1625914365-7029705a6b51317eb799dab7ce6b2ad6 (532774), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В таких задачах не для всякой правой части, получаемой путем измерений, существует классическое решение уравнения А/ =- и относительно /. Кроме того, во многих случаях классическое решение / =- Л «и (если оно существует) неустойчиво к малым изменениям и. $ 4. Кратко о некоторых методах решения некорректно поставленных задач *) 1. Приближенные решения многих некорректно поставленных задач вида (!) строились давно. Основным способом построения решений был метод подбора. Он состоит в том, что вычисляется левая часть уравнении (1) Л/ для некоторого подмножества (набора) Р, элементов /, принадлежащих Р, т.
е. решается «прямая задача», и в качестве искомого приближенного решения выбирается такой элемент /, из Р„для которого невязка рп (А/, и) минимальна (на Р,). Обычно в качестве Р, выбирается семейство элементов /, зависящих от конечного числа числовых параметров так, что Р, является замкнутым множеством конечномерного пространства.
Если дополнительно известно, что искомое решение /, ~ Р, и и = и„то в этом случае (п1рп (Л/, и,) = О и достигается эта нижняя грань на точном решении уравнения А/ = и,. При этом возникает вопрос: если Щ есть последовательность элементов, на которой невязка рп (А/„, ит) стремится к нулю при п- оо, то будет ли последовательность 1/„) сходиться к точному *) См. Т и х о н о в А. Н., А р с е н и н В. Я. Методы решения некорректных задач, 2-е изд. — Мл Наука, 1979. 224 решению ),? Если дополнительно известно, что каждый параметр изменяется в конечных пределах, то Г, будет компактным и (1„) будет сходиться к !'„т.
е. метод подбора позволяет получить в этом случае приближенное решение. В других условиях метод подбора, вообще говоря, не годится для построения приближенных решений. Выяснить условия применимости метода подбора можно, опираясь на следующую топо- логическую теорему. Теорема о непрерывности обратного о т о б р а ж е н и я. Пусть компактное (в себе) множество Р метрического пространппва Р» отображается на множество ~/ метрического пространства У».
Если это отображение Р- 1/ непрерывно и взаимно однозначно, то обратное отображение (I- р также непрерывно. Множество р, (р, с: р), па котором задача нахождения решения уравнения (1) является корректно поставленной, называют классом коррекпгности. Так, если оператор Л непрерывен и осуществляет взаимно однозначное отображение, то компакт М, которому принадлежит 1», является классом корректности для уравнения (1).
В ряде других случаев компактные классы корректности можно указать эффективно, что дает возможность строить устойчивые приближенные решения. Например, множество непрерывных на отрезке (а, Ь! монотонно возрастающих функций является компактным в себе. То же относится к множеству монотонно убывающих и непрерывных на (а, Ь) функций. 2. В !963 г. А. Н. Тихонов *) разработал новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения А! = и, устойчивые к малым изменениям исходных данных.
В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (Р. 0.). Для простоты изложения мы будем полагать, что в уравнении А!— — — и приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор Л известен точно. Итак, пусть А~=-и (3) и элементы 1, С- Р и и„~ (I связаны соотношением Л)',,=- и,. Если задача (3) является некорректно поставленной (не обладает свойством устойчивости) и вместо точного значения правой части и, мы имеем элемент им для которого ро (и», иь) ~ 6, то очевидно, что приближенное решение )ь не может быть определено как точное решение уравнения (3) с приближенной правой частью и = иь. Элемент 1» можно определить с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с точностью чисходных данных» иь.
Эта согласованность должна ') Т и х о и о в й. Н, — ДАН СССР, 1963, т. 151, № 31 т. 153, № 1 8 »»~енин в Я. 225 быть такой, чтобы при приближении правой части и» уравнения (3) к точному значению их, т. е. при 6 — О, приближенное решение (, стремилось к искомому точному решению (, уравнения А(=, О п р е д е л е н и е. Оператор )т',(и, а), зависящий от параметра а, называется регуляризируюй(им оператором для уравнения (3), если он обладает свойствами: 1) определен для всякого а > О и любого и ~ У; 2) если А(» =- и„то существует такое а (6), что для любого е > О найдется такое 6 (е), что,' если ро (и„и„) ~ 6 (е), то рг ()„, )„) ( е, где ('„= )т (и» а) и а,'= а (6).
