (зП )р (1) с(( )(з. о о Сравнивая эту формулу с интегралом Фурье 2 Г )р (х) =- — )' з!п (хз) ) шп(з!) )р (1) Ж)(з, о о находим, что Ле = 2!н. П р и м е р 2. Рассмотрим уравнения вида ОЭ )р (х) =- Л ~ Н (1 х — 3 )) )р (3) г(5, (27) где Н (г) обладает следующими свойствами: 1) непрерывна и положительна для всех г ) 0; 2) существует такое положительное число Л (А ( оо), что интеграл Н (г) с)) иг)(г сходится для всех положительных и, меньших А (и < А), и рас- е ходится для и = Л.

Характеристики

Список файлов книги