3. По Тихонову, в качестве приближенного решения уравнения (3) надо брать элемент („= — )т (и,, а(6)), полученный с помощью регуляризирующего оператора )с (и, а), где а (6) согласовано с уровнем погрешности «исходных данных». Это решение называется регуляризоеанным решением уравнения (3). Числовой параметр а называется пара, метром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации а, согласованного с уровнем погрешности «исходных данных» 6, а =- а (6), определяет устойчивый метод построения приближенных решений уравнения (3). Если известно, что ро (и,„и,) ~ 6, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации а =- а (6), что при 6- О регуляризованное решение )а кп — — )т (иы а (6)) стремится к искомому точному решению („т.
е. рг ((„( кп) — О (в метрике Р). Это и оправдывает предложение брать в качестве приближенных решений уравнения (3) регуляризованные решения. Таким образом, задача сводится: а) к нахождению регуляризирующих операторов; б) к оценке параметра регуляризации а по дополнительной информации о задаче, например по величине уклонения правой части и, от ее точного значения. В математической литературе описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации. 4.
Отметим, что регуляризирующие операторы, зависящие от параметра, использовались в математике со времен Ньютона. Так, классическая задача приближенного вычисления производной йи (х) по приближенным (в метрике С) значениям их и (х) может решаться с помощью оператора и (х + а) — и (х) )с(и,а) = В самом деле, пусть вместо точных значений функции и (х) мй имеем приближенные значения и» (х) = и (х) + о (х), где (о (х) ( ( 6 для всякого х. Тогда (с (иг,а)— и (х+ а) — и (х) и (х+ а) — и (х) 226 При а- О первая дробь стремится к производной с(и)с(х. Оценим вторую дробь; о !х + и) — о (х) / 2~5 Я а Если брать а = 6,'т) (6), где !) (6)- О при 6- О, то 26!а = б = 2т) (6) — О при 6- О и, следовательно, при а = а,(6)=— !) (б) тт (ио, а, (6)) о'и Другая классическая задача — задача восстановления функции по ее приближенно известным коэффициентам Фурье (задача суммирования рядов Фурье) — также решается с помощью регуляризирующих операторов.
В самом деле, пусть для всякого х, принадлежащего некоторому конечному промежутку, Г' (х) =- ~ ил!ра (х) есть ряд Фурье функо=-! цин г (х) по полной ортонормированной системе функций (тра (х)) таких, что для всякого Й впр ) ср!, (х) ( ( М '). Пусть вместо пок следовательности и: — (ил) коэффициентов Фурье нам известны их приближенные значения и з— э (йл) такие, что « ~ (и„— Й„)' ~ бе о ! Г(х) ~; Йв!р,(х). о-! Как было показано во Введении, в метрике С функции / (х) и г (х) в фиксированной точке х, могут различаться как угодно сильно.
Поэтому нельзя брать в качестве приближенного значе. ния функции р (х) в точке х, значение Г (х,). Уетойчивое (к малым изменениям 6) приближенное значение Г (х) дается с помощью оператора Я(й, а) = )с ~й,— ) = ор' йатра (х,) (а= — ), если ! 1 о=! п брать равным целой части функции — бт —, т. е. и = п (6) = т! (б) Г п(б) 1 — где при 6 О т)(6)- О, а п(6)- оо. В самом деле, так как для всякого Й | фо (х) ) ( М, то ! а(о) а !О! 1(ХО) — Е йвтРВ (ХО)~~ ~и~ (ио — ЙЛ) 'Рд (ХО) + ~ иафо (ХО) о=! о=! о=а!о!+! ) Это условие обычно выполняется. Например, опо выполняется Лля си. стем тригонометрических функций (Мп )ох, сов )тл).
бо вот Так как ряд ~а иегрд (х,) сходится, то его остаток ~й иача (х,) а-! а и га)+! стремится к нулю при и (6)- се. Далее, применяя неравенство Коши — Буняковского, получим ! нга) нга! Е (ца — йа) гга(ха) ~ Е гыа йа ~!гра(ха)! ~ а=! а ! (нга! га! ! !га г га! !го ~ [ Е (иа — йн)е Е гра(хо)~ ~М)гг(6) Х 1и! — йеР~ < е.= ! е=-! а=! ~ Л4 г~ и (6) 6 -- М )/ ~ 6 — О при 6- О.
Операторы гг' (и, се), зависящие от числового параметра а, использовались в математике и при рассмотрении ряда других задач. 5. Описанные в и. 4 примеры применения регуляризируюгцих операторов, зависящих от параметра, обобщают хорошо известные правила практических вычислений. В математике издавна приближенные значения производных вычислялись как разностные отношения. Пря этом приращения аргументов брались не слишком малыми по сравнению с погрешностью значений функции. Суммировались и ряды Фурье с приближенными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
